人教B版 (2019)必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述课堂检测

7.4　数学建模活动:周期现象的描述

基础过关练

题组一　三角函数模型在物理中的应用

1.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l等于(　　)　　 　　　　　

A.         B.        C.      D.

2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin2πt+,那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)

A.2π s      B.π s       C.0.5 s        D.1 s

3.已知某简谐振动f(x)=2sin的图像经过点(0,1),则该简谐振动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A.T=6,φ=             B.T=6,φ=

C.T=6π,φ=          D.T=6π,φ=

4.在电流强度I(A)与时间t(s)的关系式I=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,要使t在任意 s的时间内电流强度I都能取得最大值A与最小值-A,则正整数ω的最小值为　　　　. 

5.如图为某简谐振动的图像,这个简谐振动中的物体需要　　　　s往返一次. 

题组二　三角函数模型在生活中的应用

6.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量F(t)(单位:辆/分钟)与时间t(单位:分钟)的函数关系式为F(t)=50+4sin(0≤t≤20),则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)

A.[0,5]       B.[5,10]    C.[10,15]   D.[15,20]

7.如图,某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin+k,据此可知,这段时间内水深(单位:米)的最大值为(　　)

A.5          B.6         C.8         D.10

8.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表:

则下列函数模型中,适合这组数据的是(　　)

A.y=acos                    B.y=acos+k(a>0,k>0)

C.y=-acos+k(a>0,k>0)       D.y=acos-3

9.据市场调查,某种商品一年内每月的出厂价在7千元的基础上,按月份呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低,为5千元,根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)

A. f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

B. f(x)=9sin(1≤x≤12,x∈N*)

C. f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N*)

D. f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*)

10.某摩天轮建筑,其旋转半径为50米,最高点距地面110米,运行一周大约21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他距地面大约(　　)

A.75米     B.85米    C.100米     D.110米

11.已知某地一天4~16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].

(1)求该地在这段时间内的温差;

(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长时间?

题组三　三角函数模型的建立及应用

12.如图,某动物种群数量在1月1日时低至700,7月1日时高至900,其数量在这两个值之间呈正弦型曲线变化(周期为一年).

(1)求该动物种群数量y关于时间t的正弦型函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位);

(2)试估计当年3月1日时该动物种群的数量.

13.下表是某地某年的月平均气温(华氏度):

用x表示月份-1,用y表示平均气温.

(1)用正弦曲线表示这些数据;

(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A;

(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?

①=cos;② =cos;③=cos.

14.为了迎接旅游旺季的到来,少林寺设置了一个专门安排旅客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会呈现周期性的变化,并且有以下规律:

①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;

②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;

③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月增加直到8月份达到最多.

(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;

(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物?

能力提升练

一、单项选择题

1.(★★☆)在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下面两式确定:s1=5sin,s2=10cos 2t.当t=时,s1与s2的大小关系是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.s1>s2                   B.s1<s2     

C.s1=s2                   D.不能确定

2.(★★☆)下图为一半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有(　　)

1. ω=,A=3         B.ω=,A=3   

C.ω=,A=5        D.ω=,A=5

3.(疑难1,★★☆)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数解析式为I=Asin(ωt+φ)(0<φ<π),其图像如图所示,则t为(s)时的电流强度为(　　)

A.0 A            B.-5 A    

C.10 A         D.-10 A

二、多项选择题

4.(疑难2,★★☆)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是(　　)

A.该函数的周期是16

B.该函数图像的一条对称轴是直线x=14

C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14)

D.该市这一天中午12时天气的温度大约是27 ℃

三、填空题

5.(★★☆)函数y=sin ωx(ω>0)的部分图像如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点,若△ABC是直角三角形,则ω的值为　　　　. 

6.(疑难2,★★☆)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x-6)(x=1,2,3,…,12,A>0)来表示,已知6月份的月平均气温达到最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则该城市10月份的月平均气温为　　　　℃. 

7.(疑难2,★★☆)下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h在某天0~24时的变化情况,则水面高度h(米)关于时间t(时)的函数解析式为　　　　　. 

四、解答题

8.(★★☆)一种波的波形为函数y=-sinx的图像,若其在区间[0,t]上至少有两个波峰(图像的最高点),求正整数t的最小值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　因为周期T=,所以==2π,则l=.

2.D　依题意可知,单摆摆动一个周期所需的时间即为函数s=6sin的周期,易知T==1,故选D.

3.A　由题意知f(0)=2sin φ=1,

因为|φ|<,所以φ=,T==6,故选A.

4.答案　629

解析　由题意得T≤,即≤,∴ω≥200π,

∴正整数ω的最小值为629.

5.答案　0.8

解析　由题图知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐振动中的物体需要0.8 s往返一次.

6.C　令2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z.∴4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z.

∵0≤t≤20,

∴当k=0时,函数F(t)的单调递增区间为[0,π],当k=1时,函数F(t)的单调递增区间为[3π,5π].

∵[10,15]⫋[3π,5π],

∴车流量在[10,15]时间段内是增加的,故选C.

7.C　由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,∴ymax=k+3=8.

8.C　当x=1时,函数模型的图像处于最低点,且易知a=>0,结合选项易知C正确.

9.A　由题意得A==2,b==7.

周期为=2×(7-3)=8,∴ω=.

当x=3时,y=9,即2sin+7=9,

∴sin=1,∴π+φ=+2kπ(k∈Z).

∵|φ|<,∴φ=-.∴f(x)=2sin+7(1≤x≤12,x∈N*).

10. B　设距地面的高度f(t)与时间t的关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知A=50,B=110-50=60,T==21,∴ω=,即f(t)=50×sint+φ+60.又∵f(0)=110-100=10,

即sin φ=-1,又φ∈[0,2π),故φ=,∴f(t)=50sint++60,

∴f(7)=50sin×7++60=85.故选B.

11.解析　(1)易知当x=14时,函数取最大值,此时最高温度为30 ℃;当x=6时,函数取最小值,此时最低温度为10 ℃,所以温差为30-10=20(℃).

(2)令10sin+20=15,得sin=-,

∴x-=kπ-,k∈Z,∴x=8k+,k∈Z.

又x∈[4,16],∴x=;

令10sin+20=25,得sin=,

∴x-=kπ+,k∈Z,∴x=8k+,k∈Z.

又x∈[4,16],∴x=.故该细菌能存活的最长时间为 -= 小时.

12.解析　(1)设该动物种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0),

则解得A=100,b=800.

又周期T=12,∴ω==,∴y=100sint+φ+800.

又当t=6时,y=900,∴900=100sin×6+φ+800,∴sin(π+φ)=1,

∴sin φ=-1,∴可取φ=-,∴y=100sint-+800=-100cost+800.

(2)当t=2时,y=-100cos+800=750,

即当年3月1日时该动物种群的数量约为750.

13.解析　(1)如图.

(2)1月份的月平均气温最低,为21.4,7月份的月平均气温最高,为73.0,故=7-1=6,所以T=12.

因为2A的值等于最高月平均气温与最低月平均气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.

(3)因为x=月份-1,所以不妨取x=2-1=1,y=26.0,

代入①,得=>1≠cos,故①不适合;代入②,得=<0≠cos,故②不适合;代入③,得0<=<1,所以③适合.所以③最适合这些数据.

14.解析　(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知, f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400;由③可知, f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.

根据上述分析可得,=12,故ω=,且解得

根据分析可知,当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,

故sin=-1,且sin=1.

又因为0<|φ|<π,故φ=-.

所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.

(2)令200sin+300≥400,化简得sin≥,即2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,

解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.

因为1≤x≤12,且x∈N*,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月5个月份要准备400份以上的食物.

能力提升练

一、单项选择题

1.C　当t=时,s1=5sin=5sin=-5,s2=10cos=-5,所以s1=s2.

2.A　由题意得周期T=15秒,∴ω==.由题图可知,水轮最高点距离水面5米,故A+2=5,

即A=3.

3.A　由题图知A=10,函数的周期T=2×=,

所以ω===100π,将点代入I=10sin(100πt+φ)得φ=+2kπ,k∈Z,

又0<φ<π,所以φ=,故函数解析式为I=10sin,再将t=代入函数解析式得I=0.故当t为(s)时,电流强度为0 A.

二、多项选择题

4.ABD　由题意以及函数的图像可知,A+B=30,-A+B=10,∴A=10,B=20.

∵=14-6,∴T=16,A正确;∵T=,∴ω=,∴y=10sin+20.

∵图像经过点(14,30),∴30=10sin+20,∴sin=1.∵0<φ<π,

∴φ=,∴y=10sin+20(0≤x≤24),B正确,C错误;

当x=12时,y=10sin+20=10×+20≈27,故D正确.故选ABD.

三、填空题

5.答案　

解析　由题意结合三角函数的对称性可知△ABC为等腰直角三角形,且∠ACB为直角,取AB的中点D,连接CD,由三角函数的最大值为1,最小值为-1,可得CD=1-(-1)=2,故AB=2CD=4,又AB的长度为函数的一个周期,即4=,解得ω=.

6.答案　20.5

解析　由题意得∴∴y=23+5cos,

∴当x=10时,y=23+5×=20.5.

7.答案　h=-6sin t,t∈[0,24]

解析　根据题图可设h=Asin(ωt+φ)(A>0),则A=6,T=12,∴=12,∴ω=.

将点(6,0)作为“五点法”作图中的第一个点,

则×6+φ=0,∴φ=-π,

∴h=6sin=-6sint,t∈[0,24].

四、解答题

8.解析　由T==4可知此波形的函数周期为4,显然当0≤x≤1时,函数单调递减;当1<x<3时,函数单调递增.又x=3时,y=1,因此自x=0开始向右的第一个波峰所对的x值为3,第二个波峰对应的x值为7,所以若在区间[0,t]上至少有两个波峰,则t的最小值应为7.