高中数学湘教版（2019）必修 第二册2.3 简单的三角恒等变换课时练习

绝密★启用前

2.3简单的三角恒等变换同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知函数，则的值不可能是

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数，则的值不可能是

A.  B.  C.  D.

3. 已知函数 的最小正周期为 ，当 时，方程 恰有两个不同的实数解，则       

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数 的最小正周期为 ，当 时，方程 恰有两个不同的实数解，则       

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数，则下列关于该函数图象对称性的描述正确的是 

A.  关于点对称 B.  关于点对称
C.  关于直线对称 D.  关于直线对称

6. 已知，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 设函数，是公差为的等差数列，，则

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知半圆的直径，点在的延长线上，，点为半圆上一个动点，以为边作等边三角形，且点与圆心分别在的两侧，则四边形面积的最大值为

A.  B.  C.  D.

9. 已知，在这两个实数，之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 

A.  B.  C.  D.

10. 设为圆外一点，过引圆的切线，两切点分别为和，若，则    

A.  B.  C.  D.

11. 在锐角中，分别为三边所对的角．若，且满足关系式，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

12. 若，，则   

A.  B.  C.  D. 或

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 已知圆的弦长为，若线段是圆的直径，则          ；若点为圆上的动点，则的取值范围是          ．
14. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意成立，则实数的最小值为          此时，函数在区间上的图象与直线所围成的封闭图形的面积为          ．
15. 已知，，，，则的值为          的值为          
16. 已知为三个内角，，的对边，且，则          ，若上述条件成立时，则的最大值为          ．
17. 已知函数在处取得最小值，则的最小值为          ，此时          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 设平面向量，，函数．
    Ⅰ当时，求函数的最小值；

Ⅱ若锐角满足，求的值．






 

19. 已知函数，．

求函数的最小正周期；

求函数在区间上的最大值和最小值及相应的的值．






 

20. 已知向量  ，．
    求的值；
    若均为锐角，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知向量，函数．

求函数的图象对称轴的方程；

求函数在上的最大值和最小值．






 

22. 已知中内角所对的边分别为，且，．

求角的大小；

求的取值范围．






 

23. 已知函数．

求的最小正周期

求在区间上的最大值和最小值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查两角和与差的三角函数公式，以及二倍角公式，辅助角公式，正弦函数，余弦函数的性质，积化和差公式．
 方法一：利用两角和与差的三角函数公式，以及二倍角公式，辅助角公式，正弦函数，即可得；
方法二：利用余弦函数的性质，积化和差公式，即可得．
【解答】
解：方法一 

，

．

方法二 

．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查两角和与差的三角函数公式，以及二倍角公式，辅助角公式，正弦函数，余弦函数的性质，积化和差公式．
 方法一：利用两角和与差的三角函数公式，以及二倍角公式，辅助角公式，正弦函数，即可得；
方法二：利用余弦函数的性质，积化和差公式，即可得．
【解答】
解：方法一： 

，

．

方法二 

．
故选D

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．
降幂，再由辅助角公式化简函数解析式，作出图象，数形结合求得，则答案可求．
【解答】
解：

由的最小正周期，得．

作出函数在上的图象如图：

由图可知，，
．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的图象特征，属于中档题．
降幂，再由辅助角公式化简函数解析式，作出图象，数形结合求得，则答案可求．
【解答】
解：

由的最小正周期，得．

作出函数在上的图象如图：

由图可知，，
．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了函数的图象与性质，属于容易题．
求出函数的图象与性质，函数的解析式，然后判断对称中心或对称轴即可．
【解答】
解：


，
令，其中，
所以，
当时，，故的图像关于直线对称，
因为无整数解，故直线不是函数图像的对称轴．
令，其中，
所以，因为无整数解，故点不是函数图像的对称中心，
同理也不是函数图像的对称中心．
故答案为．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】

利用两角差的余弦公式、辅助角公式、诱导公式求得的值．
本题主要考查两角差的余弦公式、辅助角公式、诱导公式的应用．

【解答】

解：
，
，
则．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
是公差为的等差数列，
，由和差化积公式可得，





，
，
，
，，
故，



．
故选D．
由，又是公差为的等差数列，可求得，由题意可求得，从而可求得答案．
本题考查数列与三角函数的综合，求得，继而求得是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设，四边形面积为，
则在中，由余弦定理得
．

，
当时，，有最大值为．
故选：．
首先，可以设，四边形面积为，然后，建立关系式，构造面积关系式，最后利用三角函数知识求解最值．
本题重点考查了三角函数的辅助角公式、三角恒等变换等知识，属于中档题．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，涉及圆的参数方程，三角函数的辅助角公式和三角函数的性质，等差数列的性质等，是中档题．
根据题意，设插入的三个数为、、，即构成等差数列的五个数分别为，，，，，由等差数列的性质可得、的值，分析可得这个等差数列后三项和为，进而根据，设，，解答表示为角的三角函数形式的表达式，利用辅助角公式化简，利用三角函数性质能求出最大值．
【解答】
解：根据题意，设插入的三个数为、、，
即构成等差数列的五个数分别为，，，，，
则有，
则，，
则这个等差数列后三项和为，
又由，设，，
则
，
即这个等差数列后三项和的最大值为；
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了半角公式与万能公式，向量的数量积和圆的切线的性质与判断定理 
利用圆的切线的性质得，，再利用万能公式得，再利用向量的数量积得，从而得，最后计算得结论．
【解答】
解：设，则 ，
且，，
因此．
又因为，所以，
即，即，解得，
所以．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦、余弦定理的应用，考查辅助角公式， 属于难题．
由得，从而求得的值，化简，即可求出的值；利用求得，且，再利用三角恒等变换求的取值范围．

【解答】

解：，
，
则，
，，；
由余弦定理得，
，
由正弦定理得，
，
，解得；
，
在锐角中，由，，
得， ，
由，可得；

，
由，得，
，
的取值范围是．
故选D．

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查三角函数恒等变换中的辅助角公式、三角函数的诱导公式的运用，属于中档题．
先利用辅助角公式将化简为，进而得到，再根据求出，然后利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值进而求解即可．
【解答】
解：因为，所以，也即，
因为所以，所以，解得，
所以，
故选B．  

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的数量积运算，体现了数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
由题意画出图形并求出，代入数量积公式求得；求出、的坐标，设出的坐标，可得的坐标，把转化为三角函数求最值．
 【解答】
解：如图，

若线段是圆的直径，由题意可得，，
；
若点为圆上的动点，由题意得，，设，
则，，
．
的取值范围是
故答案为：；  

14.【答案】；

【解析】

【分析】
本题考查二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的图象、性质的应用，属中档题．
先将函数化简为，由平移得到的解析式，对任意成立，即为函数的对称轴，可求出的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积．
【解答】
解：
，
由图象向左平移个单位长度．
则得到．
所以．
由若对任意成立，则为函数的对称轴．
得，所以，，则的最小值为；
此时，由对称性可知，如图．

即右边阴影部分的面积等于左边的面积．
所求面积即为直线以及围成矩形面积，即为．
故答案为： ； ．  

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了两角和差公式以及半角公式，属于较难题．
注意角之间的变形：，再利用三角函数公式可得答案．

【解答】

解：
，，，
，，，

，
，．
故答案为．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了函数，函数的图象与性质，两角和与差的三角函数公式，辅助角公式 ，正弦定理和余弦定理，属于较难题．
利用题目所给条件，结合正弦定理得      ，再利用两角和的正弦函数公式得     ，再利用辅助角公式得，从而得，再利用题目所给条件，结合辅助角公式得，再利用函数的值域得，再利用余弦定理，从而得，再利用对勾函数的性质，计算得结论．
【解答】
解：因为，，
所以，
因此由正弦定理得      ．
又因为，
所以     ，
即     ．
又因为是三角形内角，所以 ，因此  ，
即．
又因为，所以，因此，解得．
因为，
所以，
而，即，
因此，即．
又因为，，所以，
因此．
又因为，而，
所以由对勾函数的性质知：当时，取得最大值，最大值为．
故答案为．  

17.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
直接利用辅助角公式求解即可．
【解答】
解：函数
，
其中，，
故当，时，函数取得最小值为，
得，
故答案为；．  

18.【答案】解：Ⅰ

，
由，得，
故
Ⅱ，
为锐角，．

．
 

【解析】本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
Ⅰ利用向量的数量积结合半角公式，辅助角公式化简求最值；
Ⅱ若锐角满足，可得的值，然后将化为，代入求值即可．
 

19.【答案】解：

   ，  

所以     

因为， 

所以 ，  ，  

当，即时，，

当，即时，．

【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．

利用和角公式、降幂公式和辅助角公式基本公式将函数化为的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；
当时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出的最大值和最小值及相应的的值．

20.【答案】解：
，

；
 ，
，
因为为锐角，所以，
因为均为锐角，




．
 

【解析】本题考查三角函数与向量的综合，是中档题．
根据所给向量关系求解的正切值，进而转化为正切的式子求解；
根据条件得到，再由结合角的范围求出结合角的变换求解即可．
 

21.【答案】解：由已知
，
对称轴的方程为，
即．
因为，
则，
所以，
所以．
 

【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量的数量积运算，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
根据函数利用向量的坐标运算即可得到解析式，化简可求解图象对称轴的方程；
根据在上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．
 

22.【答案】解：由题意知，

结合余弦定理，整理得，

因为，所以，又因为，所以．

由知：，

因为所以所以，

所以，即的取值范围．

【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换和三角函数的性质，属于一般题．
利用余弦定理即可求解；
由正弦定理和三角恒等变换公式得 ，结合的范围即可求解．
 

23.【答案】解：因为



，
所以的最小正周期为
因为，
所以．
故当，即时，取得最大值
当，即时，取得最小值．
 

【解析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．
利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，即可求出函数的最小正周期
先根据的取值范围求得的范围，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值和最小值．