高中数学北师大版 (2019)必修 第二册8 三角函数的简单应用免费课后作业题

第一章　三角函数

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.时钟经过三小时,时针转过了(　　)

A. rad B. rad

C.- rad D.- rad

2.将-1 485°改写成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　)

A.-8π+ B.-10π-

C.-8π+π D.-10π+π

3.函数y=2sin的周期,振幅,初相分别是(　　)

A.,2, B.4π,-2,-

C.4π,2, D.2π,2,-

4.已知sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则θ所在象限是(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

5.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+,则当t= s时,电流I为(　　)

A.5 A B.2.5 A

C.2 A D.-5 A

6.若扇形的半径变为原来的2倍,弧长也扩大到原来的2倍,则(　　)

A.扇形的面积不变

B.扇形的圆心角不变

C.扇形的面积扩大到原来的2倍

D.扇形的圆心角扩大到原来的2倍

7.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象.已知函数g(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的(　　)

A.最小正周期为π,最大值为2

B.最小正周期为π,图象关于点,0中心对称

C.最小正周期为π,图象关于直线x=对称

D.最小正周期为π,在区间,上单调递减

8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,则(　　)

A. f(sin 1)<f(cos 1) 

B. f >f

C. f >f  

D. f <f

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.下列结论正确的是(　　)

A.-是第三象限角

B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为

C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-

D.若角α为锐角,则角2α为钝角

10.已知函数f(x)=Asin ωx(A>0,ω>0)与g(x)=cos ωx的部分图象如图所示,则(　　)

A.A=1 B.A=2

C.ω= D.ω=

11.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　)

A.f(x)的最小正周期为2

B.f(x)图象的一条对称轴为直线x=-

C.f(x)在2k-,2k+,k∈Z上是减函数

D.f(x)的最大值为A

12.已知函数f(x)=|cos x|+cos x,则(　　)

A.f(x)是偶函数 

B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)的最大值为2 

D.f(x)的最小值为0

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.若点P(2m,-3m)(m<0)在角α的终边上,则sin α=　　　　. 

14.使得lg(cos α·sin α)有意义的角α是第　　　　象限角. 

15.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=　　　　,函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

16.如图为函数f(x)=Asin(2x+φ)的部分图象,对于任意的x1,x2∈[a,b],若f(x1 )=f(x2 ),都有f(x1+x2 )=,则φ等于　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

(1)化简:;

(2)求值:.

18.(本小题满分12分)比较下列各组数的大小.

(1)sin 2 016°和cos 160°;

(2)sin和cos.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin.

(1)求f(x)的最小正周期T;

(2)求f(x)的单调递增区间;

(3)在给定的坐标系中作出函数f(x)x∈的简图,并直接写出函数f(x)在区间上的取值范围.

20.(本小题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示.

(1)试用不同的方法求函数解析式;

(2)若方程f(x)=a在上有两个不同的实根,求实数a的取值范围.

21.(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;

(2)当自然气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.

22.(本小题满分12分)用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象时,列表如下:

(1)求x1,x2,x3的值及函数f(x)的解析式;

(2)已知函数g(x)=f(a>0),若函数g(x)在区间上是增函数,求实数a的最大值.

答案全解全析

本章达标检测

1.C 2.D 3.C 4.B 5.B

6.B 7.D 8.A 9.BC 10.BC

11.AC 12.ACD   

一、单项选择题

1.C　时针每小时转过-π/6 rad,所以三小时转过了-π/2 rad.

2.D　-1 485°=-1 485×π/180=-33/4π=-10π+7/4π.

3.C　由题意知,T=2π/(1/2)=4π,振幅为2,在1/2x+π/4中,令x=0,求得初相为π/4.故选C.

4.B　由sin(θ+π)=-sin θ<0⇒sin θ>0,cos(θ-π)=-cos θ>0⇒cos θ<0,由{■(sinθ>0"," @cosθ<0"," )┤可知θ是第二象限角.

5.B　当t=1/200 s时,I=5sin 100π×1/200+π/3 =5cosπ/3=2.5 A,故选B.

6.B　由S扇=1/2lr知,当半径变为原来的2倍,弧长也扩大到原来的2倍时,面积变为原来的4倍,故A,C错误.由圆心角θ=l/r可知,当l与r均变为原来的2倍时,θ的值不变,故B正确,D错误.

7.D　对于g(x),由题图可知,A=2,T=4× 2π/9-π/18 =2π/3,∴ω=2π/T=3.

则g(x)=2sin(3x+φ),

由g 2π/9 =2可得sin 2π/3+φ =1,

∴2π/3+φ=π/2+2kπ,k∈Z,

∴φ=-π/6+2kπ,k∈Z,

又|φ|<π/2,

∴φ=-π/6.

∴g(x)=2sin 3x-π/6 ,

∴f(x)=2sin 2x+π/6 .

∴f(x)的最小正周期为π,选项A、C错误.

对于选项B,令2x+π/6=kπ(k∈Z),所以x=kπ/2-π/12,k∈Z,所以函数f(x)图象的对称中心为 kπ/2-π/12,0 (k∈Z),所以选项B错误.当x∈ π/6,π/3 时,2x+π/6∈ π/2,5π/6 ,所以f(x)在 π/6,π/3 上是减函数,所以选项D正确.故选D.

8.A　∵f(x+2)=f(x),∴2是f(x)的一个周期,又f(x)是偶函数,当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,

∴设x∈[0,1],则4-x∈[3,4],

∴f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-x-3=1-x,

∴f(x)在[0,1]上单调递减.

∵sin 1,cos 1∈[0,1],且sin 1>cos 1,

∴f(sin 1)<f(cos 1),A正确.

∵π/4<3/2<π/2,∴0<cos3/2<sin3/2<1,因此f(sin 3/2)<f(cos 3/2),B错误.∵π/4<π/3<π/2,∴0<cosπ/3<sinπ/3<1,因此f(sin π/3)<f(cos π/3),C错误.

∵0<1/3<π/4,∴0<sin1/3<cos1/3<1,因此f(sin 1/3)>f(cos 1/3),D错误.故选A.

二、多项选择题

9.BC　选项A中,-7π/6=-2π+5π/6是第二象限角,A错误;选项B中,设扇形的半径为r,则π/3•r=π⇒r=3⇒S=1/2×π/3×32=3π/2,B正确;选项C中,√("(-" 3")" ^2+4^2 )=5,∴cos α=-3/5,C正确;选项D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,D错误.故选BC.

10.BC 　由题图可得过点(0,1)的图象对应的函数解析式为g(x)=A/2cos ωx,即A/2=1,所以A=2.过原点的图象对应函数f(x)=Asin ωx.由f(x)的图象可知,T=2π/ω=1.5×4,可得ω=π/3.

11.AC　由题图可知,函数f(x)的最小正周期T=2× 5/4-1/4 =2,故A正确;因为函数f(x)的图象过点 1/4,0 和 5/4,0 ,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1/2× 1/4+5/4 +kT/2=3/4+k(k∈Z),故直线x=-1/2不是函数f(x)图象的对称轴,故B不正确;由题图可知,当1/4-T/4+kT≤x≤1/4+T/4+kT(k∈Z),即2k-1/4≤x≤2k+3/4(k∈Z)时,f(x)是减函数,故C正确;若A>0,则最大值是A,若A<0,则最大值是-A,故D不正确.

12.ACD　因为f(-x)=|cos(-x)|+cos(-x)=|cos x|+cos x,f(x)的定义域为R,所以f(x)是偶函数,故A正确;因为f(x+π)=|cos(x+π)|+cos(x+π)=|cos x|-cos x≠f(x),所以π不是f(x)的最小正周期,故B不正确;当cos x≥0时, f(x)=2cos x∈[0,2],当cos x<0时, f(x)=0,所以f(x)的最大值为2,最小值为0,故C,D均正确.故选ACD.

三、填空题

13.答案　(3√13)/13

解析　如图,点P(2m,-3m)(m<0)在第二象限,且r=-√13m,

故有sin α=("-" 3m)/r=("-" 3m)/("-" √13 m)=(3√13)/13.

14.答案　一或三

解析　要使原式有意义,必须满足cos α•sin α>0,即需cos α与sin α同号,所以α是第一或第三象限角.

15.答案　2; ["-"  5π/12+kπ","  π/12+kπ],k∈Z

解析　由题中图象知T/2=π/3-("-"  π/6)=π/2,则T=π,即2π/ω=π,∴ω=2,

∴f(x)=2sin(2x+φ),

由五点法得2×("-"  π/6)+φ=0,即φ=π/3,

∴f(x)=2sin(2x+π/3),

令2kπ-π/2≤2x+π/3≤2kπ+π/2,k∈Z,

得-5π/12+kπ≤x≤kπ+π/12,k∈Z,

即函数f(x)的单调递增区间为["-"  5π/12+kπ","  π/12+kπ],k∈Z.

16.答案　π/4

解析　由题图可知A=2.

不妨设(x_1+x_2)/2=m,则x1+x2=2m,

由三角函数的性质可知2m+φ=2kπ+π/2(k∈Z),

则f(x1+x2 )=2sin[2(x1+x2 )+φ]

=2sin(2×2m+φ)=2sin[2×(2m+φ)-φ]

=2sin 2× 2kπ+π/2 -φ

=2sin(4kπ+π-φ)=2sin φ=√2,则sin φ=√2/2,结合|φ|≤π/2,可得φ=π/4.

四、解答题

17.解析　(1)原式

=("-" sinα"•(-" cosα")•" tan(π/2 "-" α))/("-"  1/tanα "•" sinα)

=(sinαcosα"•"  1/tanα)/("-"  1/tanα "•" sinα)=-cos α.(5分)

(2)原式=(tan(2π"-"  π/4)"-" tan(π"-"  π/3))/(1+tan(π+π/3)tan" "  π/4)

=("-" tan" "  π/4+tan" "  π/3)/(1+tan" "  π/3)=(√3 "-" 1)/(√3+1)=2-√3.(10分)

18.解析　(1)sin 2 016°=sin(360°×5+216°)

=sin 216°=sin(180°+36°)=-sin 36°,(2分)

cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°

=-sin 70°.(4分)

∵sin 36°<sin 70°,

∴-sin 36°>-sin 70°,

即sin 2 016°>cos 160°.(6分)

(2)cos5/3=sin π/2+5/3 ,(8分)

又π/2<7/4<π/2+5/3<3π/2,

y=sin x在 π/2,3π/2 上单调递减,

∴sin7/4>sin π/2+5/3 ,(11分)

即sin7/4>cos5/3.(12分)

19.解析　(1)f(x)的最小正周期T=2π/2=π.(3分)

(2)令-π/2+2kπ≤2x+π/3≤π/2+2kπ,k∈Z,得-5π/12+kπ≤x≤π/12+kπ,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是["-"  5π/12+kπ","  π/12+kπ],k∈Z.(7分)

(3)函数f(x)(x"∈" ["-"  π/6 ",-"  π/6+T] )的简图如图所示.

(10分)

函数f(x)在区间[π/6 ","  2π/3]上的取值范围是[-2,√3].(12分)

20.解析　(1)解法一:由题图易知此函数的图象是由y=sin x的图象向左平移π/3个单位长度得到的,故其函数解析式为f(x)=sin x+π/3 .(6分)

解法二:由题图易知A=1,函数f(x)的周期T=4× 7π/6-2π/3 =2π,∴ω=2π/T=1.又f(x)的图象过点 -π/3,0 ,

∴sin -π/3+φ =0.

∴-π/3+φ=2kπ,k∈Z,

得φ=2kπ+π/3,k∈Z,

又∵φ∈ 0,π/2 ,∴φ=π/3,

∴f(x)=sin x+π/3 .(6分)

(2)方程f(x)=a在 0,5π/3 上有两个不同的实根等价于y=f(x)的图象与直线y=a在 0,5π/3 上有两个交点.(8分)

作出函数f(x)=sin x+π/3 在 0,5π/3 上的图象和直线y=a,如图.

由图可以看出,当二者有两个交点时,a∈(√3/2 "," 1)∪(-1,0).

 (12分)

21.解析　(1)以月份x为横轴,气温t为纵轴作出散点图,并以光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.

由于月平均气温是以12个月为周期变化的,故依散点图所绘制的图象可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k(A>0"," ω>0",|" φ"|" <π/2)来模拟.(3分)

由最高气温为17.9 ℃,最低气温为9.5 ℃,

得A=(17"." 9"-" 9"." 5)/2=4.2,k=(17"." 9+9"." 5)/2=13.7.(5分)

显然2π/ω=12,故ω=π/6.(6分)

又x=2时,y取得最大值,所以由五点法可得π/6×2+φ=0,得φ=-π/3,

所以t=4.2cos(πx/6 "-"  π/3)+13.7为惠灵顿市的月平均气温函数模型.(8分)

(2)直线t=13.7与函数图象交于(5,13.7),(11,13.7)两点.这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间.(12分)

22.解析　(1)由{■(π/6 ω+φ=0"," @2π/3 ω+φ=π"," )┤可得{■(ω=2"," @φ="-"  π/3 "," )┤(2分)

由2x1-π/3=π/2,2x2-π/3=3π/2,2x3-π/3=2π,

可得x1=5π/12,x2=11π/12,x3=7π/6,(5分)

由题表知A=2,

∴f(x)=2sin 2x-π/3 .(6分)

(2)g(x)=f ax/2+π/6 =2sin ax(a>0),当x∈ -2π/3,π/6 时,

ax∈ -2aπ/3,aπ/6 ,

∵g(x)在 -2π/3,π/6 上是增函数,

∴ -2aπ/3,aπ/6 ⊆ -π/2+2kπ,π/2+2kπ (k∈Z),(9分)

∴{■("-"  2aπ/3≥"-"  π/2+2kπ"," @aπ/6≤π/2+2kπ)┤(k∈Z),

∴{■(a≤3/4 "-" 3k"," @a≤3+12k)┤(k∈Z).

 ∵a>0,∴-1/4<k<1/4,又k∈Z,∴k=0,

∴0<a≤3/4,∴实数a的最大值为3/4.(12分)