高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数本章综合与测试课堂检测

第五章　复数

专题强化练9　复数的乘除

一、选择题

1.(2020广东惠州高三第三次调研考试,)设i为虚数单位,复数z=+i2,则z在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.(2020湖南岳阳高三上期末,)已知复数z满足(1+2i)z=3-4i,则|z|=(　　)

A. B.5 C. D.

3.(2020山东德州夏津第一中学高三上学期月考,)若复数(a∈R)为纯虚数,则|1+ai|=(　　)

A. B.2 C.5 D.

4.(2020四川德阳高三一诊考试,)已知i为虚数单位,a、b∈R,z=a+i,=i,则ba=(　　)

A.1 B.-1 C. D.2

5.(2020湖北黄冈高三上学期月考,)复数z满足z(1+i)=,则复数z的共轭复数的虚部为(　　)

A. B.-i C.- D.i

6.(2020陕西西北工业大学附属中学高三第一次适应性考试,)设复数z=,f(x)=x2-x+1,则f(z)=(　　)

A.i B.-i C.-1+i D.1+i

7.(多选)(2019陕西商洛高三上学期期末教学质量检测,)若z=,则下列复数的虚部为-2的是(　　)

A.-5z B.5z C.z-i D.z+i

8.(多选)(2020山东泰安第二中学高三上月考,)已知复数z满足i2k+1z=2+i(k∈Z),则z在复平面内对应的点可能位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

二、填空题

9.(2020江苏苏州高三高考模拟,)设i是虚数单位,复数z=的模为1,则正实数a的值为　　　　. 

10.(2020福建上杭一中高三月考,)已知i为虚数单位,a∈R,若为纯虚数,则复数z=(2a+1)+i的模等于　　　　. 

三、解答题

11.(2020河南开封高二上期末,)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设μ=,求证:μ为纯虚数;

(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.

12.(2020黑龙江牡丹江高二上学期期末,)在复平面内复数z1、z2所对应的点分别为Z1、Z2,O为坐标原点,i是虚数单位.

(1)若z1=1+2i,z2=3-4i,计算z1·z2与·;

(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),求证:|·|≤|z1·z2|,并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.

答案全解全析

第五章　复数

专题强化练9　复数的乘除

1.B 2.C 3.D 4.C 5.A

6.A 7.BC 8.BD  

一、选择题

1.B　z= 1/2+√3/2i 2=1/4+2×1/2×√3/2i+ √3/2i 2=-1/2+√3/2i,

所以z在复平面内对应的点为 -1/2,√3/2 ,在第二象限.故选B.

2.C　由题意得z=(3"-" 4i)/(1+2i)=("(" 3"-" 4i")(" 1"-" 2i")" )/("(" 1+2i")(" 1"-" 2i")" )

=(3"-" 6i"-" 4i"-" 8)/5=-1-2i,

∴|z|=|-1-2i|=√("(-" 1")" ^2+"(-" 2")" ^2 )=√5.

故选C.

3.D　由题可得(a"-" 2i)/(1+i)=("(" a"-" 2i")(" 1"-" i")" )/("(" 1+i")(" 1"-" i")" )

=("(" a"-" 2")" +"(-" a"-" 2")" i)/2,

因为复数(a"-" 2i)/(1+i)(a∈R)为纯虚数,

所以{■((a"-" 2)/2=0"," @("-" a"-" 2)/2≠0"," )┤解得a=2,

所以|1+ai|=|1+2i|=√(1^2+2^2 )=√5.

故选D.

4.C　∵z/(z+b)=i,∴z=i(z+b),

即a+i=i(a+i+b)=-1+(a+b)i,

∴{■(a="-" 1"," @1=a+b"," )┤解得{■(a="-" 1"," @b=2"," )┤

∴ba=2-1=1/2.故选C.

5.A　由已知得z=(2+5i)/(i"(" 1+i")" )=(2+5i)/(i"-" 1)=("(" 2+5i")(" i+1")" )/("(" i"-" 1")(" i+1")" )=(7i"-" 3)/("-" 2)=3/2-7/2i,

所以¯z=3/2+7/2i,其虚部为7/2.

故选A.

6.A　∵z=(1"-" i)/(1+i)=("(" 1"-" i")" ^2)/("(" 1+i")(" 1"-" i")" )=-i,

∴f(-i)=(-i)2-(-i)+1=i.故选A.

7.BC　∵z=1/(1+2i)=(1"-" 2i)/("(" 1+2i")(" 1"-" 2i")" )=(1"-" 2i)/5,

∴5z=1-2i,z-8/5i=1/5-2i,均满足题意.

故选BC.

8.BD　∵i2k+1z=2+i(k∈Z),

∴z=(2+i)/i^(2k+1) ,

∵i1=i5=…=i,i3=i7=…=-i,

∴当k为奇数时,

z=(2+i)/i^(2k+1) =(2+i)/("-" i)=("(" 2+i")" i)/("-" i×i)=-1+2i,

在复平面内对应的点为(-1,2),位于第二象限;

当k为偶数时,

z=(2+i)/i^(2k+1) =(2+i)/i=("(" 2+i")" i)/(i×i)=1-2i,

在复平面内对应的点为(1,-2),位于第四象限.

故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限.

故选BD.

二、填空题

9.答案　√3

解析　由题得z=(a"-" i)/2i=-1/2-a/2i,

因为复数z的模为1,

所以1/4+a^2/4=1,所以正实数a=√3.

10.答案　√6

解析　依题意得(2"-" i)/(a+i)=("(" 2"-" i")(" a"-" i")" )/("(" a+i")(" a"-" i")" )=(2a"-" 1"-(" a+2")" i)/(a^2+1)为纯虚数,所以2a-1=0且-(a+2)≠0,解得a=1/2,所以z=2+√2i,|z|=√(2^2+"(" √2 ")" ^2 )=√6.

三、解答题

11.解析　由z是虚数,可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.

(1)由ω=z+1/z=x+yi+1/(x+yi)=x+yi+(x"-" yi)/(x^2+y^2 )=x+x/(x^2+y^2 )+ y-y/(x^2+y^2 ) i是实数,

可得{■(y"-"  y/(x^2+y^2 )=0"," @y≠0)┤⇒x2+y2=1⇒|z|=1,

此时,ω=2x,∵-1<ω<2,∴-1/2<x<1.

(2)证明:∵x2+y2=1,∴μ=(1"-" z)/(1+z)=(1"-(" x+yi")" )/(1+"(" x+yi")" )=(1"-" y^2 "-" x^2 "-" 2yi)/(1+2x+x^2+y^2 )=("-" yi)/(x+1),∵-1/2<x<1,∴1/2<x+1<2,又y≠0,∴μ为纯虚数.

(3)ω-μ2=2x- -y/(1+x)i 2=2x+y^2/("(" x+1")" ^2 ),∵x2+y2=1,

∴ω-μ2=2x+(1"-" x)/(x+1)=2(x+1)+2/(1+x)-3≥2√(2"(" x+1")•"  2/(1+x))-3=1,当且仅当x=0时取等号,∴ω-μ2的最小值为1.

12.解析　(1)z1•z2=(1+2i)•(3-4i)=11+2i.

∵(OZ_1 ) ⃗=(1,2),(OZ_2 ) ⃗=(3,-4),

∴(OZ_1 ) ⃗•(OZ_2 ) ⃗=-5.

(2)∵z1=a+bi,z2=c+di,

∴z1•z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,

∴|z1•z2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,

∵(OZ_1 ) ⃗=(a,b),(OZ_2 ) ⃗=(c,d),

∴(OZ_1 ) ⃗•(OZ_2 ) ⃗=ac+bd,

|(OZ_1 ) ⃗•(OZ_2 ) ⃗|2=(ac+bd)2,

∴|z1•z2|2-|(OZ_1 ) ⃗•(OZ_2 ) ⃗|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2-(ac+bd)2

=(ad+bc)2-4ac•bd=(ad-bc)2≥0,

∴|(OZ_1 ) ⃗•(OZ_2 ) ⃗|≤|z1•z2|,当且仅当ad=bc,即(OZ_1 ) ⃗∥(OZ_2 ) ⃗时取等号.