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- 3.2.1 第2课时 利用单调性求最值 学案 学案 0 次下载
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- 4.1 指数 学案 学案 1 次下载
高中数学3.2 函数的基本性质第1课时学案
展开2021-2022(上) 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA(新教材)
3.2.2 奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
【课前预习】
知识点
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) 原点 y轴 原点
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ [解析] (1)例如f(x)=x2,存在x=0,使f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数.
(2)函数的定义域不关于原点对称,因此不具备奇偶性.
(3)存在f(x)=0,x∈R既是奇函数,也是偶函数.
(4)函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,也不是偶函数.
(5)因为f(x)是奇函数,所以f(-2)=-f(2)=3,所以 f(2)=-3.
【课中探究】
探究点一
探索 解:对称.由函数奇偶性的定义知,若x在定义域内,则-x一定也在定义域内(若-x不在定义域内,则f(-x)无意义),因此,具有奇偶性的函数的定义域必关于原点对称.
例1 解:(1)∵函数f(x)=+的定义域为,不关于原点对称,
∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)由得x=±1,
则f(x)的定义域为{-1,1}.
∵f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0,
即f(x)=±f(-x),
∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(3)∵函数f(x)的定义域不关于原点对称,即存在-4∈[-4,4),而4∉[-4,4),∴函数f(x)=x3+3x,x∈[-4,4)既不是奇函数,也不是偶函数.
(4)由得-3≤x≤3且x≠0,
则f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3].
∵f(x)===,
∴f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.
(5)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x>0时,f(x)=x2+2x,
∴当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2-2x=f(x);
∵当x<0时,f(x)=x2-2x,
∴当x>0时,-x<0,
故f(-x)=x2+2x=f(x).
故对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数.
变式 解:(1)函数f(x)的定义域为R.
因为f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
因为f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),所以f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
探究点二
例2 (1) 0 (2)0 [解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称,所以a-1=-2a,解得a=.由函数f(x)=x2+bx+b+1为偶函数,易得b=0.
(2)由奇函数的定义得f(-x)+f(x)=0,即a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0,故a=0.
变式 (1)B (2)0 [解析] (1)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,f(-x)=-x3+(a-1)x2-ax,∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),x∈R恒成立,即2(a-1)x2=0,x∈R恒成立,解得a=1.故选B.
(2)由题意得f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于x∈R恒成立,两边平方并整理,得ax=0对于x∈R恒成立,故a=0.
【课堂评价】
1.B [解析] 选项A中的图像不关于原点或y轴对称,故排除;选项C,D中的图像对应的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图像关于y轴对称,其对应的函数是偶函数.故选B.
2.D [解析] 函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),则f(-x)=-2x+=-2x-=-f(x),故函数f(x)是奇函数,则函数f(x)=2x-的图像关于坐标原点对称.故选D.
3.B [解析] F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),又x∈(-a,a),所以F(x)是偶函数.
4.B [解析] 由已知得f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
5.2 [解析] 根据题意,得f(1)=1+1=2,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-1)=f(1)=2.
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