高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦综合训练题

8.2.1　两角和与差的余弦

基础过关练

题组一　给角求值

1.cos(-75°)的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.     B.   C.      D.

2.cos 40°cos 10°+sin 40°sin 10°的值为(　　)

A.      B.-   C.         D.-

3.sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-      B.      C.-      D.

4.cos 15°+sin 15°=　　　　. 

5.sin 460°sin(-160°)+cos 560°cos(-280°)=　　　　. 

题组二　给值求值

6.设α∈,若sin α=,则cos=(　　)

A.          B.       C.-     D.-

7.已知sin x+cos x=,则cos=(　　)

A.-       B.       C.-     D.

8.若cos(α+β)=,sin=,α,β∈,则cos的值为(　　)

A.       B.    C.     D.

9.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为(　　)

A.0          B.1       C.±1      D.-1

10.已知cos=,则cos x+cos=(　　)

A.-1       B.1      C.      D.

11.已知点P(1,)是角α终边上的一点,则cos的值为　　　　. 

12.已知α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,求cos α的值.

题组三　给值求角

13.若cos(α-β)=,cos 2α=,α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.        B.       C.       D.

14.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,求β的值.

15.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,且α-β∈,α+β∈,求角β的值.

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)在△ABC中,若cos Acos B>sin Asin B,则△ABC为(　　)　　　　　　　　

A.锐角三角形  B.直角三角形   C.钝角三角形   D.无法判定

2.(疑难2,★★☆)已知将射线y=x(x≥0)按逆时针方向旋转到射线y=-x(x≤0)的位置所转过的角度为θ,则cos θ=(　　)

A.±        B.-         C.±      D.-

3.(疑难2,★★★)若角α-的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点P(-5,12),则cos=(　　)

A.-        B.-      C.      D.

二、多项选择题

4.(★★☆)已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,则下列说法正确的是(　　)

A.cos(β-α)=    B.cos(β-α)=-      C.β-α=       D.β-α=-

三、填空题

5.(★★★)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且α∈.将角α的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点B.若点A的横坐标为,则点B的横坐标为　　　　. 

四、解答题

6.(疑难2,★★☆)已知cos α+cos β=,sin α+sin β=,求cos(α-β)的值.

7.(疑难2,★★☆)已知cos α-2cos β=-,sin α-2sin β=,求cos(α-β)的值.

8.(2019江苏扬州高三上期中,疑难2,★★☆)在△ABC中,已知·=||||,设∠BAC=α.

(1)求tan α的值;

(2)若cos β=,β∈,求cos(β-α)的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　cos(-75°)=cos(45°-120°)=cos 45°·cos 120°+sin 45°sin 120°=×-+×=,故选C.

2.A　cos 40°cos 10°+sin 40°sin 10°

=cos(40°-10°)=cos 30°=.故选A.

3.B　sin 163°sin 223°+sin 253°sin 313°

=sin 17°(-sin 43°)-cos 17°(-cos 43°)

=cos(17°+43°)=cos 60°=,故选B.

4.答案　

解析　∵cos 60°=,sin 60°=,∴cos 15°+sin 15°

=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°

=cos(60°-15°)=cos 45°=.

5.答案　-

解析　sin 460°sin(-160°)+cos 560°·cos(-280°)

=-sin 100°sin 160°+cos 200°cos 280°

=-sin 80°sin 20°-cos 20°cos 80°

=-(cos 80°cos 20°+sin 80°sin 20°)

=-cos(80°-20°)

=-cos 60°=-.

6.B　∵α∈,sin α=,∴cos α=,

∴cos=cos αcos-sin αsin=cos α-sin α=-=.

7.B　∵sin x+cos x=,

∴cos=coscos x+sinsin x

=cos x+sin x=(cos x+sin x)

=×=.

8.C　∵α,β∈,

∴α+β∈(0,π),β-∈.

又∵cos(α+β)=,sin=,

∴sin(α+β)==,

cos==,

∴cos=cos

=cos(α+β)cos+sin(α+β)·sin=×+×=,故选C.

9.B　由sin αsin β=1,得cos αcos β=0,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=0+1=1.故选B.

10.B　∵cosx-=,

∴cos x+cosx-

=cos x+cos x+sin x

=cos x+sin x

=coscos x+sinsin x

=cosx-=×=1.故选B.

11.答案　

解析　由题意可得sin α=,cos α=,

cos=coscos α-sinsin α

=×-×=.

12.解析　∵α,β为锐角,

∴0<α+β<π,0<2α+β<.

又∵cos(α+β)=,

∴sin(α+β)=.

又∵cos(2α+β)=>0,

∴0<2α+β<,

∴sin(2α+β)=,

∴cos α=cos[(2α+β)-(α+β)]

=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)

=×+×=.

13.C　∵α,β∈,且α<β,

∴α-β∈,2α∈(0,π),

∴sin(α-β)=-,sin 2α=,

∴cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]

=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)

=×+×=-.

∵α+β∈(0,π),

∴α+β=.

14.解析　∵α,β∈,

∴0<α+β<π,

∴sin α==,

sin(α+β)==.

∴cos β=cos(α+β-α)

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=-×+×=.

又β∈0,,∴β=.

15.解析　由α-β∈,cos(α-β)=-,可知sin(α-β)=.

又∵α+β∈,cos(α+β)=,

∴sin(α+β)=-,

∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)

=×-+-×=-1.

∵α-β∈,α+β∈,

∴2β∈,∴2β=π,故β=.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　依题意可得cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)>0,∴-cos C>0,∴cos C<0,

∴C为钝角.故选C.

2.B　设射线y=x(x≥0)与x轴正方向的夹角为α,则tan α=,α为第一象限角,

∴sin α=,cos α=.

设射线y=-x(x≤0)与x轴正方向的夹角为β,

则tan β=-,β为第二象限角,

∴sin β=,cos β=-.

又θ=β-α,

∴cos θ=cos(β-α)

=cos βcos α+sin βsin α

=-×+×=-.

3.B　由三角函数的定义可得

cos=-,sin=,

则cos=cos=cos=coscos-sinsin

=-× -×=-.

二、多项选择题

4.AC　由已知,得sin γ=sin β-sin α,cos γ=cos α-cos β.两式分别平方相加,得(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2=1,∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,∴A正确,B错误.∵α,β,γ∈,∴sin γ=sin β-sin α>0,∴β>α,∴β-α=,∴C正确,D错误.故选AC.

三、填空题

5.答案　

解析　设A(x1,y1),B(x2,y2).由三角函数定义,得x1=cos α=,x2=cos.

因为α∈,cos α=,所以sin α==.

所以x2=cos=cos α-sin α=.

四、解答题

6.解析　(cos α+cos β)2=cos2α+2cos αcos β+cos2β=①,

(sin α+sin β)2=sin2α+2sin αsin β+sin2β=②,

①+②得2+2cos(α-β)=,

则cos(α-β)=-.

7.解析　由

得

①+②整理得5-4cos(α-β)=,

所以cos(α-β)=.

8.解析　(1)由 ·=||||,

得||·||cos α=||·||,

∴cos α=.又0<α<π,

∴sin α===.

∴tan α=.

(2)∵cos β=,β∈,

∴sin β=.

由(1)知sin α=,cos α=,

∴cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=×+×=.