高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.7 平面向量的应用举例同步训练题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册1.7 平面向量的应用举例同步训练题，共7页。

题组一 向量在平面几何中的应用
1.已知P是△ABC所在平面上一点,且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,则△ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等边三角形
2.过△ABC内部(含边界)一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE⊥EF于E,CF⊥EF于F,且AD+BE+CF=0,则点M是△ABC的( )
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三边中垂线的交点
D.三个内角平分线的交点
3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试)已知a=-12,32,OA=a-b,OB=a+b.若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积是 .
4.如图,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE,CD交于点P,连接BP,则△APC的面积为 cm2.
5.(2020河南新乡高一上期末)在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=3,∠B=30°,点E,F分别在边BC,CD上(不与端点重合),且BEEC=CFDF,则AE·AF的取值范围为 .
6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=12DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
题组二 向量在物理中的应用
7.(2019广东惠州高一期中)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,则鹰的飞行速度的大小为( )
A.803 m/sB.4033 m/s
C.8033 m/sD.403 m/s
8.()一条河的两岸互相平行,一艘小船从岸边向河对岸航行.已知水流的速度的大小为1 m/s,小船的速度的大小为2 m/s,为使船的航程最短,小船应朝 的方向行驶.
9.如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为 ,力F做的功为 .
10.如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
(1)当cs θ多大时,船能垂直到达对岸?
(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?
答案全解全析
基础过关练
1.B ∵P是△ABC所在平面上一点,且|PB-PC|-|PB+PC-2PA|=0,
∴|CB|-|(PB-PA)+(PC-PA)|=0,
即|CB|=|AB+AC|,∴|AB-AC|=|AB+AC|,
两边平方并化简得AC·AB=0,∴AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,即△ABC是直角三角形.无法判断△ABC是不是等腰三角形.故选B.
2.B 根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,AD+BE+CF=0,即AD+BE=0,于是|AD|=|BE|,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,当EF经过B点时,EF是AC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.
3.答案 1
解析 ∵OA⊥OB,∴OA·OB=(a-b)·(a+b)=0,∴a2-b2=0,∴|a|=|b|,
∵|OA|=|OB|,∴|a-b|=|a+b|,∴a2+b2-2a·b=a2+b2+2a·b,∴a·b=0,
又|a|=1,
∴a、b是互相垂直的单位向量,∴|OA|=|OB|=2,∴S△OAB=12|OA|×|OB|=1.
4.答案 4
解析 设AB=a,BC=b,以{a,b}为一组基,则AE=AB+23BC=a+23b,DC=13AB+BC=13a+b.
∵点A,P,E共线,点D,P,C共线,
∴存在实数λ和μ,使AP=λAE=λa+23λb,DP=μDC=13μa+μb.
又∵AP=AD+DP=23+13μa+μb,
∴λ=23+13μ,23λ=μ,解得λ=67,μ=47,
∴S△PAB=47S△ABC=14×47=8(cm2),S△PBC=14×1-67=2(cm2),
∴S△APC=14-8-2=4(cm2).
5.答案 -13,1
解析 以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(3,1).
由BEEC=CFDF可设BE=tBC=3t,CF=tCD=2t(0则E(3t,0),F(3+3t,t),
∴AE=(3t-3,-1),AF=(3t,t-1),
∴AE·AF=3t·(3t-3)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-232-13,
∵0∴当t=23时,AE·AF有最小值,为-13;当t无限趋近于0时,AE·AF无限趋近于1.
故AE·AF的取值范围为-13,1.
6.解析 (1)设AB=a,AC=b,则AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC=23a+13b.
∴|AD|2=AD2=23a+13b2=49a2+2×29a·b+19b2=49×9+2×29×3×3×cs 120°+19×9=3,∴AD=3(负值舍去).
(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为AD与AC的夹角.
∴cs θ=AD·AC|AD||AC|=23a+13b·b3×3=23a·b+13b233=23×3×3×-12+13×933=0,∴θ=90°,即∠DAC=90°.
7.C 如图所示,设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40 m/s.因为鹰的运动方向与水平方向成30°角向下,所以|v1|=|v2|32=8033 m/s.
8.答案 与水流方向成120°角
解析 如图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又|v水|=|AB|=1 m/s,|v船|=|AC|=2 m/s,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船应朝与水流方向成120°角的方向行驶.
9.答案 25e;1 000 J
解析 ∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,
∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cs 60°e=25e.
∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,
∴力F做的功W=25×40=1 000(J).
10.解析 (1)船垂直到达对岸,即v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,
所以v1·v2+v22=0,即|v1||v2|cs θ+|v2|2=0,所以40cs θ+16=0,解得cs θ=-25.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t h,
则t=d|v1|sinθ=0.510sinθ=120sinθ.
故当θ=90°时,船的航行时间最短,为120 h.故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.