高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试同步测试题

专题强化练3　复数四则运算的综合运用

一、选择题　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2019陕西西安高三模拟,)已知a,b∈R,(a-i)i=b-2i,则a+bi的共轭复数为(　　)

A.-2-i B.-2+i

C.2-i D.2+i

2.(2020天津静海一中高一网课周测,)设i为虚数单位,复数z满足=1-i,则z等于(　　)

A.0 B.2

C.-2 D.-1

3.(2019山东济南高三月考,)设z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i(i为虚数单位),且|z1+z2|=5,则下列关系式正确的是(　　)

A.(x+3)2+(y-4)2=5 B.(x+3)2+(y-4)2=25

C.(x-3)2+(y+4)2=5 D.(x-3)2+(y+4)2=25

4.(2020山东滕州一中高一月考,)复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是(　　)

A.m< B.m<1

C.<m<1 D.m>1

5.(2019上海高二期末,)已知关于x的实系数一元二次方程的一个根在复平面内对应的点是(2,1),则这个方程可以是(　　)

A.x2-4x+5=0 B.x2+4x+5=0

C.x2-4x+3=0 D.x2+4x-3=0

6.(多选)(2019吉林高二期中,)下列命题不正确的是(　　)

A.复数a+bi(a,b∈R)不能是纯虚数

B.若x=1,则复数z=(x-1)+(x+1)i为纯虚数

C.若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2

D.若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数

7.(多选)(2019江西景德镇一中高二期中,)设z1,z2是复数,给出下列四个命题,其中是真命题的是(　　)

A.若|z1-z2|=0,则=

B.若z1=,则=z2

C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·

D.若|z1|=|z2|,则=

二、填空题

8.(2019上海向明中学高二月考,)+(n∈N*)的所有取值的集合为　　　　. 

三、解答题

9.(2019山东聊城高二期末,)已知复数z满足z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.

(1)求复数z;

(2)设a∈R,且=2,求实数a的值.

10.(2020安徽黄山高二期末,)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设u=,求证:u为纯虚数;

(3)在(2)的条件下,求ω-u2的最小值.

答案全解全析

一、选择题

1.A　由(a-i)i=1+ai=b-2i,得

∴a+bi=-2+i,∴其共轭复数为-2-i.

故选A.

2.B　由=1-i,得z==i(1+i)=-1+i,

所以=-1-i.所以z=(-1+i)(-1-i)=2.

3.B　由z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i,

得z1+z2=(x+yi)+(3-4i)=(x+3)+(y-4)i,

又|z1+z2|=5,∴=5,

∴(x+3)2+(y-4)2=25.故选B.

4.A　因为复数(3+i)m-(2+i)=3m-2+(m-1)i对应的点在第三象限内,

所以

解得m<.故选A.

5.A　因为一元二次方程的一个根在复平面内对应的点是(2,1),

所以设此根为x=2+i(i为虚数单位),

所以方程必有另一根=2-i,

所以x+=2+i+2-i=4,x=(2+i)(2-i)=5,根据选项可得,该方程可为x2-4x+5=0.故选A.

6.ACD　选项A中,当a=0,b≠0时,复数a+bi是纯虚数,故命题不正确;选项B中,当x=1时,复数z=2i,为纯虚数,故命题正确;选项C中,若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则

即

得x=2,故命题不正确;选项D中,没有给出a,b为实数,当a=xi(x≠0,x∈R),b=0时,z=a+bi也是虚数,故命题不正确.

7.ABC　在A中,若|z1-z2|=0,则z1,z2的实部和虚部分别对应相等,∴=,故A中命题是真命题;

在B中,若z1=,则z1,z2的实部相等,虚部互为相反数,∴=z2,故B中命题是真命题;

在C中,若|z1|=|z2|,则z1·=z2·=|z1|2,故C中命题是真命题;

在D中,若z1=1, z2=i,则|z1|=|z2|,但 ≠,故D中命题是假命题.

二、填空题

8.答案　{-2,2}

解析　+=+=+=2×(-1)n.

当n为奇数时,+=-2;

当n为偶数时,+=2.

故所有取值的集合为{-2,2}.

三、解答题

9.解析　(1)设z=c+di(c<0,d<0),则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,

∴解得或(舍去).∴z=-2-i.

(2)由(1)知,=-2+i,

∴====i,

∴=i2 019=i2 016+3=i504×4+3=·i3=-i,

∴|a-i|==2,∴a=±.

10.解析　(1)设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则

ω=z+=a+bi+=a+bi+=a++i.

∵ω是实数,∴b-=0.

又b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1.

此时ω=2a.∵-1<ω<2,∴-<a<1,即z的实部的取值范围为.

(2)证明:u====.

∵a2+b2=1,∴u=-i.

又b≠0,-<a<1,∴u是纯虚数.

(3)由(1)及(2)知,ω-u2=2a+=2a+=2a+=2(a+1)+-3.

由a∈,知<a+1<2,则(a+1)+≥2,当且仅当a+1=,即a=0时,等号成立,此时ω-u2取得最小值1.