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湘教版（2019）必修 第二册1.3 向量的数乘随堂练习题
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这是一份湘教版（2019）必修 第二册1.3 向量的数乘随堂练习题，共23页。试卷主要包含了3向量的数乘同步练习，0分），【答案】A，【答案】B等内容，欢迎下载使用。
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A. AB=DCB. AD+AB=AC
C. AB−AD=BDD. AD+CB=0
已知向量AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
已知a,b是不共线的非零向量，AB=a+2b，BC=3a−b，CD=2a−3b，则四边形ABCD是( )
A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形
向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 2B. 4C. 5D. 7
下列说法正确的是( )
A. 若b是a的相反向量，则|a|=|b|
B. 若|a|=|b|，则a、b的长度相等，方向相同
C. 若AB=λCD(λ≠0)，则A，B，C，D必共线
D. 在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC
在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上靠近C的三等分点，AD与BE交于点F，若AB=a，AC=b，则BF=
A. −35a+25b
B. 25a−35b
C. −25a−35b
D. 25a+35b
向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 2B. 4C. 5D. 7
对实数p、q和向量a，b，c，正确的是( )
A. p(a−b)=pa−pb
B. a⋅b⋅c=a⋅(b⋅c)
C. 若|a|2b=|b|2a，则a=b
D. 若pa=qa(p、q∈R)，则p=q
已知向量AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=-3a+3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
对实数p、q和向量a，b，c，正确的是
A. p(a−b)=pa−pb
B. a·b·c=a·(b·c)
C. 若｜a｜2b=｜b｜2a，则a=b
D. 若pa=qa(p、q∈ R)，则p=q
点O为△ABC所在平面内一点，OA⋅OB=OA⋅OC，AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
如图，在△ABC中，BC=4，BA⋅BC=4，点P为边BC上的一动点，则PA⋅PC的最小值为( )
A. 0
B. −2
C. −94
D. −3
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
如图，在△ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=λAB+μAC，则λμ= ，λ2−μ的最小值是 ．
如图，在平行四边形ABCD中，AD+AB= ，AC+BA= ．
如图，在▵ABC中，BD→=13BC→，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE→=λAB→+μAC→，则λμ= ，λ2−μ的最小值是 ．
已知空间两点A(1,2,3),B(−1,0,4)，则AB= ，AB= ，与AB同方向的单位向量e= ；线段AB中点坐标是 ．
已知O为坐标原点，直线l与圆x2+y2−6y+5=0交于A、B两点，AB=2，点M为线段AB的中点.则点M的轨迹方程是 (1) ，OA+OB的取值范围为 (2) ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
如图，△ABC中，AB=2，BC=32，∠ABC=π4，BA=a，BC=b，点D，E满足BD=λBC，CE=λCA，λ∈(0,1)，AD与BE交于点M．
(1)当λ=12时，请用a，b表示向量AM，并求AM⋅AB的值;
(2)用a，b表示向量BM．
在△ABC中，点E，F是△ABC所在平面内的两点，AB=3，AC=2，∠BAC=π3，CE+BE=0，AC=3FC．
(1)以AB，AC为基底表示向量EF，并求EF；
(2)D为直线EF上的一点，设CD=xAB+yAC(x,y是实数)，若直线CD经过△ABC的垂心，求x，y的值．
如图，O，A，B三点不共线，OC=2OA，OD=3OB，设OA=a，OB=b．
(1)试用a，b表示向量OE;
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
如图所示，在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，OA=a，AB=b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量BA的坐标；
(3)求点B的坐标．
如图所示，在△ABO中，OC=13OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b，
(1)试用向量a，b表示OM；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设OE=λOA,OF=μOB，其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时，λ=1,μ=12，此时1λ+2μ=5；当EF与BC重合时，λ=13,μ=1，此时1λ+2μ=5，能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的运算法则，属于基础题．
利用向量的概念及向量加法的三角形法则，向量减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则来判断．
【解答】
解：因为AB=DC，
所以A正确；
因为AD+AB=AC，
所以B正确；
因为AB−AD=DB
所以C错；
因为AD与CB为相反向量，
所以D正确．
故选C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的加法、数乘运算，属于基础题．
BD=BC+CD=2a+6b=2AB，即BD，AB共线，且有公共点B，则A，B，D三点共线．
【解答】解：∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB，
∴BD，AB共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量加法及数乘运算，向量的几何运用，属于基础题．
利用向量的加减运算法得AD=2BC，再利用共线向量得AD//BC且|AD|≠|BC|，从而得结论．
【解答】解： 因为AD=AB+BC+CD
=(a+2b)+(3a−b)+(2a−3b)
=2(3a−b)=2BC，
所以AD//BC且|AD|≠|BC|，
因此四边形ABCD是梯形．
故选A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是向量的加法、减法与数乘运算及相等向量的相关知识，属于基础题．
构建平面直角坐标系，可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,然后通过解方程求出λ，μ的值，从而问题得解．
【解答】
解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
可得a=(−1,1)，b=(6,2)，c=(−1,−3)，
∴由题意可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,
解得λ=−2,μ=−12,
故选B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了共线、相反向量的概念，向量的模和向量的加法运算，属于基础题．
利用相反向量的概念，结合向量的模对A进行判断，利用向量的模，结合向量的概念对B进行判断，利用共线向量的概念，结合特例对C进行判断，再利用向量加法的平行四边形法对D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A.因为b是a的相反向量，所以b=−a，因此|a|=|b|，故A正确；
对于B.因为|a|=|b|，所以a与b模长相等，但方向不确定，故B错误；
对于C.如图：
在梯形ABCD中，AB=λCD(λ≠0)，但A，B，C，D不共线，故C错误；
对于D.由向量加法的平行四边形法则知：
只有当ABCD是平行四边形时，才有AB+AD=AC，故D错误．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量的线性运算，以及向量共线的条件，属于基础题．
根据向量共线、向量的线性运算表示出BF，列出方程组即可求出答案．
【解答】
因为B，F，E三点共线，所以BF//BE，所以存在实数x，BF=xBE=x(AE−AB)=23xb−xa，同理由A，F，
D三点共线可得AF//AD，故存在y，使得AF=yAD，又BF=BA+AF，所以BF=−AB+yAD=−AB+y2(AB+AC)=y2b+(y2−1)a，所以23x=y2,−x=y2−1,解得x=35，所以BF=−35a+25b.故选A．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是向量的加法、减法与数乘运算及相等向量的相关知识，属于基础题．
构建平面直角坐标系，可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,然后通过解方程求出λ，μ的值，从而问题得解．
【解答】
解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
可得a=(−1,1)，b=(6,2)，c=(−1,−3)，
∴由题意可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,
解得λ=−2,μ=−12,
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了零、共线、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，属于基础题.
利用向量的数乘运算对A进行判断，再利用向量的数量积对B进行判断，再利用零和相等向量的概念对C与D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A.利用向量的数乘运算知：A正确；
对于B.因为a⋅b⋅c=(a⋅b)⋅c，表示与c平行的某个向量，
而a⋅(b⋅c)表示与a平行的某个向量，显然不一定相等，B错误;
对于C.当a或b=0时，a=b不一定成立，C错误，
对于D．当a=0时，p=q不一定成立，D错误．
故选A．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的加法、数乘运算，属于基础题．
BD=BC+CD=2a+6b=2AB，即BD，AB共线，且有公共点B，则A，B，D三点共线．
【解答】解：∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB，
∴BD，AB共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
故选B．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了零、共线、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，属于基础题.
利用向量的数乘运算对A进行判断，再利用向量的数量积对B进行判断，再利用零和相等向量的概念对C与D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A.利用向量的数乘运算知：A正确；
对于B.因为a⋅b⋅c=(a⋅b)⋅c，表示与c平行的某个向量，
而a⋅(b⋅c)表示与a平行的某个向量，显然不一定相等，B错误;
对于C.当a或b=0时，a=b不一定成立，C错误，
对于D．当a=0时，p=q不一定成立，D错误．
故选A．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的几何应用，属于中档题．
利用向量的加法、减法运算得OA·CB=0，再利用向量垂直的判断得OA⊥BC，再利用单位向量和的几何意义得OA在∠BAC的平分线上，从而得结论．
【解答】
解：∵OA⋅OB=OA⋅OC，
∴OA⋅(OB−OC)=OA⋅CB=0，∴OA⊥BC．
∵AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，∴AO在∠BAC的平分线上，
∴△ABC是等腰三角形．
故选B．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积和二次函数，属于基础题．
利用共线向量的概念设BP=xBC0⩽x⩽1，再利用向量的减法和数乘运算得PA⋅PC=BA−xBC·1−xBC，再利用向量的数量积，结合题目条件得PA⋅PC=16x2−20x+4，最后利用二次函数的最值得结论．
【解答】
解：在△ABC中，
因为BC=4，点P为边BC上的一动点，
所以设BP=xBC0⩽x⩽1．
因为PA⋅PC=BA−BP·PC
=BA−xBC·1−xBC
=1−xBA·BC−x1−xBC2．
又因为BC=4，BA⋅BC=4，
所以PA⋅PC=41−x−16x1−x=16x2−20x+4，
因此当x=58∈[0,1]时，PA⋅PC有最小值，
PA⋅PC的最小值为−94．
故选C．
13.【答案】2
−116
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数，单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
利用相等向量的概念和数乘运算设AE=mAD(0【解答】
解因为在△ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设AE=mAD(0因为BD=13BC，
所以AE=m(AB+13BC)=m[AB+13(BA+AC)]，
即AE=23mAB+13mAC．
又因为AE=λAB+μAC，
所以λ=23mμ=13m，因此λμ=23m13m=2，
λ2−μ=49m2−13m=49(m−38)2−116，
因此当m=38时，λ2−μ取得最小值−116．
故答案为2；−116．
14.【答案】AC
BC(或AD)
【解析】
【分析】
本题考查了向量的运算法则和相等向量，属于基础题．
根据向量的平行四边形运算法则和相等向量等知识，可得出结果．
【解答】
解：①根据向量的平行四边形法则可得：AD+AB=AC；
②根据向量的三角形法则可得：
AC+BA=BA+AC=BC，
又∵四边形ABCD是平行四边形，故BC=AD，
故答案为：AC；BC(或AD)；
15.【答案】2
−116
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数，单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
利用相等向量的概念和数乘运算设AE=mAD(0【解答】
解因为在△ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设AE=mAD(0因为BD=13BC，
所以AE=m(AB+13BC)=m[AB+13(BA+AC)]，
即AE=23mAB+13mAC．
又因为AE=λAB+μAC，
所以λ=23mμ=13m，因此λμ=23m13m=2，
λ2−μ=49m2−13m=49(m−38)2−116，
因此当m=38时，λ2−μ取得最小值−116．
故答案为2；−116．
16.【答案】(−2,−2,1)
3
(−23,−23,13)
(0,1,72)
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量的模，以及相反的单位向量，中点坐标等知识.，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由向量的坐标运算得AB，再求模长，与AB同向的单位向量为ABAB.中点坐标就是A，B坐标相加的一半．
【解答】
解：由向量坐标运算有AB=−1−1,0−2,4−3=−2,−2,1，
AB=−22+−22+12=3，
与AB同方向的单位向量e=ABAB=−23,−23,13，
线段AB中点坐标是1−12,2+02,3+42=0,1,72，
故答案为(−2,−2,1) 、 3 、 (−23,−23,13)、(0,1,72)．
17.【答案】x2+(y−3)2=3
6−23,6+23
【解析】
【分析】
本题考查与圆相关的轨迹方程，圆的标准方程以及向量的加减运算，把圆C：x2+y2−6y+5=0化为标准方程求出圆心坐标与半径，线段AB的中点为M则AM=12AB，
所以CM=r2−AM2=3，所以点M在以点C为圆心，3为半径的圆上，即可得到点M的轨迹方程；所以OC−3≤OM≤OC+3,又因为点M是线段AB的中点，所以OA+OB=2OM，即可求出OA+OB的取值范围．
【解答】
解：圆x2+y2−6y+5=0化为x2+y−32=4，设圆心为C，
圆心C的坐标为(0,3)，半径r=2，线段AB的中点为M
则AM=12AB=1，所以CM=r2−AM2=3，
所以点M在以点C为圆心，3为半径的圆上，即点M在圆x2+y−32=3上，
所以点M的轨迹方程是x2+y−32=3；
所以OC−3≤OM≤OC+3,即3−3≤OM≤3+3，
因为点M是线段AB的中点，所以OA+OB=2OM，所以OA+OB=2OM∈6−23,6+23．
故答案为x2+(y−3)2=3；6−23,6+23．
18.【答案】解：(1)当λ=12时，点D，E是BC，AC的中点，所以点M是△ABC的重心．
∴AD=BD−BA=−a+12b，
所以AM=23AD=23(−a+12b)=−23a+13b．
又因为AB=2，BC=32，∠ABC=π4，
所以a⋅b=|a||b|cs=2×32×22=6，
所以AM⋅AB=(−23a+13b)⋅(−a)=23a2−13a⋅b=23×22−13×6=23．
(2)因为BD=λBC，所以AD=BD−BA=λb−a．
因为CA=BA−BC=a−b，且CE=λCA，
所以BE=BC+CE=b+λCA=b+λ(a−b)=λa+(1−λ)b．
设AM=xAD=x(λb−a)=xλb−xa，
BM=yBE=y[λa+(1−λ)b]=yλa+y(1−λ)b，
注意到BM=BA+AM=a+xλb−xa=(1−x)a+xλb，
于是可得yλa+y(1−λ)b=(1−x)a+xλb，
∵a，b不共线，
所以yλ=1−xy(1−λ)=xλ，解得x=1−λλ2−λ+1，y=λλ2−λ+1，
所以BM=yλa+y(1−λ)b=λ2λ2−λ+1a+λ−λ2λ2−λ+1b．
【解析】本题主要考查向量的加减运算，考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积，属于中档题．
(1)当λ=12时，点D，E是BC，AC的中点，所以点M是△ABC的重心，所以AM=23AD=−23a+13b，由此可以计算AM⋅AB．
(2)设AM=xAD，BM=yBE，用a，b表示BE，则BM=yBE=yλa+y(1−λ)b，用a，b表示AD，则BM=BA+AM=BA+xAD=(1−x)a+xλb，二者相等，由此建立关于x，y的方程组，求得x，y，从而得到BM．
19.【答案】解：
(1)EF=EC+CF=12BC+13CA，
=12AC−AB−13AC
=16AC−12AB
EF2=16AC−12AB2
=136×AC2−16×AC·AB+14AB2
=6736
|EF|=676．
(2)设FD=kFE，则CD=k2AB−(13+k6)AC，
由CD⋅AB=0，
k2AB−(13+k6)AC·AB=0
k2AB·AB−(13+k6)AC·AB=0
得k=14，则x=18,y=−38．
【解析】本题考查向量的加减法及数乘运算，属于中档题．
(1)由题意EF=EC+CF=12BC+13CA=16AC−12AB，再利用EF2=16AC−12AB2得出结论；
(2)设FD=kFE，则CD=k2AB−(13+k6)AC，由CD⋅AB=0得出x,y的值．
20.【答案】解：(1)∵B，E，C三点共线，
∴OE=xOC+(1−x)OB=2xa+(1−x)b． ①
同理，∵A，E，D三点共线，可得OE=ya+3(1−y)b， ②
比较 ①， ②，得2x=y,1−x=3(1−y)
解得x=25，y=45，
∴OE=45a+35b．
(2)∵OL=a+b2，OM=12OE=4a+3b10，ON=12(OC+OD)=2a+3b2，
∴MN=ON−OM=6a+12b10，
ML=OL−OM=a+2b10，
∴MN=6ML，∴L，M，N三点共线．
【解析】本题主要考查相等向量的充要条件、直线的向量表达式、共线向量基本定理，向量的运算，属于中档题．
(1)引入参数根据直线的向量表达式得到向量OE=2x→a+(1−x)b,OE=ya+3(1−y)b，根据向量相等列出方程组求解可得x，y，即可求得向量OE．
(2)由(1)的结论分别计算OL,OM,ON，再计算MN,ML，最后根据共线向量基本定理证得向量共线，进而三点共线．
21.【答案】解：∵OC=14OA=14(0,5)=(0,54)，∴C(0,54).
∵OD=12OB=12(4,3)=(2,32)， ∴D(2,32).
设M(x,y)，则AM=(x,y−5)，
AD=(2−0,32−5)=(2,−72).
∵AM//AD，∴−72x−2(y−5)=0，即7x+4y=20． ①
又CM=(x,y−54)，CB=(4,74)，
∵CM//CB，∴74x−4(y−54)=0，
即7x−16y=−20． ②
联立 ① ②解得x=127，y=2，
故点M的坐标为(127,2)．
【解析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算和平面向量的坐标运算，是中档题．
先得出C、D的坐标，设M(x,y)，由AM//AD和CM//CB得出方程组，解出即可．
22.【答案】解(1)作AM⊥x轴于点M，则OM=OA·cs45°=4×22=22，
AM=OA·sin45°=4×22=22.∴A(22,22)，
故a=(22,22).
∵∠AOC=180°−105°=75°，∠AOy=45°，∴∠COy=30°．
又∵OC=AB=3，∴C−32,332，
∴AB=OC=−32,332，
即b=−32,332．
(2)BA=−AB=32,−332．
(3)OB=OA+AB=(22,22)+(−32,332)=22−32,22+332．
故点B的坐标为22−32,22+332．
【解析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的加法运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
(1)作AM⊥x轴于点M，由已知可求出A(22,22)，从而可得a的坐标，进而根据AB=OC=(−32,332)，即可求出b的坐标；
(2)由(1)根据BA=−AB，本题可求；
(3)根据OB=OA+AB可求出B的坐标．
23.【答案】解：(1)∵OA=a，OB=b，
由A，M，D三点共线可知存在实数t使得
OM=tOA+(1−t)OD=ta+(1−t)⋅12b=1−tb+ia2
同理，由C，M，B三点共线可知存在实数u使得
OM=uOB+(1−u)OC=ub
∴1−w).13a=ub+1−u3au=12tt=1−u3，解得u=25，t=15，
∴OM=15a+25b;
(2)可以得出结论，不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立，
证明如下所示：
设OM=xOE+yOF=xλa+yμb，
∵M，E，F三点共线，则x+y=1，
由(1)可得，xλ=15，yμ=25，联立可得：
x+y=1xλ=15yμ=25，得x=15λy=25μx+y=1
得证，所以不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立．
【解析】本题主要考查的是平面向量基本定理及其应用，属于中档题．
(1)结合A，M，D三点共线可知存在实数t使得OM=tOA+(1−t)OD，结合C，M，B三点共线可知存在实数u使得OM=uOB+(1−u)OC，再分别转化为用OA，OB表示，进而求出u，t，即可解答；
(2)由所给两种情况进行猜想，再设OM=xOE+yOF=xλa+yμb，结合M，E，F三点共线，则x+y=1，进行推导证明即可．
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A. AB=DCB. AD+AB=AC
C. AB−AD=BDD. AD+CB=0
已知向量AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=−3a+3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
已知a,b是不共线的非零向量，AB=a+2b，BC=3a−b，CD=2a−3b，则四边形ABCD是( )
A. 梯形B. 平行四边形C. 矩形D. 菱形
向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 2B. 4C. 5D. 7
下列说法正确的是( )
A. 若b是a的相反向量，则|a|=|b|
B. 若|a|=|b|，则a、b的长度相等，方向相同
C. 若AB=λCD(λ≠0)，则A，B，C，D必共线
D. 在四边形ABCD中，一定有AB+AD=AC
在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上靠近C的三等分点，AD与BE交于点F，若AB=a，AC=b，则BF=
A. −35a+25b
B. 25a−35b
C. −25a−35b
D. 25a+35b
向量a，b，c在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 2B. 4C. 5D. 7
对实数p、q和向量a，b，c，正确的是( )
A. p(a−b)=pa−pb
B. a⋅b⋅c=a⋅(b⋅c)
C. 若|a|2b=|b|2a，则a=b
D. 若pa=qa(p、q∈R)，则p=q
已知向量AB=a+3b，BC=5a+3b，CD=-3a+3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线D. B，C，D三点共线
对实数p、q和向量a，b，c，正确的是
A. p(a−b)=pa−pb
B. a·b·c=a·(b·c)
C. 若｜a｜2b=｜b｜2a，则a=b
D. 若pa=qa(p、q∈ R)，则p=q
点O为△ABC所在平面内一点，OA⋅OB=OA⋅OC，AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，则△ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
如图，在△ABC中，BC=4，BA⋅BC=4，点P为边BC上的一动点，则PA⋅PC的最小值为( )
A. 0
B. −2
C. −94
D. −3
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
如图，在△ABC中，BD=13BC，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE=λAB+μAC，则λμ= ，λ2−μ的最小值是 ．
如图，在平行四边形ABCD中，AD+AB= ，AC+BA= ．
如图，在▵ABC中，BD→=13BC→，点E在线段AD上移动(不含端点)，若AE→=λAB→+μAC→，则λμ= ，λ2−μ的最小值是 ．
已知空间两点A(1,2,3),B(−1,0,4)，则AB= ，AB= ，与AB同方向的单位向量e= ；线段AB中点坐标是 ．
已知O为坐标原点，直线l与圆x2+y2−6y+5=0交于A、B两点，AB=2，点M为线段AB的中点.则点M的轨迹方程是 (1) ，OA+OB的取值范围为 (2) ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
如图，△ABC中，AB=2，BC=32，∠ABC=π4，BA=a，BC=b，点D，E满足BD=λBC，CE=λCA，λ∈(0,1)，AD与BE交于点M．
(1)当λ=12时，请用a，b表示向量AM，并求AM⋅AB的值;
(2)用a，b表示向量BM．
在△ABC中，点E，F是△ABC所在平面内的两点，AB=3，AC=2，∠BAC=π3，CE+BE=0，AC=3FC．
(1)以AB，AC为基底表示向量EF，并求EF；
(2)D为直线EF上的一点，设CD=xAB+yAC(x,y是实数)，若直线CD经过△ABC的垂心，求x，y的值．
如图，O，A，B三点不共线，OC=2OA，OD=3OB，设OA=a，OB=b．
(1)试用a，b表示向量OE;
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线．
如图所示，在△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC=14OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，OA=4，AB=3，∠AOx=45°，∠OAB=105°，OA=a，AB=b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量BA的坐标；
(3)求点B的坐标．
如图所示，在△ABO中，OC=13OA，OD=12OB，AD与BC相交于点M，设OA=a，OB=b，
(1)试用向量a，b表示OM；
(2)在线段AC上取点E，在线段BD上取点F，使EF过点M.设OE=λOA,OF=μOB，其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时，λ=1,μ=12，此时1λ+2μ=5；当EF与BC重合时，λ=13,μ=1，此时1λ+2μ=5，能否由此得出一般结论：不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的运算法则，属于基础题．
利用向量的概念及向量加法的三角形法则，向量减法的三角形法则，向量加法的平行四边形法则来判断．
【解答】
解：因为AB=DC，
所以A正确；
因为AD+AB=AC，
所以B正确；
因为AB−AD=DB
所以C错；
因为AD与CB为相反向量，
所以D正确．
故选C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的加法、数乘运算，属于基础题．
BD=BC+CD=2a+6b=2AB，即BD，AB共线，且有公共点B，则A，B，D三点共线．
【解答】解：∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB，
∴BD，AB共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量加法及数乘运算，向量的几何运用，属于基础题．
利用向量的加减运算法得AD=2BC，再利用共线向量得AD//BC且|AD|≠|BC|，从而得结论．
【解答】解： 因为AD=AB+BC+CD
=(a+2b)+(3a−b)+(2a−3b)
=2(3a−b)=2BC，
所以AD//BC且|AD|≠|BC|，
因此四边形ABCD是梯形．
故选A．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是向量的加法、减法与数乘运算及相等向量的相关知识，属于基础题．
构建平面直角坐标系，可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,然后通过解方程求出λ，μ的值，从而问题得解．
【解答】
解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
可得a=(−1,1)，b=(6,2)，c=(−1,−3)，
∴由题意可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,
解得λ=−2,μ=−12,
故选B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了共线、相反向量的概念，向量的模和向量的加法运算，属于基础题．
利用相反向量的概念，结合向量的模对A进行判断，利用向量的模，结合向量的概念对B进行判断，利用共线向量的概念，结合特例对C进行判断，再利用向量加法的平行四边形法对D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A.因为b是a的相反向量，所以b=−a，因此|a|=|b|，故A正确；
对于B.因为|a|=|b|，所以a与b模长相等，但方向不确定，故B错误；
对于C.如图：
在梯形ABCD中，AB=λCD(λ≠0)，但A，B，C，D不共线，故C错误；
对于D.由向量加法的平行四边形法则知：
只有当ABCD是平行四边形时，才有AB+AD=AC，故D错误．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了向量的线性运算，以及向量共线的条件，属于基础题．
根据向量共线、向量的线性运算表示出BF，列出方程组即可求出答案．
【解答】
因为B，F，E三点共线，所以BF//BE，所以存在实数x，BF=xBE=x(AE−AB)=23xb−xa，同理由A，F，
D三点共线可得AF//AD，故存在y，使得AF=yAD，又BF=BA+AF，所以BF=−AB+yAD=−AB+y2(AB+AC)=y2b+(y2−1)a，所以23x=y2,−x=y2−1,解得x=35，所以BF=−35a+25b.故选A．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是向量的加法、减法与数乘运算及相等向量的相关知识，属于基础题．
构建平面直角坐标系，可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,然后通过解方程求出λ，μ的值，从而问题得解．
【解答】
解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，
可得a=(−1,1)，b=(6,2)，c=(−1,−3)，
∴由题意可得−λ+6μ=−1,λ+2μ=−3,
解得λ=−2,μ=−12,
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了零、共线、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，属于基础题.
利用向量的数乘运算对A进行判断，再利用向量的数量积对B进行判断，再利用零和相等向量的概念对C与D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A.利用向量的数乘运算知：A正确；
对于B.因为a⋅b⋅c=(a⋅b)⋅c，表示与c平行的某个向量，
而a⋅(b⋅c)表示与a平行的某个向量，显然不一定相等，B错误;
对于C.当a或b=0时，a=b不一定成立，C错误，
对于D．当a=0时，p=q不一定成立，D错误．
故选A．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了向量的加法、数乘运算，属于基础题．
BD=BC+CD=2a+6b=2AB，即BD，AB共线，且有公共点B，则A，B，D三点共线．
【解答】解：∵BD=BC+CD=2a+6b=2(a+3b)=2AB，
∴BD，AB共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
故选B．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了零、共线、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和向量的数量积，属于基础题.
利用向量的数乘运算对A进行判断，再利用向量的数量积对B进行判断，再利用零和相等向量的概念对C与D进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于A.利用向量的数乘运算知：A正确；
对于B.因为a⋅b⋅c=(a⋅b)⋅c，表示与c平行的某个向量，
而a⋅(b⋅c)表示与a平行的某个向量，显然不一定相等，B错误;
对于C.当a或b=0时，a=b不一定成立，C错误，
对于D．当a=0时，p=q不一定成立，D错误．
故选A．
11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的几何应用，属于中档题．
利用向量的加法、减法运算得OA·CB=0，再利用向量垂直的判断得OA⊥BC，再利用单位向量和的几何意义得OA在∠BAC的平分线上，从而得结论．
【解答】
解：∵OA⋅OB=OA⋅OC，
∴OA⋅(OB−OC)=OA⋅CB=0，∴OA⊥BC．
∵AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)，∴AO在∠BAC的平分线上，
∴△ABC是等腰三角形．
故选B．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算，向量的数量积和二次函数，属于基础题．
利用共线向量的概念设BP=xBC0⩽x⩽1，再利用向量的减法和数乘运算得PA⋅PC=BA−xBC·1−xBC，再利用向量的数量积，结合题目条件得PA⋅PC=16x2−20x+4，最后利用二次函数的最值得结论．
【解答】
解：在△ABC中，
因为BC=4，点P为边BC上的一动点，
所以设BP=xBC0⩽x⩽1．
因为PA⋅PC=BA−BP·PC
=BA−xBC·1−xBC
=1−xBA·BC−x1−xBC2．
又因为BC=4，BA⋅BC=4，
所以PA⋅PC=41−x−16x1−x=16x2−20x+4，
因此当x=58∈[0,1]时，PA⋅PC有最小值，
PA⋅PC的最小值为−94．
故选C．
13.【答案】2
−116
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数，单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
利用相等向量的概念和数乘运算设AE=mAD(0
解因为在△ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设AE=mAD(0
所以AE=m(AB+13BC)=m[AB+13(BA+AC)]，
即AE=23mAB+13mAC．
又因为AE=λAB+μAC，
所以λ=23mμ=13m，因此λμ=23m13m=2，
λ2−μ=49m2−13m=49(m−38)2−116，
因此当m=38时，λ2−μ取得最小值−116．
故答案为2；−116．
14.【答案】AC
BC(或AD)
【解析】
【分析】
本题考查了向量的运算法则和相等向量，属于基础题．
根据向量的平行四边形运算法则和相等向量等知识，可得出结果．
【解答】
解：①根据向量的平行四边形法则可得：AD+AB=AC；
②根据向量的三角形法则可得：
AC+BA=BA+AC=BC，
又∵四边形ABCD是平行四边形，故BC=AD，
故答案为：AC；BC(或AD)；
15.【答案】2
−116
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数，单位、零、共线、相反、相等向量的概念，向量的加法、减法、数乘运算和平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
利用相等向量的概念和数乘运算设AE=mAD(0
解因为在△ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设AE=mAD(0
所以AE=m(AB+13BC)=m[AB+13(BA+AC)]，
即AE=23mAB+13mAC．
又因为AE=λAB+μAC，
所以λ=23mμ=13m，因此λμ=23m13m=2，
λ2−μ=49m2−13m=49(m−38)2−116，
因此当m=38时，λ2−μ取得最小值−116．
故答案为2；−116．
16.【答案】(−2,−2,1)
3
(−23,−23,13)
(0,1,72)
【解析】
【分析】
本题考查了向量的坐标运算，向量的模，以及相反的单位向量，中点坐标等知识.，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由向量的坐标运算得AB，再求模长，与AB同向的单位向量为ABAB.中点坐标就是A，B坐标相加的一半．
【解答】
解：由向量坐标运算有AB=−1−1,0−2,4−3=−2,−2,1，
AB=−22+−22+12=3，
与AB同方向的单位向量e=ABAB=−23,−23,13，
线段AB中点坐标是1−12,2+02,3+42=0,1,72，
故答案为(−2,−2,1) 、 3 、 (−23,−23,13)、(0,1,72)．
17.【答案】x2+(y−3)2=3
6−23,6+23
【解析】
【分析】
本题考查与圆相关的轨迹方程，圆的标准方程以及向量的加减运算，把圆C：x2+y2−6y+5=0化为标准方程求出圆心坐标与半径，线段AB的中点为M则AM=12AB，
所以CM=r2−AM2=3，所以点M在以点C为圆心，3为半径的圆上，即可得到点M的轨迹方程；所以OC−3≤OM≤OC+3,又因为点M是线段AB的中点，所以OA+OB=2OM，即可求出OA+OB的取值范围．
【解答】
解：圆x2+y2−6y+5=0化为x2+y−32=4，设圆心为C，
圆心C的坐标为(0,3)，半径r=2，线段AB的中点为M
则AM=12AB=1，所以CM=r2−AM2=3，
所以点M在以点C为圆心，3为半径的圆上，即点M在圆x2+y−32=3上，
所以点M的轨迹方程是x2+y−32=3；
所以OC−3≤OM≤OC+3,即3−3≤OM≤3+3，
因为点M是线段AB的中点，所以OA+OB=2OM，所以OA+OB=2OM∈6−23,6+23．
故答案为x2+(y−3)2=3；6−23,6+23．
18.【答案】解：(1)当λ=12时，点D，E是BC，AC的中点，所以点M是△ABC的重心．
∴AD=BD−BA=−a+12b，
所以AM=23AD=23(−a+12b)=−23a+13b．
又因为AB=2，BC=32，∠ABC=π4，
所以a⋅b=|a||b|cs
所以AM⋅AB=(−23a+13b)⋅(−a)=23a2−13a⋅b=23×22−13×6=23．
(2)因为BD=λBC，所以AD=BD−BA=λb−a．
因为CA=BA−BC=a−b，且CE=λCA，
所以BE=BC+CE=b+λCA=b+λ(a−b)=λa+(1−λ)b．
设AM=xAD=x(λb−a)=xλb−xa，
BM=yBE=y[λa+(1−λ)b]=yλa+y(1−λ)b，
注意到BM=BA+AM=a+xλb−xa=(1−x)a+xλb，
于是可得yλa+y(1−λ)b=(1−x)a+xλb，
∵a，b不共线，
所以yλ=1−xy(1−λ)=xλ，解得x=1−λλ2−λ+1，y=λλ2−λ+1，
所以BM=yλa+y(1−λ)b=λ2λ2−λ+1a+λ−λ2λ2−λ+1b．
【解析】本题主要考查向量的加减运算，考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积，属于中档题．
(1)当λ=12时，点D，E是BC，AC的中点，所以点M是△ABC的重心，所以AM=23AD=−23a+13b，由此可以计算AM⋅AB．
(2)设AM=xAD，BM=yBE，用a，b表示BE，则BM=yBE=yλa+y(1−λ)b，用a，b表示AD，则BM=BA+AM=BA+xAD=(1−x)a+xλb，二者相等，由此建立关于x，y的方程组，求得x，y，从而得到BM．
19.【答案】解：
(1)EF=EC+CF=12BC+13CA，
=12AC−AB−13AC
=16AC−12AB
EF2=16AC−12AB2
=136×AC2−16×AC·AB+14AB2
=6736
|EF|=676．
(2)设FD=kFE，则CD=k2AB−(13+k6)AC，
由CD⋅AB=0，
k2AB−(13+k6)AC·AB=0
k2AB·AB−(13+k6)AC·AB=0
得k=14，则x=18,y=−38．
【解析】本题考查向量的加减法及数乘运算，属于中档题．
(1)由题意EF=EC+CF=12BC+13CA=16AC−12AB，再利用EF2=16AC−12AB2得出结论；
(2)设FD=kFE，则CD=k2AB−(13+k6)AC，由CD⋅AB=0得出x,y的值．
20.【答案】解：(1)∵B，E，C三点共线，
∴OE=xOC+(1−x)OB=2xa+(1−x)b． ①
同理，∵A，E，D三点共线，可得OE=ya+3(1−y)b， ②
比较 ①， ②，得2x=y,1−x=3(1−y)
解得x=25，y=45，
∴OE=45a+35b．
(2)∵OL=a+b2，OM=12OE=4a+3b10，ON=12(OC+OD)=2a+3b2，
∴MN=ON−OM=6a+12b10，
ML=OL−OM=a+2b10，
∴MN=6ML，∴L，M，N三点共线．
【解析】本题主要考查相等向量的充要条件、直线的向量表达式、共线向量基本定理，向量的运算，属于中档题．
(1)引入参数根据直线的向量表达式得到向量OE=2x→a+(1−x)b,OE=ya+3(1−y)b，根据向量相等列出方程组求解可得x，y，即可求得向量OE．
(2)由(1)的结论分别计算OL,OM,ON，再计算MN,ML，最后根据共线向量基本定理证得向量共线，进而三点共线．
21.【答案】解：∵OC=14OA=14(0,5)=(0,54)，∴C(0,54).
∵OD=12OB=12(4,3)=(2,32)， ∴D(2,32).
设M(x,y)，则AM=(x,y−5)，
AD=(2−0,32−5)=(2,−72).
∵AM//AD，∴−72x−2(y−5)=0，即7x+4y=20． ①
又CM=(x,y−54)，CB=(4,74)，
∵CM//CB，∴74x−4(y−54)=0，
即7x−16y=−20． ②
联立 ① ②解得x=127，y=2，
故点M的坐标为(127,2)．
【解析】本题考查了向量的加法、减法、数乘运算和平面向量的坐标运算，是中档题．
先得出C、D的坐标，设M(x,y)，由AM//AD和CM//CB得出方程组，解出即可．
22.【答案】解(1)作AM⊥x轴于点M，则OM=OA·cs45°=4×22=22，
AM=OA·sin45°=4×22=22.∴A(22,22)，
故a=(22,22).
∵∠AOC=180°−105°=75°，∠AOy=45°，∴∠COy=30°．
又∵OC=AB=3，∴C−32,332，
∴AB=OC=−32,332，
即b=−32,332．
(2)BA=−AB=32,−332．
(3)OB=OA+AB=(22,22)+(−32,332)=22−32,22+332．
故点B的坐标为22−32,22+332．
【解析】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量的加法运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
(1)作AM⊥x轴于点M，由已知可求出A(22,22)，从而可得a的坐标，进而根据AB=OC=(−32,332)，即可求出b的坐标；
(2)由(1)根据BA=−AB，本题可求；
(3)根据OB=OA+AB可求出B的坐标．
23.【答案】解：(1)∵OA=a，OB=b，
由A，M，D三点共线可知存在实数t使得
OM=tOA+(1−t)OD=ta+(1−t)⋅12b=1−tb+ia2
同理，由C，M，B三点共线可知存在实数u使得
OM=uOB+(1−u)OC=ub
∴1−w).13a=ub+1−u3au=12tt=1−u3，解得u=25，t=15，
∴OM=15a+25b;
(2)可以得出结论，不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立，
证明如下所示：
设OM=xOE+yOF=xλa+yμb，
∵M，E，F三点共线，则x+y=1，
由(1)可得，xλ=15，yμ=25，联立可得：
x+y=1xλ=15yμ=25，得x=15λy=25μx+y=1
得证，所以不论E，F在线段AC，BD上如何变动，等式1λ+2μ=5恒成立．
【解析】本题主要考查的是平面向量基本定理及其应用，属于中档题．
(1)结合A，M，D三点共线可知存在实数t使得OM=tOA+(1−t)OD，结合C，M，B三点共线可知存在实数u使得OM=uOB+(1−u)OC，再分别转化为用OA，OB表示，进而求出u，t，即可解答；
(2)由所给两种情况进行猜想，再设OM=xOE+yOF=xλa+yμb，结合M，E，F三点共线，则x+y=1，进行推导证明即可．
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