初中数学北师大版九年级下册4 圆周角和圆心角的关系教学设计

第1课时　圆周角定理及其推论1

教学目标

一、基本目标

1．理解圆周角的概念，会区分圆周角和圆心角．

2．理解并掌握圆周角定理及其推论1，并能解决相关问题．

3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，渗透分类的数学思想．

二、重难点目标

【教学重点】

圆周角的概念，圆周角定理．

【教学难点】

圆周角定理分三种情况证明的必要性．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P78～P80的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

2．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．

3．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等 .

4．下列各图形中，图③是圆周角．(填序号)

5．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC＝70°，则∠AOC的度数是140°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连结AD、CD、OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝____度．

【互动探索】(引发学生思考)连结OA.

∵OC⊥AB，∴＝，

∴∠AOC＝∠COB＝70°，

∴∠ADC＝∠AOC＝35°.

【答案】35

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题的关键是正确作出辅助线，用转化的思想思考问题．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　D　)

A．40°  B．45°

C．50°  D．60°

2．在⊙O中，弦AB所对的圆心角的度数为50°，则它所对的圆周角的度数为(　C　)

A．25°  B．50°

C．25°或155°  D．50°或130°

【教师点拨】圆中一条弦(非直径)对应的弧有两条：一条优弧、一条劣弧．

3．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝35°，则∠AOB的度数为70°.

4．如图，点A、B、C、D分别在⊙O上，＝，若∠AOB＝40°，则∠ADC是20度．

5．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．

解：如图，连结OC.

∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，

∴∠AOC＝∠DAC，

∴AO＝AC.

又∵OA＝OC，

∴AO＝AC＝OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴AC＝AO＝AD＝3 cm.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】如图，在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图中的A、B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？(不考虑其他因素)

【互动探索】要使球能射入球门，则所在位置射入球门的张角越大越好，即比较∠DBC与∠CAD的大小．

【解答】如下图，过A、C、D三点作圆，此时点B在圆外，连结CB、DB、CA、DA，设CB交圆于点E，连结DE，则∠CBD<∠CED.

而∠CAD＝∠CED，

所以∠DBC<∠CAD，

所以小华自己射门较好．

【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)解此类题时，构建数学模型，将实际问题转化为数学问题．(2)当两点到球门的距离相差不大时，在对球门张角较大的点处射门较好．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

1．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．

2．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　圆周角定理及其推论2、3

教学目标

一、基本目标

1．了解圆内接四边形的概念和性质．

2．进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明．

二、重难点目标

【教学重点】

圆周角定理推论2的应用．

【教学难点】

圆内接四边形的性质．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

2．如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．

3．圆内接四边形的性质(推论3)：圆内接四边形的对角互补．

4．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，则∠BAD＋∠BCD＝∠ABC＋∠ADC＝180°.若BD是直径，则∠BAD＝∠BCD＝90°.

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠CBE是它的外角，若∠D＝110°，则∠CBE的度数是110°.

【教师点拨】由圆内接四边形的性质可得，∠D＋∠CBA＝180°.由∠CBA＋∠CBE＝180°，可得∠D＝∠CBE＝110°.

【例2】如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，求证：∠BAE＝∠CAD.

【互动探索】(引发学生思考)要证∠BAE＝∠CAD→由AD⊥BC，AE是直径，考虑在△ADC和△ABE中证明→利用圆周角定理的推论2及等角的余角相等进行证明．

【证明】连结BE.

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°，

∴∠BAE＋∠E＝90°.

∵AD是△ABC的高，

∴∠ADC＝90°，

∴∠CAD＋∠C＝90°.

∵＝，

∴∠E＝∠C.

∵∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，

∴∠BAE＝∠CAD.

【互动总结】(学生总结，老师点评)涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(　A　)

A．20°  B．15° 

C．35°  D．70°

2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为(　B　)

A.100°  B．105°

C．110°  D．115°

3．如图，A、B、C为⊙O上的任意三点，若∠BOC＝100°，则∠BAC的度数为130°.

【教师点拨】综合利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求解，正确作出辅助线是关键．

4．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°.

∵∠ACD＝25°，

∴∠B＝∠ACD＝25°，

∴∠BAD＝90°－∠B＝65°.

5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°.求⊙O半径的长．

解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC＝90°.

∵∠ADB＝45°，

∴∠ACB＝∠ADB＝45°.

∵AB＝2，

∴BC＝AB＝2，

∴AC＝＝2，

∴⊙O半径的长为.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点(在直径AB的同一侧)，且＝，弦AC、BD相交于点P，如果∠APB＝110°，求∠ABD的度数．

【互动探索】连结CD、CB，首先求出∠CBD的度数，进而求出∠CAB的度数，最后求出∠ABD的度数．

【解答】如图，连结CD、CB.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵∠APB＝110°，

∴∠CBD＝∠APB－∠ACB＝20°.

∵＝，

∴BC＝CD，

∴∠CBD＝∠CDB＝20°，

∴∠CAB＝∠CDB＝20°，

∴∠ABD＝180°－∠APB－∠CAB＝50°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此题的关键是正确作出辅助线，求出∠CBD的度数．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

1．推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆内接四边形的性质(推论3)：圆内接四边形的对角互补．

练习设计

请完成本课时对应练习！