初中数学北师大版九年级下册第三章 圆3 垂径定理教案

*3　垂径定理

教学目标

一、基本目标

1．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．

2．能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题．

二、重难点目标

【教学重点】

垂径定理及其推论．

【教学难点】

运用垂径定理及其推论解决有关问题．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P74～P75的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于点M，则AM ＝BM ＝AB，＝，＝.

2．垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90 m，求这段弯路的半径．

【互动探索】(引发学生思考)要求这段弯路的半径可转化为求OC的长，结合已知条件，在Rt△OCF中利用勾股定理即可求得OC的长．

【解答】连结OC.

设弯路的半径为R m，则OF＝(R－90)m.

∵OE⊥CD，

∴CF＝CD＝×600＝300(m)．

在Rt△OCF中，根据勾股定理，

得OC2＝CF2＋OF2，

即R2＝3002＋(R－90)2，

解得R＝545.

∴这段弯路的半径为545 m.

【互动总结】(学生总结，老师点评)常用辅助线：连结半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？

解：连结AO.

由题意可知，OA＝OC＝5，

∴OD＝OC－CD＝5－1＝4.

∵OC⊥AB，

∴∠ODA＝90°，

∴在Rt△OAD中，由勾股定理，得

AD＝＝3.

又∵AB为⊙O的弦，

∴由垂径定理，得AB＝2AD＝6，

即弦AB的长是6.

2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10 cm，水面宽AB＝16 cm.求截面圆心O到水面的距离．

解：如图，过点O作OC⊥AB于点C.

∵OC⊥AB，AB＝16 cm，

∴∠OCB＝90°，BC＝AB＝8 cm.

又OB＝10 cm，

∴在Rt△OBC中，由勾股定理，得

OC＝＝6 cm.

即截面圆心O到水面的距离为6 cm.

3．如图，AB为半圆的直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是的中点，OE交弦AC于点D，若AC＝8 cm，DE＝2 cm，求OD的长．

解：∵E是的中点，

∴OE⊥AC，

∴AD＝AC＝4 cm.

∵OD＝OE－DE＝(OE－2)cm，OA＝OE，

∴在Rt△OAD中，

由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，

即OA2＝(OE－2)2＋42，

解得OE＝5 cm.

∴OD＝OE－DE＝3 cm.

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．

【互动探索】画出几何示意图→要求两条平行弦AB、CD之间的距离→利用垂径定理求解→作辅助线，构造直角三角形．

【解答】分两种情况讨论：

当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.

由题意可知，OA＝OC＝13.

∵AB∥CD，OF⊥CD，

∴OE⊥AB.

又∵AB＝24，CD＝10，

∴由垂径定理，得AE＝AB＝12，CF＝CD＝5，

∴由勾股定理，得EO＝＝5，OF＝＝12，

∴EF＝OF－OE＝7；

当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.

同理可得，EO＝5，OF＝12，

∴EF＝OF＋OE＝17.

综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．要注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

垂径定理及其逆定理，以及常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．

练习设计

请完成本课时对应练习！