湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数同步达标检测题

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2.1两角和与差的三角函数同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知，则

A.  B.  C.  D.

2. 的值等于     

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，则的值为   

A.  B.  C.  D.

5. 已知为锐角，则的值为   

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是 

A. 正三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

7. 在锐角中，，，的对边分别是，，，若，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 若，则实数的取值范围是   

A.  B.  C.  D.

9. 平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，若，且，则的值为   

A.  B.  C.  D.

10. 设的内角、、所对的边分别为，，，若，则的形状为

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

11. 已知，则  

A.  B.  C.  D.

12. 若，，且，，则的值是  

A.  B.  C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若，则          ，          ．
14. 在中，，则          点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，的值为          ．
15. 已知则           ，           ．
16. 已知，则          ；          ．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17. 已知，，且．

求的值

求．






 

18. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为．
    
    求的值；求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知，，．
    求的最小正周期及单调递减区间；
    求函数在区间上的最大值和最小值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知，．

求的值；

求的值．






 

21. 的内角，，的对边分别为，，，已知．

求的值；

若，，求的面积．






 

22. 的内角，，的对边分别为，，，已知．

求的大小；

若，求面积的最大值．






 

23. 已知函数
    求函数的单调递增区间；
    若，，求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点是三角恒等变换，同角三角函数关系式，主要考查学生的运算能力和转化能力，
直接利用同角三角函数关系式求出，，再由，运用两角和的余弦函数公式求出结果．

【解答】

解：已知：，
所以：，故：，
，所以：，
则：



故选D．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，
结合诱导公式及两角和的余弦函数公式求解即可．

【解答】

解： 

．
故选B．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的图象与性质以及三角恒等变换应用问题，注意两角和差公式以及二倍角公式的灵活应用，是中档题．

化函数为正弦型函数，由在上单调递减，利用正弦函数的单调性列出不等式组，求出的取值范围．

【解答】

解：函数


，
由函数在上单调递减，
且，
得
解得，
又，，
实数的取值范围是．
故选A．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式的应用，难度一般．
先由同角三角函数的基本关系求得，再由利用两角差的正弦公式可得．

【解答】解：，，
，


．
故选D．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查同角三角关系式与两角和与差的三角公式的应用，属于中档题．
根据已知和同角三角关系式以及角的范围求出，，又利用和差公式展开求解即可
【解答】
解：因为，为锐角，，
所以，
则，故，
又，
所以，
又，
所以，
所以

．
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦公式、正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．
在中，利用二倍角的余弦公式与正弦定理可将已知，转化为，整理即可判断的形状．
【解答】
解：在中，，
，
，即，
，
，又，
，
为直角，一定是直角三角形．
故选B．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解三角形与三角恒等变换的应用问题，是基础题．
利用正弦定理化为，根据三角恒等变换与三角形的内角和定理得出与的关系，化，求出它的取值范围即可．
【解答】

解：锐角中，，
，
，
，
，
，即，
，
，，
，
又
，

即的取值范围是
故选B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查三角恒等变换和余弦函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于基础题．
原方程可转化为，利用余弦函数的性质即可求出实数的取值范围．

【解答】

解：，
，

，
．

，，
．
故选A．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦公式，属于中档题．
由，得，则，利用两角和差公式即可求解．
【解答】
解：若，则，
则由，得．
由点的单位圆上，，知．
又．
故．
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查．
根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得，判断出三角形的形状．
【解答】
解：，

，
，
，，
故三角形为直角三角形，
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属中档题．结合诱导公式，直接利用两角和与差的正弦函数公式以及同角三角函数基本关系式求解，即可得答案．
【解答】
解：，
，
．
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，属于基础题．

依题意可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦及余弦的单调性即可得出答案．

【解答】

解：因为，

所以，

又因为，

所以，，
，

又因为，，

所以，

所以，

又因为，，

所以．

故选B．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角公式及两角和与差公式，同角间的基本关系式，是中档题．
由已知求得，分别讨论两种情况，则答案可求．

【解答】

解：由，
得，
，
，
或，
当时，，即，
此时，；
当时，，即，
此时，，；
故答案为；．

14.【答案】

【解析】

【分析】
由，得，，可得，由已知得，即，利用，和可得取最值时，、、间的数量关系，进而利用正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系可求的值．
本题考查了正余弦定理的应用，充分体现了函数、方程的思想，运算量较大，属于难题．
【解答】
解：，
，
，，
，由，可得：，
在中，由正弦定理可将，
变形为，即，

又
，
，
即，
在中，由余弦定理得：，
由得，令，，
则，
，令，求得，
时，，单调递增，
时，，单调递减，
故当时，取得最大值，即取得最大值．
结合可得，．
在中，由正弦定理得，
求得，故，
即的值为．
故答案为：，．  

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查利用三角恒等变换求函数值，属于中档题．
由可得，变形，利用两角差的余弦公式可得结果．
【解答】
解：由
可得，
即，
所以，
，，
，
所以．  

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式的应用，两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用．
利用二倍角公式以及同角三角函数基本关系式求解第一问，利用两角和与差的三角函数转化求解第二问．

【解答】

解：，
则．
．
故答案为：；．

17.【答案】解：由，，
得．

，

．

由，得．

，

．

由，
得

，
又，
．

【解析】本题考查同角三角函数的关系，二倍角公式，两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．

先求，再求，用正切函数的二倍角公式可得结果；

先求，再根据求得，即得结果．

18.【答案】解：由已知得，，，因为为锐角，故，
从而，
同理可得，
因此，，
所以

，

，
又，，
，
故．
 

【解析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式、二倍角的正切公式及同角三角函数的基本关系，属于中档题．
根据同角三角函数关系算出，然后根据两角和的正切算出的值
根据二倍角公式算出，然后算出，根据的范围即可求解．
 

19.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的单调递减区间为，；
由可得：
当时，函数取得最小值为
当时，函数取得最大值为
故得函数在区间上的最大值为，最小值为．
 

【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
由，根据向量的数量积的运用可得的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
在上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出的最大值和最小值．
 

20.【答案】解：因为，
所以，
．

．

因为，

故．

，

．

所以
．

【解析】本题考查同角三角函数关系式及二倍角公式的应用，属中档题．
利用同角三角函数关系式及两角和的正弦公式即可求解；
利用同角三角函数关系式及二倍角公式即可求解．
 

21.【答案】解：，

由正弦定理可知，，

即，

，

 ，，

在中， ，，

 ，．

，，

由余弦定理：，可得：，

 ， ，解得：，

．

【解析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积计算，属于中档题．
由条件可得，求出，进而可得结果；
根据余弦定理求得的值，进而可求得结果．
 

22.【答案】解：由正弦定理得   
又，
     
由和，得．
又，．
的面积．
由已知及余弦定理得．
又，故，当且仅当时，等号成立．
因此面积的最大值为．
 

【解析】

【分析】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，两角和差公式，基本不等式的综合运用，考查了对基本公式的灵活运用能力，属于中档题．
根据，由正弦定理得到，结合诱导公式得到，即得到得，再根据，即可求出；
易求的面积，由已知及余弦定理得，再运用基本不等式即可求出的最大值，进而求出面积的最大值．  

23.【答案】解：

，
令，，
解得，，
函数的单调递增区间为，；
由得，
．
，
，且，
，
．
则
．
 

【解析】本题考查了三角函数的化简求值，考查了函数的单调性，考查了三角恒等变换的应用，是中档题．
由三角恒等变换化简，由，，可解得函数的单调递增区间；
由，可得，从而可求，由，利用两角差的余弦函数公式即可求出答案．