高中数学第三章 三角恒等变换综合与测试巩固练习

第三章　三角恒等变换

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.sin 160°cos 10°+cos 20°sin 170°=(　　)

A.- B. C.- D.

2.设单位向量a=,则cos 2α的值为(　　)

A. B.- C.- D.

3.函数f(x)=sin2x+sin xcos x-的最小正周期和振幅分别是(　　)

A.π, B.2π, C.2π, D.π,

4.函数y=cos+sin·cos-sin在一个周期内的图象是(　　)

5.已知sin α=,则cos4α-sin4α的值为(　　)

A.- B.- C. D.

6.已知tan(α+β)=,tan=,那么tan=(　　)

A. B. C. D.

7.若coscos=,则sin 2θ的值为　(　　)

A. B. C. D.

8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,会标是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如果小正方形的面积为a2,大正方形的面积为25a2,直角三角形中较小的锐角为θ,则tan=(　　)

A.- B.- C.- D.-

9.在△ABC中,A=15°,则sin A-cos(B+C)的值为(　　)

A. B. C. D.2

10.设θ∈,且tan=-2,则cos=(　　)

A. B.

C. D.-

11.设a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2满足f =f(0),当x∈时,f(x)的值域为(　　)

A.[1,2] B.[,] C.[,2] D.[,2]

12.将函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若当x∈时,g(x)的图象与直线y=a(1≤a<2)恰有两个公共点,则x0的取值范围为(　　)

A. B. C. D.

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.若cos α=,α∈,则tan =　　　　. 

14.若f(cos x)=2cos 2x,则f=　　　　. 

15.tan 75°-tan 15°-tan 75°tan 15°=　　　　. 

16.函数f(x)=cos2+1的最小正周期为　　　　. 

三、解答题(共70分)

17.(10分)已知tan(α-β)=-7,cos α=-,其中α∈(0,π),β∈(0,π).

(1)求tan β的值;

(2)求α+β的值.

18.(12分)若<α<π,0<β<,且sin=,cos=-,求cos(α+β)的值.

19.(12分)设函数f(x)=4cos x·sin-1.

(1)求函数y=f(x)的最小正周期;

(2)求函数y=f(x)的单调递增区间及图象的对称中心;

(3)函数y=f(x)的图象可以由y=cos x的图象经过怎样的变换得到?

20.(12分)已知O为坐标原点,=(2cos x,),=(sin x+cos x,-1),若函数f(x)=·+2.

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)若方程f(x)+m=0在区间上有根,求m的取值范围.

21.(12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.

①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°;

②sin218°+cos212-sin 18°cos 12°;

③sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.

(1)试从上述式子中任选一个式子,并计算出这个常数;

(2)猜想出反映上述式子中所含的一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明.

22.(12分)设函数f(x)=2cos+4sin2x,定义域为R.

(1)求函数f(x)的最小正周期,并求出其单调递减区间;

(2)求关于x的方程f(x)=2-的解集.

答案全解全析

第三章　三角恒等变换

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一、选择题

1.D　sin 160°cos 10°+cos 20°sin 170°

=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°

=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.

2.A　∵|a|==1,∴sin2α=,∴cos 2α=1-2sin2α=.故选A.

3.D　f(x)=sin2x+sin xcos x-=-cos 2x+sin 2x=sin,所以最小正周期T==π,振幅为.故选D.

4.B　∵函数y=cosx++sinx+·cosx+-sinx+

=cos2x+-sin2x+

=cos2x+=-sin 2x,

∴最小正周期为π,且与y=sin 2x的图象关于x轴对称,

∴满足条件的只有选项B,故选B.

5.D　cos4α-sin4α=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos 2α=1-2sin2α=1-=.

6.D　∵tan(α+β)=,tan=,

∴tan=tan===.故选D.

7.B　cos -θcos--θ=,即cos-θsin-θ=,

即sin-2θ=,

所以cos 2θ=.

又因为0<θ<,所以0<2θ<π,

所以sin 2θ=.故选B.

8.D　由题意可知小正方形的边长为a,大正方形的边长为5a,直角三角形的面积为=6a2,

设直角三角形的两条直角边长分别为x,y,且x<y,则由对称性可得y=x+a,

∴直角三角形的面积为S=xy=6a2,

联立方程组可得x=3a,y=4a,

∴tan θ=.

∴tan====-,故选D.

9.C　sin A-cos(B+C)

=sin A-cos(π-A)

=sin A+cos A

=2sin A+cos A

=2sin(A+30°)=2sin 45°

=.

10.B　tan θ=tan===3,∵θ∈,∴sin θ=,cos θ=.又sin=sin=sincos-cossin=,

cos=cos=coscos+sinsin=,

∴cos=cos θcos+sin θsin

=×+×

=.故选B.

11.D　f(x)=sin 2x-+

=sin 2x-cos 2x,

因为f-=f(0),所以a=2,

所以f(x)=sin 2x-cos 2x

=2sin2x-,

当x∈,时,2x-∈,,f(x)∈[,2].故选D.

12.C　由题意得f(x)=sin 2x+cos 2x=

2sin,由图象平移可知g(x)=

f=2sin.

当x∈时,2x-∈,2x0-.

∵g=2sin=1,g=2sin=2,g=2sin=1,

g=2sin=1,

且g(x)的图象与直线y=a(1≤a<2)恰有两个公共点,∴<2x0-≤,解得<x0≤.故选C.

二、填空题

13.答案　

解析　因为α∈0,,所以∈0,,又cos α=,

所以tan ===.

14.答案　-

解析　由题意得f(cos x)=2(2cos2x-1)=4cos2x-2.令cos x=t(-1≤t≤1),所以f(t)=4t2-2,所以f=4sin2-2=4-2=-.

15.答案　

解析　因为tan(75°-15°)==,所以tan 75°-tan 15°=+ tan 75°tan 15°,则tan 75°-tan 15°-tan 75°tan 15°=+tan 75°tan 15°-tan 75°tan 15°=.

16.答案　

解析　由题意得f(x)=cos2+1=×+1

=cos4x-+,所以函数f(x)的最小正周期T==.

三、解答题

17.解析　(1)因为cos α=-,α∈(0,π),

所以sin α==,

所以tan α==-2.

所以tan β=tan[α-(α-β)]

==.

(2)tan(α+β)=

==-1.

因为cos α=-<0,α∈(0,π),

所以α∈,π.

因为tan β=>0,β∈(0,π),

所以β∈0,,

所以α+β∈,.

所以α+β=.

18.解析　因为sin=,<α<π,所以cos=-.

因为cos=-,0<β<,

所以sin=.

因为α++β+=α+β+,

所以cos(α+β)=sin,

即cos(α+β)=sin

=×+×=-.

19.解析　因为sinx+=sin xcos +cos xsin  =sin x+cos x,

所以f(x)=4cos xsin-1=4cos x·sin x+cos x-1=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2cos 2xcos +sin 2xsin =2cos2x-.

(1)因为ω=2, 所以T==π.

(2)令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

所以函数的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z.

令2x-=kπ-,k∈Z,

得x=-,k∈Z,

所以函数图象的对称中心为-,0,k∈Z.

(3)函数y=cos x的图象向右平移个单位得到函数y=cosx-的图象,

函数y=cosx-的图象上的每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=cos2x-的图象,

函数y=cos2x-的图象上的每一点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2cos2x-的图象.

20.解析　(1)∵=(2cos x,),=(sin x+cos x,-1),

∴f(x)=·+2=2cos xsin x+2cos2x-+2=sin 2x+cos 2x+2

=2sin2x++2.

令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.

∴f(x)的单调递减区间为kπ+,kπ+(k∈Z).

(2)∵x∈0,,

∴2x+∈,,

∴-<sin2x+≤1,

∴f(x)∈(-+2,4].

∵方程f(x)+m=0在区间上有根,∴m∈[-4,-2).

21.解析　(1)sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°=sin213°+cos2(30°-13°)-sin 13°cos(30°-13°)

=sin213°+(cos 30°cos 13°+sin 30°sin 13°)2-sin 13°(cos 30°cos 13°+sin 30°sin 13°)

=sin213°+cos213°+sin213°+sin 13°·cos 13°-sin 13°cos 13°-sin213°

=sin213°+cos213°=.

(2)一般规律:sin2α+cos2(30°-α)-sin α·cos(30°-α)=.

证明:sin2α+cos2(30°-α)-sin αcos(30°-α)

=sin2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α)

=sin2α+cos2α+sin2α+sin αcos α-sin αcos α-sin2α=sin2α+cos2α=.

22.解析　(1)f(x)=2cos+4sin2x=2+4×

=sin 2x-3cos 2x+2

=2+2

=2+2

=2sin+2,所以函数f(x)的最小正周期T==π.

令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),

得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

因此函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).

(2)令f(x)=2sin+2=2-,得sin=-,∴2x-=-+2kπ或2x-=-+2kπ(k∈Z),解得x=kπ-或x=+kπ(k∈Z),因此,关于x的方程f(x)=2-的解集为.