高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试同步达标检测题

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.与角-330°终边相同的最小正角是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.-30° B.330° C.30° D.60°

2.已知弧长为π cm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形面积为(　　)

A. B.π C.2π D.4π

3.若f(x)=tan ωx(ω>0)的最小正周期T为1,则f的值为(　　)

A.- B.- C. D.

4.已知a,b是实数,角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(a,1),B(-2,b),且sin θ=,则的值为(　　)

A.-4 B.-2 C.4 D.±4

5.已知a=sin ,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.c<b<a D.c<a<b

6.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示,则φ的值为(　　)

A. B.- C.- D.

7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与y轴交于点M,距离y轴最近的最大值点为N,若∀x1,x2∈(-a,a),且x1≠x2,恒有f(x1)≠f(x2),则实数a的最大值为(　　)

A. B. C. D.

8.将函数f(x)=3sin的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到g(x)的图象,若g(x1)·g(x2)=16,且x1,x2∈,则2x1-x2的最大值为　(　　)

A. B. C. D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.下列函数中,以为周期且图象关于直线x=对称的是　　(　　)

A.y=sin|x| B.y=cos|x|

C.y=|sin 2x| D.y=|cos 2x|

10.下列结论正确的是(　　)

A.-是第三象限角

B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为

C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-

D.若角α为锐角,则角2α为钝角

11.若函数f(x)=3sin的图象为C,则下列叙述正确的有(　　)

A.图象C关于直线x=对称

B.函数f(x)在区间内是增函数

C.将y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C

D.图象C关于点对称

12.若角α的终边上一点P的坐标是(-sin 4,-cos 4),则α的值不可能为(　　)

A.4- B.4+ C.-4+ D.-4-

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.函数y=的定义域是　　　　　　　　. 

14.关于函数f(x)=2sin,有下列命题:①最小正周期T是;②图象可由y=2sin 3x的图象向左平移个单位得到;③表达式可改写为y=2cos;④在x∈上为增函数.其中正确命题的序号是　　　　. 

15.若函数f(x)=(ω>1)在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是　　　　　　　. 

16.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则sin θcos(π-θ)=　　　　;tan θ=　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知α为第三象限角,且f(α)=.

(1)化简f(α);

(2)若cos,求f(α)的值;

(3)若α=-,求f(α)的值.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin,ω>0的最小正周期为.

(1)求实数k的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间;

(3)求函数f(x)取得最大值1时,x的取值集合.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),它的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)先将函数y=f(x)图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x),x∈的单调递增区间.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=m-是定义在R上的奇函数.

(1)求实数m的值;

(2)如果对任意x∈R,不等式f(2a+cos2x)+f(4sin x--7)<0恒成立,求实数a的取值范围.

21.(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;

(2)当自然气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.

22.(本小题满分12分)如图,已知单位圆O,A(1,0),B(0,1),点D在圆上,且∠AOD=,点C从点A沿劣弧运动到点B,作BE⊥OC于点E,设∠COA=θ.

(1)当θ=时,求线段DC的长;

(2)△OEB的面积与△OCD的面积之和为S,求S的最大值.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.C　与角-330°终边相同的最小正角为-330°+360°=30°.故选C.

2.C　依题意,扇形的半径为=4,则扇形面积为·π·4=2π.故选C.

3.D　∵T==1,∴ω=π,∴f(x)=tan πx,

∴f.

故选D.

4.A　由三角函数的定义,知,且a<0,b>0,解得b=,则=-4.故选A.

5.C　∵角是一个锐角,∴a=sin>0,

又∵cos,∴-1<b<0,

又∵tan,而,

∴c<-1,∴c<b<a,故选C.

6.D　由题图可知,,所以T=3π,所以ω=,所以f(x)=2sin,又因为f=2,所以+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=.故选D.

7.C　由题意得,A=3,3sin φ=,又|φ|<,∴φ=.

由五点作图法知,解得ω=3,∴f(x)=3sin.

令2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z.

∴(-a,a)⊆,

∴0<a≤.

8.A　将f(x)=3sin的图象先向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的图象对应的函数为g(x)=3sin+1,

∴g(x)∈[-2,4],

∵g(x1)·g(x2)=16,

∴g(x1)=4且g(x2)=4,

令2x+,k∈Z,

得x=kπ-,k∈Z,

∵x1,x2∈,

∴当k=-1时,x=-,令x2=-,为最小值;

当k=1时,x=,令x1=,为最大值.

∴2x1-x2的最大值为2×,故选A.

二、多项选择题

9.CD　对于A选项,当x=时,y=sin≠±1,则y=sin|x|的图象不关于直线x=对称,故A错误;对于B选项,y=cos|x|=cos x,由余弦函数的图象可知,直线x=不是其图象的对称轴,故B错误;对于C选项,函数y=|sin 2x|的最小正周期T=,当x=时,y==1,由其函数图象(图略)知,直线x=是其图象的对称轴,故C正确;对于D选项,函数y=|cos 2x|的最小正周期T=,当x=时,y==0,由其函数图象(图略)知,直线x=是其图象的对称轴,故D正确.

故选CD.

10.BC　选项A中,-,是第二象限角,A错误;选项B中,设扇形的半径为r,面积为S,则·r=π⇒r=3⇒S=,B正确;选项C中,=5,∴cos α=-,C正确;选项D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,D错误.故选BC.

11.AB　把x=代入函数f(x),得

f(x)=3sin=-3,取得最小值,所以图象C关于直线x=对称,故A正确;

令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),

解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),

当k=0时,增区间为,故B正确;

将y=3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到y=3sin的图象,故C错误;

把x=代入, 得f=3sin2×=3sin≠0,故D错误,故选AB.

12.ABC　∵角α的终边上一点P的坐标是(-sin 4,-cos 4),

∴由三角函数定义可得sin α=-cos 4,cos α=-sin 4.

对于A,当α=4-时,

sin α=sin=-cos 4,

cos α=cos=sin 4,与题意不符,故α的值不可能为4-;

对于B,当α=4+时,

sin α=sin=cos 4,

cos α=cos=-sin 4,与题意不符,故α的值不可能为4+;

对于C,当α=-4+时,

sin α=sin=cos 4,

cos α=cos=sin 4,与题意不符,故α的值不可能为-4+;

对于D,当α=-4-时,

sin α=sin=-cos 4,

cos α=cos=-sin 4,符合题意,故α的值可能为-4-.

故选ABC.

三、填空题

13.答案　(k∈Z)

解析　由正弦函数的定义和分式的意义,得1+2sin x>0,即sin x>-,解得-+2kπ,k∈Z.

故函数的定义域是-+2kπ(k∈Z).

14.答案　①④

解析　∵f(x)=2sin,

∴T=,命题①正确;f(x)=2sin,

将y=2sin 3x的图象向右平移个单位可得到f(x)=2sin的图象,命题②错误;

f(x)=2sin=2sin3x-=-2cos,命题③错误;x∈时,3x-∈,

则函数在x∈上为增函数,命题④正确.

15.答案　

解析　由题意可得函数f(x)的最小正周期T=≥×2,且ω>1,

∴1<ω≤2.

∵函数y=|sin x|的最小正周期为π,单调递减区间为,k∈Z,

由kπ+≤ωx+≤kπ+π,k∈Z,

得≤x≤,k∈Z,

∴函数f(x)=(ω>1)的单调递减区间为,k∈Z.

∵函数f(x)在区间上单调递减,

∴⊆,k∈Z,

∴

解得k+≤ω≤,k∈Z.

当k=0时,≤ω≤,不合题意;

当k=1时,≤ω≤,符合题意.

∴实数ω的取值范围是.

16.答案　

解析　∵sin θ+cos θ=,

∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,

∴sin θcos θ=-,

∴sin θcos(π-θ)=-sin θcos θ=,

∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,

∵θ∈(0,π),

∴sin θ>0,cos θ<0,

即sin θ-cos θ>0,

∴sin θ-cos θ=.

联立

解得

∴tan θ=-.

故答案为.

四、解答题

17.解析　(1)f(α)

=

=

=-cos α.(4分)

(2)∵α为第三象限角,cos=-sin α=,

∴sin α=-,cos α<0,

∴f(α)=-cos α=.(7分)

(3)∵α=-,

∴f(α)=-cos α=-cos

=cos.(10分)

18.解析　(1)由函数f(x)=sin,ω>0的最小正周期为,可得,解得ω=3.(2分)

(2)由(1)知,函数f(x)=sin,

∴2kπ-≤3x+≤2kπ+,k∈Z,得≤x≤,k∈Z.

故函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(6分)

(3)由f(x)=sin的最大值为1,知3x+,k∈Z,得x=,k∈Z,

则x的取值集合为.(12分)

19.解析　(1)由题图可知,A=2,,

∴T=π,∴ω==2,

由2×+φ=0,得φ=-.

则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.(4分)

(2)先将函数y=f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin的图象,

再将得到的图象向左平移个单位,得到函数g(x)=2sin的图象,

由-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,

得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.

取k=0,可得-≤x≤,

∴函数y=g(x)在x∈上的单调递增区间为.(12分)

20.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(-x)=-f(x),

即m-=0,

即2m-2=0,

故m=1.(4分)

(2)因为m=1,

所以f(x)=1-.(5分)

任取x1,x2∈R,

且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=.(6分)

因为x1<x2,所以,

所以f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在R上是增函数.(7分)

因为f(2a+cos2x)+f(4sin x--7)<0,

且f(x)是奇函数,

所以f(2a+cos2x)<-f(4sin x--4sin x+7),

所以2a+cos2x<-4sin x+7,(8分)

即2a-<-cos2x-4sin x+7对任意x∈R都成立.

由于-cos2x-4sin x+7=(sin x-2)2+2,

其中-1≤sin x≤1,

所以3≤(sin x-2)2+2≤11,

即-cos2x-4sin x+7的最小值为3.(10分)

所以2a-<3,

即2a-1--2<0,

解得0≤<2,

由0≤<2,得≤a<.(11分)

故实数a的取值范围是.(12分)

21.解析　(1)以月份x为横轴,气温t为纵轴作出散点图,并以光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.

由于月平均气温是以12个月为周期变化的,故依散点图所绘制的图象可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k来模拟.(3分)

由最高气温为17.9 ℃,最低气温为9.5 ℃,

得A==13.7.(5分)

显然=12,故ω=.(6分)

又x=2时,t取得最大值,

所以由五点法可得×2+φ=0,得φ=-,

所以t=4.2cos+13.7为惠灵顿市的月平均气温函数模型.(8分)

(2)作直线t=13.7与函数图象交于(5,13.7),(11,13.7)两点.这说明在每年的十一月至第二年的五月气温不低于13.7 ℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间.(12分)

22.解析　(1)因为θ=,∠COD=,(2分)

所以∠ODC=.(4分)

(2)因为∠COA=θ,所以∠OBE=θ,

所以OE=sin θ,BE=cos θ,

S△OEB=sin θcos θ.(6分)

因为∠AOD=,∠COA=θ.

所以∠COD=θ+,OC=OD=1,取CD的中点H,连接OH,

则OH⊥CD,∠DOH=,

所以S△OCD=cos

=(sin θ+cos θ).(8分)

△OEB的面积与△OCD的面积之和S=sin θcos θ+(sin θ+cos θ),(9分)

令t=sin θ+cos θ,θ∈,则t∈[1,],且sin θcos θ=.(10分)

所以S=t-1)

=,

因为t∈[1,],

所以当t=时,S取得最大值,最大值为.(12分)