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2021学年4.5 函数的应用（二）同步测试题
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这是一份2021学年4.5 函数的应用（二）同步测试题，共42页。试卷主要包含了5 函数的应用，函数f=lg x+1的零点是等内容，欢迎下载使用。
新20版练B1数学人教A版4.5函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第1课时 函数零点的判定与求解问题
考点1 求函数的零点
1.(2019·山东曲阜二中高一检测)函数f(x)=-x2+5x-6的零点是( )。
A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3
答案：B
解析：令-x2+5x-6=0,得x1=2,x2=3。
2.(2018·湖南常德一中高一检测)函数f(x)=lg x+1的零点是( )。
A.110 B.10 C.1010 D.10
答案：A
解析：由lg x+1=0,得lg x=-1,所以x=110。
3.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是( )。
A.-12,-1 B.12,1
C.12,-1 D.-12,1
答案：B
解析：方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=12,所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是12,1。
4.函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0的所有零点组成的集合为( )。
A.{1} B.{-1}
C.{-1,1} D.{-1,0,1}
答案：C
解析：当x≤0时,f(x)=x+1=0⇒x=-1;当x>0时,f(x)=log2 x=0⇒x=1,所以函数f(x)的所有零点组成的集合为{-1,1}。
5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是( )。
A.-1和16 B.1和-16
C.12和13 D.-12和-13
答案：B
解析：∵f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3,∴a=5,b=6。∴g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16。
6.若函数f(x)=x-1x,则函数g(x)=f(4x)-x的零点是 。
答案：12
解析：g(x)=f(4x)-x=4x-14x-x。令4x-14x-x=0,解得x=12,则函数g(x)的零点是12。
7.(2019·浙江桐乡一中高一调研)函数f(x)=2x-3的零点是 。
答案：log23
解析：f(x)=2x-3=0⇒x=log23,即零点是log23。
8.(2019·山东济宁一中高一检测)若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是 。
答案：-1和0
解析：因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根为x=-1和x=0,即函数g(x)的零点为-1和0。
考点2 探求零点所在的区间
9.(2019·浙江台州一中高一月考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )。
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案：C
解析：因为函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0。故函数的一个零点所在的区间为(0,1)。
10.(2019·河北衡水中学高一期中)已知函数f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )。
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案：C
解析：函数f(x)=6x-log2x在其定义域上连续,f(4)=32-2<0,f(2)=3-1>0,则f(4)·f(2)<0,故函数f(x)的零点在区间(2,4)上。
11.(2019·山西太原五中高一月考)方程lg x+x=0的根所在的区间可能是( )。
A.(-∞,0) B.(0.1,1)
C.(1,2) D.(2,4)
答案：B
解析：要使lg x有意义,必须x>0。令f(x)=lg x+x,显然f(x)在定义域内为增函数,又f(0.1)=-0.9<0,f(1)=1>0,f(0.1)·f(1)<0,故f(x)在区间(0.1,1)内有零点。
12.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线,则下列说法中正确的是( )。
A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)<0,则不可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
答案：C
解析：对于函数f(x)=x2,f(-1)f(1)>0,但f(0)=0,故A错;对于函数f(x)=x3-x,f(-2)f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B错;函数f(x)=x2满足C,故C正确;由零点存在性定理知D错。
13.二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在区间是( )。
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
答案：A
解析：因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根。又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)内也有根。
14.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
-7
6
-4
-5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B
解析：由题表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又f(x)为连续不断的曲线,故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点。
15.(2019·河北冀州中学高一期中)函数f(x)=x3-12x-2的零点所在的区间为( )。
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案：B
解析：因为函数f(x)=x3-12x-2在R上单调递增,f(1)=13-121-2=1-2=-1<0,f(2)=23-122-2=8-1=7>0,f(1)·f(2)<0,所以零点所在的区间为(1,2)。
16.(2019·山东潍坊高一期中)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )。
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案：B
解析：函数f(x)=2x+3x是连续函数,且在(-∞,+∞)上单调递增,根据零点附近函数值符号相反,可采用代入排除的方法求解。A:f(-2)=14 -6<0,f(-1)=12-3<0,故A错误;B:f(-1)<0,f(0)=1>0,由零点存在性定理可知f(x)有零点在区间(-1,0)上,故B正确;C:f(0)>0,f(1)=2+3>0,故C错误;D:f(1)>0,f(2)=4+6>0,故D错误。故选B。
17.根据表格中的数据,若函数f(x)=ln x-x+2在区间(k,k+1)(k∈N*)内有一个零点,则k的值为 。
x
1
2
3
4
5
ln x
0
0.69
1.10
1.39
1.61
答案：3
解析：f(1)=ln 1-1+2=1>0,f(2)=ln 2-2+2=ln 2≈0.69>0,f(3)=ln 3-3+2≈1.10-1=0.10>0,f(4)=ln 4-4+2≈1.39-2=-0.61<0,f(5)=ln 5-5+2≈1.61-3=-1.39<0,所以f(3)·f(4)<0。所以函数f(x)=ln x-x+2在区间(3,4)内有一个零点,所以k=3。
18.(2019·江苏淮阴中学高一期中)设x0是函数f(x)=2x+x的零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k= 。
答案：-1
解析：易知函数f(x)单调递增,且f(0)=1>0,f(-1)=-12 <0,根据零点存在性定理知,函数f(x)在区间(-1,0)内有一个零点,故k=-1。
考点3 判断函数零点的个数
19.方程ex-x=2在实数范围内的解有( )。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：C
解析：由题意令y1=ex,y2=x+2,在同一坐标系下作出两个函数的图像,如图,由图像可知两图像有两个交点,即方程ex-x=2有两个解,故选C。
20.下列图像表示的函数中没有零点的是( )。
图4-5-1-1
答案：A
解析：没有零点就是函数图像与x轴没有交点,故选A。
21.(原创题)函数f(x)=x2+x-b2的零点的个数是 。
答案：2
解析：对于方程x2+x-b2=0,因为Δ=12+4b2>0,所以方程有两个实数根,即函数f(x)有两个零点。
22.(2019·天津耀华中学高一检测)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 。
答案：2
解析：函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点,即2x|log0.5 x|-1=0的解,即函数g(x)=|log0.5 x|和函数h(x)=12x的图像的交点的横坐标,如图所示,由图可知,两函数图像有两个交点,故函数f(x)有两个零点。
23.(2019·福建闽侯第八中学高一月考)函数f(x)=ex+4x-3的零点个数是 。
答案：1
解析：因为f(x)是R上的连续函数,且f(0)=e0-3<0,f(1)=e1+4-3>0,所以f(x)在(0,1)上有零点。又f(x)是R上的增函数,所以f(x)只有1个零点。
考点4 与函数零点有关的综合问题
24.(2019·河南郑州第一中学高一期中)已知符号[x]表示不超过x的最大整数,函数f(x)=[x]x(x>0),则以下结论正确的是( )。
A.函数f(x)的值域为[0,1]
B.函数f(x)没有零点
C.函数f(x)是(0,+∞)上的减函数
D.函数g(x)=f(x)-a有且仅有3个零点时34
解析：当x∈(0,1)时,f(x)=0,故B选项错误;当x∈[1,2)时,f(x)=1x∈12,1;当x∈[2,3)时,f(x)=2x∈23,1;当x∈[3,4)时,f(x)=3x∈34,1,…,依此类推,函数的值域为{0}∪12,1,故A选项错误,且函数在定义域上不是单调递减函数,C选项错误。故选D。
25.设函数f(x)=x3-ln x (x>0),则y=f(x)( )。
A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点
B.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点
C.在区间1e,1,(1,e)内均无零点
D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点
答案：D
解析：因为函数f(x)=x3-ln x(x>0),所以f1e=1e3-ln 1e=13e+1>0,f(1)=13-ln 1=13>0,所以y=f(x)在区间1e,1内无零点,而f(e)=e3-ln e=e3-1<0,所以f(1)f(e)<0,所以y=f(x)在区间(1,e)内有零点,故选D。
26.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )。
A.a
解析：函数f(x)=2x+x的零点即函数y=2x和y=-x图像交点的横坐标;函数g(x)=x-2的零点即函数y=-2和y=-x图像交点的横坐标;函数h(x)=log2x+x的零点即函数y=log2x和y=-x图像交点的横坐标。作出函数图像如图所示,由图可知a
27.求“方程35x +45x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=35x+45x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2。类比上述解题思路,方程x6+x2=(x+2)3+x+2的解集为 。
答案：{2,-1}
解析：x6+x2=(x+2)3+x+2⇒(x2)3+x2=(x+2)3+x+2,设f(x)=x3+x,则f(x)在R上单调递增,又∵f(x2)=f(x+2),∴x2=x+2⇒x=2或-1,故方程的解集是{2,-1}。
28.(2019·山东宁阳四中高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x。
(1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图像。
答案：当x≥0时,f(x)=x2-2x。设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。
∵函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
∴f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0。
画出函数f(x)的图像如图所示。
(2)设g(x)=f(x)-k,利用图像讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有①一个零点?②两个零点?③三个零点?
答案：由g(x)=f(x)-k=0可得f(x)=k,结合(1)中函数的图像可知:
①当k<-1或k>1时,y=k与y=f(x)的图像有一个交点,即函数g(x)=f(x)-k有一个零点;
②当k=-1或k=1时,y=k与y=f(x)的图像有两个交点,即函数g(x)=f(x)-k有两个零点;
③当-1
考点1 一次、二次函数的零点的含参问题
1.(2019·广东仲元中学高一上期末考试)若二次函数y=x2+2x+k+3有两个不同的零点,则k的取值范围是( )。
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
答案：B
解析：Δ=4-4(k+3)>0,解得k<-2。故选B。
2.(2019·甘肃兰州铁一中期末考试)若a
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案：A
解析：由于f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,因此f(x)的两个零点分别在区间(a,b)和(b,c)内,故选A。
3.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+c,若a-b22 >c,则函数f(x)的零点( )。
A.不存在 B.有且只有一个
C.一定有两个 D.个数不确定
答案：C
解析：令g(x)=(x-a)(x-b),则其图像是顶点坐标为a+b2,-a-b22的抛物线,而f(x)=g(x)+c,且a-b22>c,故f(x)的图像的顶点仍然位于x轴的下方,所以f(x)一定有两个零点,故选C。
4.(2019·四川成都双流中学高一期中)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若方程 f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个解,则实数λ的值是( )。
A.12 B.18 C.-78 D.-38
答案：C
解析：∵f(2x2+1)+f(λ-x)=0,∴由f(x)为奇函数得f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),∴由题可知方程2x2+1=x-λ有唯一解,即2x2-x+1=-λ有唯一解。又2x2-x+1=2x-142+78,∴-λ=78,∴λ=-78。
5.(2019·江苏盐城盐阜中学高一期中)若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是( )。
A.-a>1 B.a<1
C.a<-1或a>1 D.-1
解析：函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)·f(1)<0,即(1-a)·(1+a)<0,解得a<-1或a>1,故选C。
6.(2019·湖南益阳高一期中)已知函数f(x)=x+2,x>a,x2+5x+2,x≤a,若方程f(x)-2x=0恰有三个不同的实根,则实数a的取值范围是( )。
A.[-1,1) B.[-1,2)
C.[-2,2) D.[0,2]
答案：B
解析：令g(x)=f(x)-2x,则由题意可得函数g(x)=-x+2,x>a,x2+3x+2,x≤a恰有三个不同的零点。如图,结合函数y=-x+2与y=x2+3x+2的图像可知-1≤a<2,故选B。
7.已知函数f(x)=ax2-5x+2a+3的一个零点为0,则f(x)的单调递增区间为 。
答案：-∞,-53
解析：由已知,得f(0)=2a+3=0,∴a=-32,∴f(x)=-32x2-5x,∴f(x)的单调递增区间为-∞,-53。
8.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个零点为x1,x2,且满足x2<32
解析：令f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16。要使方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实根x1,x2满足x2<32
答案：0或-14
解析：当a=0时,f(x)只有一个零点x=-1;当a≠0时,由Δ=1+4a=0,得a=-14。
10.函数f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在区间-12,12上有零点,则实数a的取值范围为 。
答案：(-∞,0]
解析：当x=0时,f(0)=1;当x≠0时,方程ax2-2x+1=0可化为a=-1x2+2x=-1x-12+1,由题意可得1x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以可以求得a≤0。
11.(2019·湖南娄底高一第一次段考)已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且f(x)的最小值是-1,函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称。
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
答案：依题意,设f(x)=ax(x+2)(a>0),图像的对称轴是直线x=-1,
∴f(-1)=-a=-1,∴a=1,∴f(x)=x2+2x。
∵函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称,
∴g(x)=-x2+2x。
(2)若h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围。
答案：由(1)得h(x)=x2+2x-λ(-x2+2x)=(λ+1)x2+2(1-λ)x,
①当λ=-1时,h(x)=4x满足在区间[-1,1]上是增函数;
②当λ<-1时,h(x)图像的对称轴是直线x=λ-1λ+1,则λ-1λ+1≥1,又∵λ<-1,∴解得λ<-1。
③当λ>-1时,有λ-1λ+1≤-1,又∵λ>-1,
∴解得-1<λ≤0。综上所述,满足条件的实数λ的取值范围是(-∞,0]。
12.已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点。
(1)求实数m的取值范围;
答案：当m+6=0时,函数f(x)=-14x-5,显然有零点;当m+6≠0时,由Δ=4(m-1)2-4(m+6)·(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-59,∴当m≤-59,且m≠-6时,函数f(x)有零点。
综上,实数m的取值范围为-∞,-59。
(2)若函数有两个不同的零点,且其倒数之和为-4,求实数m的值。
答案：由题目条件可知m+6≠0,设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个零点,则有x1+x2=-2(m-1)m+6,x1x2=m+1m+6。
∵1x1+1x2=-4,即x1+x2x1x2=-4,
∴-2(m-1)m+1=-4,解得m=-3。
又当m=-3时,Δ>0,符合题意,∴m=-3。
考点2 常见非一、二次函数的零点含参问题
13.设a是函数f(x)=2x-log12x的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足( )。
A.f(x0)=0 B.f(x0)<0
C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定
答案：C
解析：∵函数y=2x和y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,∴f(x)=2x-log12x=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数。又∵a是函数f(x)=2x+log2x的零点,∴f(a)=0,∴当x0>a时,f(x0)>0,故选
14.(2019·重庆綦江高一期末联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )。
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)
答案：A
解析：∵函数f(x)=|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,∴作出函数f(x)的图像如图所示。方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图像与直线y=a有三个不同的交点。根据图像可知,当0
15.(2019·江西新余一中高一月考)设f(x)=|x-1|(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是( )。
A.1
解析：因为f(x)=|x-1|(x+1)-x=-x2-x+1,x≤1,x2-x-1,x>1,故函数f(x)的图像如图所示,由图可知:当-1
16.(2019·河北邢台二中高一月考)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 。
答案：(1,+∞)
解析：由f(x)=ax-x-a=0,可得ax=x+a,设y1=ax,y2=x+a,由题意可知,两函数的图像有两个不同的交点,分两种情况:①当01时,如图②所示,符合题意。综上所述,a的取值范围为(1,+∞)。
17.若方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解,则所有满足条件的k值的和为 。
答案：-1
解析：令y=lg|x|,y=-|x|+5,画出两函数的图像。
两个函数都是偶函数,所以函数图像的交点关于y轴对称,因而方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解,一根位于(-5,-4)内,另一根位于(4,5)内,k的值为-5和4,则所有满足条件的k值的和为-1。
18.(2019·江苏丹阳高级中学高一期中)已知函数f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2,若关于x的方程f(x)=m有两个不同的实根,则实数m的取值范围是 。
答案：(1,+∞)
解析：由题意作出函数f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2的图像,如图所示。
则关于x的方程f(x)=m有两个不同的实根等价于函数f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2的图像与直线y=m有两个不同的交点,由图像可知当m∈(1,+∞)时,满足题意,故答案为(1,+∞)。
19.对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=a,a-b≤1,b,a-b>1,设函数f(x)=(x2-2)*(x-1),x∈R,若方程f(x)=c恰有两个不同的解,则实数c的取值范围是 。
答案：(-2,-1]∪(1,2]
解析：由题意知f(x)=x2-2,-1≤x≤2,x-1,x<-1或x>2,画出f(x)的图像(图略),数形结合可得实数c的取值范围是(-2,-1]∪(1,2]。
20.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1。
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;
答案：当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1。
令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,
解得2x=1或2x=-12(舍)。
所以x=0。所以函数f(x)的零点为0。
(2)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围。
答案：若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解。于是2a=2x+14x=12x+14x=12x+122-14。
因为12x>0,所以2a>14-14=0,即a>0。
故实数a的取值范围为(0,+∞)。
考点3 一元二次方程根的分布问题
21.(2019·四川成都第七中学高一期中)若方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(0,2)内,则m的取值范围是( )。
A.53,5
B.-73,5
C.-∞,53∪(5,+∞)
D.-∞,53
答案：B
解析：设f(x)=4x2+(m-2)x+m-5。
∵方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(0,2)内,∴f(-1)>0,f(0)<0,f(2)>0,即4-(m-2)+m-5>0,m-5<0,16+2(m-2)+m-5>0,解得-73
答案：(-2,1)
解析：由(x1-1)(x2-1)<0,得方程有一根比1大,另一根比1小,令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,则只需f(1)<0,求得-2
答案：-12
答案：解:因为二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的图像开口向下,且在区间(-∞,-1),(3,+∞)内各有一个零点,所以f(-1)>0,f(3)>0,即-(-1)2-2a+4a+1>0,-32+2a×3+4a+1>0,
即2a>0,10a-8>0,解得a>45。
考点4 函数的零点在函数中的应用
25.已知函数f(x)=4x-4,x≤1,x2-4x+3,x>1,g(x)=ln x,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：由题意得,函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与函数y=g(x)图像的交点个数,分别作出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像,如图所示,可得两函数的图像有3个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为3,故选C。
26.(复旦大学自主选拔录取申请资格测试)设函数y=f(x)对一切实数x均满足f(5+x)=f(5-x),且方程f(x)=0恰好有六个不同的实根,则这六个实根的和为( )。
A.10 B.12 C.18 D.30
答案：D
解析：由f(5+x)=f(5-x)可推断函数y=f(x)的图像关于x=5对称,所以六个根也关于x=5对称,其和为5×6=30,故选D。
27.对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=x2+bx+c。
(1)若f(x)的两个不动点为-3,2,求函数f(x)的零点;
答案：由题意知f(x)=x有两根,即x2+(b-1)x+c=0有两根,分别为-3,2。
∴-3+2=-(b-1),-3×2=c,∴b=2,c=-6。
从而f(x)=x2+2x-6。
令f(x)=0,得x1=-1-7,x2=-1+7。
故f(x)的零点为-1±7。
(2)当c=14b2时,函数f(x)没有不动点,求实数b的取值范围。
答案：若c=b24,则f(x)=x2+bx+b24,
又f(x)无不动点,即方程x2+bx+b24=x无解,
化简得方程x2+(b-1)x+b24=0无解,
∴Δ=(b-1)2-b2<0,即-2b+1<0,
∴b>12。故b的取值范围是12,+∞。
28.(2019·广东仲元中学高一期中)已知函数f(x)=ax2-2x+1+b在x=1处取得最小值0。
(1)求a,b的值。
答案：当a=0时,f(x)=-2x+1-b,无最小值,不合题意;当a≠0时,f(x)=ax-1a2-1a+1+b,由题意得a>0,1a=1,-1a+1+b=0,解得a=1,b=0。
(2)设g(x)=f(x)x,
①求函数y=g(|2x-1|),x∈12,2的最值及取得最值时x的值;
②是否存在实数k,使关于x的方程g(|2x-1|)+k2|2x-1|-3=0在(-∞,0)∪(0,+∞)上恰有一个实数解?若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案：由(1)可知g(x)=x+1x-2,
①令t=|2x-1|,x∈12,2,则t∈[2-1,3]。
因为g(t)=t+1t-2在[2-1,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,所以ymin=g(1)=0,此时x=1。
因为g(2-1)=22-2,g(3)=43,
所以g(2-1)
②令t=|2x-1|,则t∈(0,+∞),当t∈(0,1)时,对应x有2个解;当t∈[1,+∞)时,对应x有唯一解。则t+1t-2+k2t-3=0,
即t2-(2+3k)t+2k+1=0。(*)
若方程(*)有两个相等的大于等于1的根,
则Δ=(2+3k)2-4(2k+1)=0,2+3k≥2,解得k=0;
若方程(*)有两个根t1,t2,t1≥1,t2≤0,
则2k+1≤0,1-(2+3k)+2k+1≤0,无解。
综上所述,存在这样的k且k=0。
第3课时 用二分法求方程的近似解
考点1 二分法概念的理解
1.(2019·山西太原五中高一期末)用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是( )。
①f(x)在区间[a,b]是连续不断的;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b) ≥0。
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
答案：A
解析：根据二分法定义得①②正确。
2.(2019·江西九江一中高一检测)如图4-5-3-1所示的图像表示的函数能用二分法求零点的是( )。
图4-5-3-1
答案：C
解析：对于选项A,图像与x轴无交点,不能用二分法求零点;对于选项B,图像与x轴有公共点,但零点两边的函数值同号,不能用二分法求零点;对于选项D,函数零点两边的函数值同号,不能用二分法求零点;故选C。
3.(2019·福建闽侯第八中学高一月考)用二分法求如图4-5-3-2所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )。
图4-5-3-2
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
答案：C
解析：由二分法的思想可知,零点x1,x2,x4左右两侧的函数值符号相反,即存在区间[a,b],使得f(a)·f(b)<0,故x1,x2,x4可以用二分法求解,但x3∈[a,b]时,均有f(a)·f(b)≥0,故不可以用二分法求该零点。
4.(2019·云南玉溪一中高一期中)下列关于二分法的叙述,正确的是( )。
A.用二分法可以求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字
C.二分法无规律可循,无法在计算机上进行
D.二分法只用于求方程的近似解
答案：B
解析：根据“二分法”求函数零点的方法要求,用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后任一数字,故选B。
5.(2019·浙江海盐高级中学高一期中)以下每个图像表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是( )。
图4-5-3-3
答案：C
解析：根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值。对各图像分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合。因为C中图像所表示的函数零点两侧的函数值同号,因此不能用二分法求函数零点。
6.(2019·山东济南一中高一期中)下列函数零点不能用二分法求解的是( )。
A.f(x)=x3-1 B.f(x)=ln x+3
C.f(x)=x2+22 x+2 D.f(x)=-x2+4x-1
答案：C
解析：对于C,f(x)=(x+2)2≥0,不能用二分法求解函数零点。
7.(2019·黑龙江大庆一中高一月考)若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是 。
答案：b-a2n<0.001
解析：经过1次取中点后,区间长度为|a-b|2,则经过n次取中点后区间长度为|a-b|2n,因为精确度为0.001,即|a-b|2n<0.001。又b>a,∴b-a2n<0.001。
8.(2019·云南昆明官渡一中高一期中)若函数f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则a的值为 。
答案：2或-1
解析：由题意知,对于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。
考点2 用二分法求方程的近似解
9.(2019·吉林长春外国语学校高一期中)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )。
A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)
答案：D
解析：因为f(1)=1+8-1=8>0,且f(0)<0,f(0.5)>0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值为f(0.25)。故选D。
10.(2019·湖南益阳桃江一中高一期中)用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
-0.360 4
-0.998 9
则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )。
A.1.125 B.1.312 5
C.1.437 5 D.1.468 75
答案：B
解析：因为f(1.25)·f(1.375)<0,所以根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异。又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解,故选B。
11.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度可达到0.1,则需要将此区间分( )。
A.2次 B.3次
C.4次 D.5次
答案：D
解析：等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意,故选D。
12.(2019·四川绵阳南山中学高一期中)用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似根的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )内。
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
答案：B
解析：∵f(1.25)<0,f(1.5)>0,
∴f(1.25)·f(1.5)<0,从而根落在区间(1.25,1.5)内。
13.(2019·湖北宜昌葛洲坝中学高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=52,那么下一个有根的区间是 。
答案：2,52
解析：令f(x)=x3-2x-5。
因为f(2)=23-4-5=-1<0,
f52=523-5-5=458>0,
f(3)=33-11=16>0,
故下一个有根区间为2,52。
14.(原创题)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,6)上的近似解,验证f(2)·f(6)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,6)的中点x1=2+62=4。计算f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈ 。(填区间)
答案：(2,4)
解析：∵f(2)·f(4)<0,∴x0∈(2,4)。
15.(2019·江西新余四中高一月考)用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)。参考数据如下表:
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
答案：解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0。用二分法逐次计算,列表如下:
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1=1.5
f(x1)≈0.33>0
(1,1.5)
x2=1.25
f(x2)≈-0.37<0
(1.25,1.5)
x3=1.375
f(x3)≈-0.031<0
(1.375,1.5)
—
—
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,
∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375。
16.(2019·辽宁鞍山一中高一月考)判断函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度为0.1)。
答案：解:因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图像是连续的曲线,所以它在区间(1,1.5)内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
-0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.05
(1.312 5,1.375)
—
—
由于|1.312 5-1.375|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似零点可取1.312 5。
考点3 用二分法求方程的近似解的综合问题
17.(2019·长沙调考)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )。
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=lnx-12
答案：A
解析：因为g14=2-32<0,g12=1>0,
所以g14·g12<0。
所以g(x)=4x+2x-2的零点x0∈14,12。
B中,f(x)=(x-1)2的零点为x=1,
则-34
所以B不是。
C中,f(x)=ex-1的零点为x=0,14
所以C不是。
D中,f(x)的零点x0=32,则-54
A中,f(x)=4x-1的零点为x=14,
则0
18.(2019·银川模块测试)已知f(x)的一个零点x0∈(2,3),用二分法求精确度为0.01的x0的近似值时,判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 。
答案：7
解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1,用二分法经过7次分割后区间的长度变为127<0.01。
19.(2019·西安二中单元测试)求函数y=ln x与函数y=3-x的图像的交点的横坐标。(精确度为0.1)
答案：解:求函数y=ln x与函数y=3-x的图像交点的横坐标,即求方程ln x=3-x的根。令f(x)=ln x+x-3。
因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,
所以可取初始区间为(2,3),列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416 3
(2,2.5)
2.25
0.060 9
(2,2.25)
2.125
-0.121 2
(2.125,2.25)
2.187 5
-0.029 7
(2.187 5,2.25)
—
—
由于区间(2.187 5,2.25)的长度为2.25-2.187 5=0.062 5<0.1,所以方程ln x+x-3=0在(2,3)内的一个近似根可取为2.187 5,即2.187 5可作为两函数图像交点的横坐标的一个近似值。
20.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根。
答案：证明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0。
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c。
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0。取区间[0,1]的中点12,则f12=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0。
∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间0,12和12,1上各有一个零点。
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在[0,1]内有两个实根。
考点4 二分法在实际问题中的应用
21.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?
答案：解:如图。
工人师傅首先从中点C检测,用随身带的话机向两端测试,发现AC段正常,可见故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测……由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为10 0002nm,则有10 0002n≤100,即2n≥100,
又26=64,27=128,故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域。
22.(2019·黄冈中学周测)某校办工厂请了30名木工制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人如何分组(一组制作课桌,另一组制作椅子)能使任务完成最快?
答案：解:设x名工人制作课桌(1≤x≤29,x∈N),则有(30-x)名工人制作椅子,因为一名工人在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需的时间P(x)=1007x,制作200把椅子所需要的时间Q(x)=20010(30-x)。若要想任务完成最快,则应求y=max{P(x),Q(x)}的最小值。该函数图像如图所示,
由图可知x0即y取最小值时x的值,此时P(x)=Q(x)。下面用二分法的知识求x0的整数值:
令f(x)=P(x)-Q(x)=1007x+20x-30,
则f(1)=1007-2029>0,f(29)=10029×7-20<0,
所以x0∈(1,29)。
取中点x1=1+292=15,f(15)≈-0.38<0,
所以x0∈(1,15)。同理可得,x0∈(8,15),
x0∈(11.5,15),x0∈(11.5,13.25),x0∈(12.375,13.25),x0∈(12.375,12.812 5)。
因为x0∈N,所以x0=12或x0=13。
当x0=12时,y=max{P(x),Q(x)}≈1.19;
当x0=13时,y=max{P(x),Q(x)}≈1.18<1.19,
所以取x0=13。即用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子,可使任务完成最快。
第4课时 函数模型的应用
考点1 图表型实际应用问题
1.(2019·广东仲元中学高一期中)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图4-5-4-1所示,现给出下列说法:
图4-5-4-1
①前5 min温度增加越来越快;
②前5 min温度增加越来越慢;
③5 min后温度保持匀速增加;
④5 min后温度保持不变。
其中说法正确的是( )。
A.①④ B.②④ C.②③ D.①③
答案：C
解析：前5 min,温度y随x的增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加,所以②③正确,故选C。
2.(2019·陕西西安一中高一月考)张敏下班回家的路上,开始时和同事边走边讨论问题,走得比较慢,然后他们索性停下来将问题彻底解决,最后他快速地回到了家。下列图像中与这一过程吻合得最好的是( )。
图4-5-4-2
答案：D
解析：由远及近先慢速,然后停止,最后快速,D符合。
3.如图4-5-4-3所示的折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像,根据图像填空:
图4-5-4-3
(1)通话2分钟,需付电话费 元;
答案：3.6
解析：由题图可知,当t≤3时,电话费都是3.6元。
(2)通话5分钟,需付电话费 元;
答案：6
解析：由题图可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元。
(3)若t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 。
答案：y=1.2t(t≥3)
解析：当t≥3时,y关于t的图像是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数关系式为y=kt+b,则3k+b=3.6,5k+b=6,解得k=1.2,b=0。故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y=1.2t(t≥3)。
4.如图4-5-4-4所示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数图像。有人根据函数图像,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
图4-5-4-4
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样。
其中正确信息的序号是 。
答案：①②③
解析：看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图像是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图像是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点表示骑摩托车者追上骑自行车者,且横坐标对应着4.5,故可推断出③正确,④错误。
考点2 指数、对数函数模型的应用问题
5.(2019·天津一中高一月考)2017年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,随着我国经济的不断发展,预计该地区今后农民的人均年收入的年平均增长率为6%,那么2024年年底该地区的农民人均年收入为( )。
A.3 000×1.06×7元
B.3 000×1.067元
C.3 000×1.06×8元
D.3 000×1.068元
答案：B
解析：设经过x年,该地区农民人均年收入为y元,则依题意有y=3 000×(1+6%)x=3 000×1.06x,因为2017年年底到2024年年底经过了7年,故x=7,所以y=3 000×1.067。
6.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )。
A.m11 B.m12 C.12m-1 D.11m-1
答案：D
解析：设1月份的产量为a,月平均增长率为x,则12月份的产量为ma。由题意,得a(1+x)11=ma,解得x=11m -1,故选D。
7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2 000·ln1+Mm。当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒。
答案：e6-1
解析：由题意可得2 000ln1+Mn=12 000,
∴ln1+Mm=6,∴1+Mm=e6,即Mm=e6-1。
8.(2019·湖北武汉外国语学校高一期中)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。
答案：10 000
解析：由题意,得M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,即此次地震的震级为6级。设9级地震的最大振幅为x,5级地震的最大振幅为y,则9=lg x+3,5=lg y+3,解得x=106,y=102,∴xy=106102=104=10 000。
9.某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:kg)与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 kg。
(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;
答案：设日销售量q=kex(25≤x≤40),则ke30=100,
∴k=100e30,
∴日销售量q=100e30ex(25≤x≤40),
∴y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40)。
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?
答案：当t=5时,y=100e30(x-25)ex=100e4,则x-25=ex-26,根据函数y=x-25与y=ex-26的图像(如图所示)。
可求得方程x-25=ex-26的解为x=26,
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元。
考点3 函数模型的比较与选择问题
10.(2019·青岛二中月考)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是( )。
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
答案：A
解析：随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数,即一次函数模型,故选A。
11.(2019·福建厦门第一中学高一上学期期中)某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )。
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
答案：C
解析：由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大。对于B中的函数,当x=4时,误差也较大。对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小。对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大。综上,只有C中的函数误差最小,故选C。
12.(2019·东北三校高一联考)下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值,可用一个函数模拟刹车后的停车距离y与车速x的关系,模拟函数可用y=axn(a,n为常数,a≠0,n≠1)或y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),试从中选择模拟较好的函数模型,并根据此函数模型预测车速为120 km/h时刹车后的停车距离。
x/(km/h)
10
15
30
40
50
60
70
80
90
100
y/m
4
7
12
18
25
34
43
54
66
80
答案：解:若以y=axn(a,n为常数,a≠0,n≠1)为模拟函数,将(10,4),(40,18)分别代入函数解析式,得a·10n=4,a·40n=18,解得n≈1.085,a≈0.329,故y=0.329x1.085,
由此函数解析式计算,得车速分别为90 km/h,100 km/h时,刹车后的停车距离分别约为43.406 m,48.663 m,与实际情况相差较大。
若以y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)分别代入函数解析式,得a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2,
故y=1150x2+215x+2,
由此函数解析式计算,得车速分别为90 km/h,100 km/h时,刹车后的停车距离分别为68 m,82 m,所得数据比较符合实际情况。
因此用函数y=1150x2+215x+2模拟较好。
当x=120时,y=114。
即当车速为120 km/h时,刹车后的停车距离为114 m。
13.(2019·安徽江南六校高一联考)某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
月投资A种商品
的金额/万元
1
2
3
4
5
6
纯利润/万元
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
月投资B种商品
的金额/万元
1
2
3
4
5
6
纯利润/万元
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才最合算。请你帮助制订一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润,并求出最大纯利润。(精确到0.1万元)
答案：解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示。
据此,可考虑用函数y=-a(x-4)2+2(a>0)①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系,用y=bx(b>0)②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系。
把x=1,y=0.65代入①式,得0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15,经检验,解析式满足题意,故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y=-0.15(x-4)2+2来表示。
把x=4,y=1代入②式,解得b=0.25,经检验,解析式满足题意,故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y=0.25x来表示。
设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA万元,xB万元,纯利润为W万元,得xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,
即W=-0.15xA-1962+0.15×1962+2.6。
故当xA=196≈3.2时,W取得最大值,约为4.1,
此时,xB=8.8。
即下个月投入A,B两种商品的资金分别约为3.2万元,8.8万元时,可获得最大纯利润,约为4.1万元。
新20版练B1数学人教A版4.5函数的应用(二)
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第1课时 函数零点的判定与求解问题
考点1 求函数的零点
1.(2019·山东曲阜二中高一检测)函数f(x)=-x2+5x-6的零点是( )。
A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3
答案：B
解析：令-x2+5x-6=0,得x1=2,x2=3。
2.(2018·湖南常德一中高一检测)函数f(x)=lg x+1的零点是( )。
A.110 B.10 C.1010 D.10
答案：A
解析：由lg x+1=0,得lg x=-1,所以x=110。
3.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是( )。
A.-12,-1 B.12,1
C.12,-1 D.-12,1
答案：B
解析：方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=12,所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是12,1。
4.函数f(x)=x+1,x≤0,log2x,x>0的所有零点组成的集合为( )。
A.{1} B.{-1}
C.{-1,1} D.{-1,0,1}
答案：C
解析：当x≤0时,f(x)=x+1=0⇒x=-1;当x>0时,f(x)=log2 x=0⇒x=1,所以函数f(x)的所有零点组成的集合为{-1,1}。
5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是( )。
A.-1和16 B.1和-16
C.12和13 D.-12和-13
答案：B
解析：∵f(x)=x2-ax+b有两个零点2和3,∴a=5,b=6。∴g(x)=6x2-5x-1有两个零点1和-16。
6.若函数f(x)=x-1x,则函数g(x)=f(4x)-x的零点是 。
答案：12
解析：g(x)=f(4x)-x=4x-14x-x。令4x-14x-x=0,解得x=12,则函数g(x)的零点是12。
7.(2019·浙江桐乡一中高一调研)函数f(x)=2x-3的零点是 。
答案：log23
解析：f(x)=2x-3=0⇒x=log23,即零点是log23。
8.(2019·山东济宁一中高一检测)若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax的零点是 。
答案：-1和0
解析：因为f(x)=ax-b的零点是3,所以f(3)=0,即3a-b=0,也就是b=3a,所以g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1),所以方程g(x)=0的两个根为x=-1和x=0,即函数g(x)的零点为-1和0。
考点2 探求零点所在的区间
9.(2019·浙江台州一中高一月考)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是( )。
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案：C
解析：因为函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,又f(-2)=e-2-4<0,f(-1)=e-1-3<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以f(0)·f(1)<0。故函数的一个零点所在的区间为(0,1)。
10.(2019·河北衡水中学高一期中)已知函数f(x)=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )。
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案：C
解析：函数f(x)=6x-log2x在其定义域上连续,f(4)=32-2<0,f(2)=3-1>0,则f(4)·f(2)<0,故函数f(x)的零点在区间(2,4)上。
11.(2019·山西太原五中高一月考)方程lg x+x=0的根所在的区间可能是( )。
A.(-∞,0) B.(0.1,1)
C.(1,2) D.(2,4)
答案：B
解析：要使lg x有意义,必须x>0。令f(x)=lg x+x,显然f(x)在定义域内为增函数,又f(0.1)=-0.9<0,f(1)=1>0,f(0.1)·f(1)<0,故f(x)在区间(0.1,1)内有零点。
12.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线,则下列说法中正确的是( )。
A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
D.若f(a)f(b)<0,则不可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
答案：C
解析：对于函数f(x)=x2,f(-1)f(1)>0,但f(0)=0,故A错;对于函数f(x)=x3-x,f(-2)f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B错;函数f(x)=x2满足C,故C正确;由零点存在性定理知D错。
13.二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
-4
-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0的两根所在区间是( )。
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
C.(-1,1)和(1,2)
D.(-∞,-3)和(4,+∞)
答案：A
解析：因为f(-3)=6>0,f(-1)=-4<0,所以在(-3,-1)内必有根。又f(2)=-4<0,f(4)=6>0,所以在(2,4)内也有根。
14.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
-7
6
-4
-5
则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )。
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案：B
解析：由题表可知f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又f(x)为连续不断的曲线,故f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点。
15.(2019·河北冀州中学高一期中)函数f(x)=x3-12x-2的零点所在的区间为( )。
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
答案：B
解析：因为函数f(x)=x3-12x-2在R上单调递增,f(1)=13-121-2=1-2=-1<0,f(2)=23-122-2=8-1=7>0,f(1)·f(2)<0,所以零点所在的区间为(1,2)。
16.(2019·山东潍坊高一期中)函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )。
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
答案：B
解析：函数f(x)=2x+3x是连续函数,且在(-∞,+∞)上单调递增,根据零点附近函数值符号相反,可采用代入排除的方法求解。A:f(-2)=14 -6<0,f(-1)=12-3<0,故A错误;B:f(-1)<0,f(0)=1>0,由零点存在性定理可知f(x)有零点在区间(-1,0)上,故B正确;C:f(0)>0,f(1)=2+3>0,故C错误;D:f(1)>0,f(2)=4+6>0,故D错误。故选B。
17.根据表格中的数据,若函数f(x)=ln x-x+2在区间(k,k+1)(k∈N*)内有一个零点,则k的值为 。
x
1
2
3
4
5
ln x
0
0.69
1.10
1.39
1.61
答案：3
解析：f(1)=ln 1-1+2=1>0,f(2)=ln 2-2+2=ln 2≈0.69>0,f(3)=ln 3-3+2≈1.10-1=0.10>0,f(4)=ln 4-4+2≈1.39-2=-0.61<0,f(5)=ln 5-5+2≈1.61-3=-1.39<0,所以f(3)·f(4)<0。所以函数f(x)=ln x-x+2在区间(3,4)内有一个零点,所以k=3。
18.(2019·江苏淮阴中学高一期中)设x0是函数f(x)=2x+x的零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k= 。
答案：-1
解析：易知函数f(x)单调递增,且f(0)=1>0,f(-1)=-12 <0,根据零点存在性定理知,函数f(x)在区间(-1,0)内有一个零点,故k=-1。
考点3 判断函数零点的个数
19.方程ex-x=2在实数范围内的解有( )。
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：C
解析：由题意令y1=ex,y2=x+2,在同一坐标系下作出两个函数的图像,如图,由图像可知两图像有两个交点,即方程ex-x=2有两个解,故选C。
20.下列图像表示的函数中没有零点的是( )。
图4-5-1-1
答案：A
解析：没有零点就是函数图像与x轴没有交点,故选A。
21.(原创题)函数f(x)=x2+x-b2的零点的个数是 。
答案：2
解析：对于方程x2+x-b2=0,因为Δ=12+4b2>0,所以方程有两个实数根,即函数f(x)有两个零点。
22.(2019·天津耀华中学高一检测)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 。
答案：2
解析：函数f(x)=2x|log0.5 x|-1的零点,即2x|log0.5 x|-1=0的解,即函数g(x)=|log0.5 x|和函数h(x)=12x的图像的交点的横坐标,如图所示,由图可知,两函数图像有两个交点,故函数f(x)有两个零点。
23.(2019·福建闽侯第八中学高一月考)函数f(x)=ex+4x-3的零点个数是 。
答案：1
解析：因为f(x)是R上的连续函数,且f(0)=e0-3<0,f(1)=e1+4-3>0,所以f(x)在(0,1)上有零点。又f(x)是R上的增函数,所以f(x)只有1个零点。
考点4 与函数零点有关的综合问题
24.(2019·河南郑州第一中学高一期中)已知符号[x]表示不超过x的最大整数,函数f(x)=[x]x(x>0),则以下结论正确的是( )。
A.函数f(x)的值域为[0,1]
B.函数f(x)没有零点
C.函数f(x)是(0,+∞)上的减函数
D.函数g(x)=f(x)-a有且仅有3个零点时34
解析：当x∈(0,1)时,f(x)=0,故B选项错误;当x∈[1,2)时,f(x)=1x∈12,1;当x∈[2,3)时,f(x)=2x∈23,1;当x∈[3,4)时,f(x)=3x∈34,1,…,依此类推,函数的值域为{0}∪12,1,故A选项错误,且函数在定义域上不是单调递减函数,C选项错误。故选D。
25.设函数f(x)=x3-ln x (x>0),则y=f(x)( )。
A.在区间1e,1,(1,e)内均有零点
B.在区间1e,1内有零点,在区间(1,e)内无零点
C.在区间1e,1,(1,e)内均无零点
D.在区间1e,1内无零点,在区间(1,e)内有零点
答案：D
解析：因为函数f(x)=x3-ln x(x>0),所以f1e=1e3-ln 1e=13e+1>0,f(1)=13-ln 1=13>0,所以y=f(x)在区间1e,1内无零点,而f(e)=e3-ln e=e3-1<0,所以f(1)f(e)<0,所以y=f(x)在区间(1,e)内有零点,故选D。
26.已知三个函数f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x的零点依次为a,b,c,则( )。
A.a
解析：函数f(x)=2x+x的零点即函数y=2x和y=-x图像交点的横坐标;函数g(x)=x-2的零点即函数y=-2和y=-x图像交点的横坐标;函数h(x)=log2x+x的零点即函数y=log2x和y=-x图像交点的横坐标。作出函数图像如图所示,由图可知a
27.求“方程35x +45x=1的解”有如下解题思路:设f(x)=35x+45x,则f(x)在R上单调递减,且f(2)=1,所以原方程有唯一解x=2。类比上述解题思路,方程x6+x2=(x+2)3+x+2的解集为 。
答案：{2,-1}
解析：x6+x2=(x+2)3+x+2⇒(x2)3+x2=(x+2)3+x+2,设f(x)=x3+x,则f(x)在R上单调递增,又∵f(x2)=f(x+2),∴x2=x+2⇒x=2或-1,故方程的解集是{2,-1}。
28.(2019·山东宁阳四中高一期中)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x。
(1)求f(x)的解析式,并画出f(x)的图像。
答案：当x≥0时,f(x)=x2-2x。设x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。
∵函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x2-2x,
∴f(x)=x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0。
画出函数f(x)的图像如图所示。
(2)设g(x)=f(x)-k,利用图像讨论:当实数k为何值时,函数g(x)有①一个零点?②两个零点?③三个零点?
答案：由g(x)=f(x)-k=0可得f(x)=k,结合(1)中函数的图像可知:
①当k<-1或k>1时,y=k与y=f(x)的图像有一个交点,即函数g(x)=f(x)-k有一个零点;
②当k=-1或k=1时,y=k与y=f(x)的图像有两个交点,即函数g(x)=f(x)-k有两个零点;
③当-1
考点1 一次、二次函数的零点的含参问题
1.(2019·广东仲元中学高一上期末考试)若二次函数y=x2+2x+k+3有两个不同的零点,则k的取值范围是( )。
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
答案：B
解析：Δ=4-4(k+3)>0,解得k<-2。故选B。
2.(2019·甘肃兰州铁一中期末考试)若a
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
答案：A
解析：由于f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,因此f(x)的两个零点分别在区间(a,b)和(b,c)内,故选A。
3.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)+c,若a-b22 >c,则函数f(x)的零点( )。
A.不存在 B.有且只有一个
C.一定有两个 D.个数不确定
答案：C
解析：令g(x)=(x-a)(x-b),则其图像是顶点坐标为a+b2,-a-b22的抛物线,而f(x)=g(x)+c,且a-b22>c,故f(x)的图像的顶点仍然位于x轴的下方,所以f(x)一定有两个零点,故选C。
4.(2019·四川成都双流中学高一期中)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数,若方程 f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有一个解,则实数λ的值是( )。
A.12 B.18 C.-78 D.-38
答案：C
解析：∵f(2x2+1)+f(λ-x)=0,∴由f(x)为奇函数得f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),∴由题可知方程2x2+1=x-λ有唯一解,即2x2-x+1=-λ有唯一解。又2x2-x+1=2x-142+78,∴-λ=78,∴λ=-78。
5.(2019·江苏盐城盐阜中学高一期中)若函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是( )。
A.-a>1 B.a<1
C.a<-1或a>1 D.-1
解析：函数f(x)=ax+1在区间(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)·f(1)<0,即(1-a)·(1+a)<0,解得a<-1或a>1,故选C。
6.(2019·湖南益阳高一期中)已知函数f(x)=x+2,x>a,x2+5x+2,x≤a,若方程f(x)-2x=0恰有三个不同的实根,则实数a的取值范围是( )。
A.[-1,1) B.[-1,2)
C.[-2,2) D.[0,2]
答案：B
解析：令g(x)=f(x)-2x,则由题意可得函数g(x)=-x+2,x>a,x2+3x+2,x≤a恰有三个不同的零点。如图,结合函数y=-x+2与y=x2+3x+2的图像可知-1≤a<2,故选B。
7.已知函数f(x)=ax2-5x+2a+3的一个零点为0,则f(x)的单调递增区间为 。
答案：-∞,-53
解析：由已知,得f(0)=2a+3=0,∴a=-32,∴f(x)=-32x2-5x,∴f(x)的单调递增区间为-∞,-53。
8.已知关于x的方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个零点为x1,x2,且满足x2<32
解析：令f(x)=x2-(2m-8)x+m2-16。要使方程x2-(2m-8)x+m2-16=0的两个实根x1,x2满足x2<32
答案：0或-14
解析：当a=0时,f(x)只有一个零点x=-1;当a≠0时,由Δ=1+4a=0,得a=-14。
10.函数f(x)=ax2-2x+1,若y=f(x)在区间-12,12上有零点,则实数a的取值范围为 。
答案：(-∞,0]
解析：当x=0时,f(0)=1;当x≠0时,方程ax2-2x+1=0可化为a=-1x2+2x=-1x-12+1,由题意可得1x∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以可以求得a≤0。
11.(2019·湖南娄底高一第一次段考)已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且f(x)的最小值是-1,函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称。
(1)求f(x)和g(x)的解析式;
答案：依题意,设f(x)=ax(x+2)(a>0),图像的对称轴是直线x=-1,
∴f(-1)=-a=-1,∴a=1,∴f(x)=x2+2x。
∵函数g(x)与f(x)的图像关于原点对称,
∴g(x)=-x2+2x。
(2)若h(x)=f(x)-λg(x)在区间[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围。
答案：由(1)得h(x)=x2+2x-λ(-x2+2x)=(λ+1)x2+2(1-λ)x,
①当λ=-1时,h(x)=4x满足在区间[-1,1]上是增函数;
②当λ<-1时,h(x)图像的对称轴是直线x=λ-1λ+1,则λ-1λ+1≥1,又∵λ<-1,∴解得λ<-1。
③当λ>-1时,有λ-1λ+1≤-1,又∵λ>-1,
∴解得-1<λ≤0。综上所述,满足条件的实数λ的取值范围是(-∞,0]。
12.已知函数f(x)=(m+6)x2+2(m-1)x+m+1恒有零点。
(1)求实数m的取值范围;
答案：当m+6=0时,函数f(x)=-14x-5,显然有零点;当m+6≠0时,由Δ=4(m-1)2-4(m+6)·(m+1)=-36m-20≥0,得m≤-59,∴当m≤-59,且m≠-6时,函数f(x)有零点。
综上,实数m的取值范围为-∞,-59。
(2)若函数有两个不同的零点,且其倒数之和为-4,求实数m的值。
答案：由题目条件可知m+6≠0,设x1,x2(x1≠x2)是函数f(x)的两个零点,则有x1+x2=-2(m-1)m+6,x1x2=m+1m+6。
∵1x1+1x2=-4,即x1+x2x1x2=-4,
∴-2(m-1)m+1=-4,解得m=-3。
又当m=-3时,Δ>0,符合题意,∴m=-3。
考点2 常见非一、二次函数的零点含参问题
13.设a是函数f(x)=2x-log12x的零点,若x0>a,则f(x0)的值满足( )。
A.f(x0)=0 B.f(x0)<0
C.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确定
答案：C
解析：∵函数y=2x和y=log2x在(0,+∞)上均为增函数,∴f(x)=2x-log12x=2x+log2x在(0,+∞)上为增函数。又∵a是函数f(x)=2x+log2x的零点,∴f(a)=0,∴当x0>a时,f(x0)>0,故选
14.(2019·重庆綦江高一期末联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为( )。
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,3) D.(1,3)
答案：A
解析：∵函数f(x)=|2x-1|,x≤2,3x-1,x>2,∴作出函数f(x)的图像如图所示。方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,等价于函数y=f(x)的图像与直线y=a有三个不同的交点。根据图像可知,当0
15.(2019·江西新余一中高一月考)设f(x)=|x-1|(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是( )。
A.1
解析：因为f(x)=|x-1|(x+1)-x=-x2-x+1,x≤1,x2-x-1,x>1,故函数f(x)的图像如图所示,由图可知:当-1
16.(2019·河北邢台二中高一月考)若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 。
答案：(1,+∞)
解析：由f(x)=ax-x-a=0,可得ax=x+a,设y1=ax,y2=x+a,由题意可知,两函数的图像有两个不同的交点,分两种情况:①当0
17.若方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解,则所有满足条件的k值的和为 。
答案：-1
解析：令y=lg|x|,y=-|x|+5,画出两函数的图像。
两个函数都是偶函数,所以函数图像的交点关于y轴对称,因而方程lg|x|=-|x|+5在区间(k,k+1)(k∈Z)上有解,一根位于(-5,-4)内,另一根位于(4,5)内,k的值为-5和4,则所有满足条件的k值的和为-1。
18.(2019·江苏丹阳高级中学高一期中)已知函数f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2,若关于x的方程f(x)=m有两个不同的实根,则实数m的取值范围是 。
答案：(1,+∞)
解析：由题意作出函数f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2的图像,如图所示。
则关于x的方程f(x)=m有两个不同的实根等价于函数f(x)=22-x,x<2,log3(x+1),x≥2的图像与直线y=m有两个不同的交点,由图像可知当m∈(1,+∞)时,满足题意,故答案为(1,+∞)。
19.对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=a,a-b≤1,b,a-b>1,设函数f(x)=(x2-2)*(x-1),x∈R,若方程f(x)=c恰有两个不同的解,则实数c的取值范围是 。
答案：(-2,-1]∪(1,2]
解析：由题意知f(x)=x2-2,-1≤x≤2,x-1,x<-1或x>2,画出f(x)的图像(图略),数形结合可得实数c的取值范围是(-2,-1]∪(1,2]。
20.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1。
(1)当a=1时,求函数f(x)的零点;
答案：当a=1时,f(x)=2·4x-2x-1。
令f(x)=0,即2·(2x)2-2x-1=0,
解得2x=1或2x=-12(舍)。
所以x=0。所以函数f(x)的零点为0。
(2)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围。
答案：若f(x)有零点,则方程2a·4x-2x-1=0有解。于是2a=2x+14x=12x+14x=12x+122-14。
因为12x>0,所以2a>14-14=0,即a>0。
故实数a的取值范围为(0,+∞)。
考点3 一元二次方程根的分布问题
21.(2019·四川成都第七中学高一期中)若方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(0,2)内,则m的取值范围是( )。
A.53,5
B.-73,5
C.-∞,53∪(5,+∞)
D.-∞,53
答案：B
解析：设f(x)=4x2+(m-2)x+m-5。
∵方程4x2+(m-2)x+m-5=0的一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(0,2)内,∴f(-1)>0,f(0)<0,f(2)>0,即4-(m-2)+m-5>0,m-5<0,16+2(m-2)+m-5>0,解得-73
答案：(-2,1)
解析：由(x1-1)(x2-1)<0,得方程有一根比1大,另一根比1小,令f(x)=x2+(a2-1)x+a-2,则只需f(1)<0,求得-2
答案：-12
答案：解:因为二次函数f(x)=-x2+2ax+4a+1的图像开口向下,且在区间(-∞,-1),(3,+∞)内各有一个零点,所以f(-1)>0,f(3)>0,即-(-1)2-2a+4a+1>0,-32+2a×3+4a+1>0,
即2a>0,10a-8>0,解得a>45。
考点4 函数的零点在函数中的应用
25.已知函数f(x)=4x-4,x≤1,x2-4x+3,x>1,g(x)=ln x,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为( )。
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：由题意得,函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与函数y=g(x)图像的交点个数,分别作出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像,如图所示,可得两函数的图像有3个不同的交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为3,故选C。
26.(复旦大学自主选拔录取申请资格测试)设函数y=f(x)对一切实数x均满足f(5+x)=f(5-x),且方程f(x)=0恰好有六个不同的实根,则这六个实根的和为( )。
A.10 B.12 C.18 D.30
答案：D
解析：由f(5+x)=f(5-x)可推断函数y=f(x)的图像关于x=5对称,所以六个根也关于x=5对称,其和为5×6=30,故选D。
27.对于函数f(x),若存在x0,使f(x0)=x0成立,则称x0为函数f(x)的不动点,已知f(x)=x2+bx+c。
(1)若f(x)的两个不动点为-3,2,求函数f(x)的零点;
答案：由题意知f(x)=x有两根,即x2+(b-1)x+c=0有两根,分别为-3,2。
∴-3+2=-(b-1),-3×2=c,∴b=2,c=-6。
从而f(x)=x2+2x-6。
令f(x)=0,得x1=-1-7,x2=-1+7。
故f(x)的零点为-1±7。
(2)当c=14b2时,函数f(x)没有不动点,求实数b的取值范围。
答案：若c=b24,则f(x)=x2+bx+b24,
又f(x)无不动点,即方程x2+bx+b24=x无解,
化简得方程x2+(b-1)x+b24=0无解,
∴Δ=(b-1)2-b2<0,即-2b+1<0,
∴b>12。故b的取值范围是12,+∞。
28.(2019·广东仲元中学高一期中)已知函数f(x)=ax2-2x+1+b在x=1处取得最小值0。
(1)求a,b的值。
答案：当a=0时,f(x)=-2x+1-b,无最小值,不合题意;当a≠0时,f(x)=ax-1a2-1a+1+b,由题意得a>0,1a=1,-1a+1+b=0,解得a=1,b=0。
(2)设g(x)=f(x)x,
①求函数y=g(|2x-1|),x∈12,2的最值及取得最值时x的值;
②是否存在实数k,使关于x的方程g(|2x-1|)+k2|2x-1|-3=0在(-∞,0)∪(0,+∞)上恰有一个实数解?若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由。
答案：由(1)可知g(x)=x+1x-2,
①令t=|2x-1|,x∈12,2,则t∈[2-1,3]。
因为g(t)=t+1t-2在[2-1,1]上单调递减,在[1,3]上单调递增,所以ymin=g(1)=0,此时x=1。
因为g(2-1)=22-2,g(3)=43,
所以g(2-1)
②令t=|2x-1|,则t∈(0,+∞),当t∈(0,1)时,对应x有2个解;当t∈[1,+∞)时,对应x有唯一解。则t+1t-2+k2t-3=0,
即t2-(2+3k)t+2k+1=0。(*)
若方程(*)有两个相等的大于等于1的根,
则Δ=(2+3k)2-4(2k+1)=0,2+3k≥2,解得k=0;
若方程(*)有两个根t1,t2,t1≥1,t2≤0,
则2k+1≤0,1-(2+3k)+2k+1≤0,无解。
综上所述,存在这样的k且k=0。
第3课时 用二分法求方程的近似解
考点1 二分法概念的理解
1.(2019·山西太原五中高一期末)用二分法求函数f(x)在区间[a,b]内的零点时,需要的条件是( )。
①f(x)在区间[a,b]是连续不断的;②f(a)·f(b)<0;③f(a)·f(b)>0;④f(a)·f(b) ≥0。
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
答案：A
解析：根据二分法定义得①②正确。
2.(2019·江西九江一中高一检测)如图4-5-3-1所示的图像表示的函数能用二分法求零点的是( )。
图4-5-3-1
答案：C
解析：对于选项A,图像与x轴无交点,不能用二分法求零点;对于选项B,图像与x轴有公共点,但零点两边的函数值同号,不能用二分法求零点;对于选项D,函数零点两边的函数值同号,不能用二分法求零点;故选C。
3.(2019·福建闽侯第八中学高一月考)用二分法求如图4-5-3-2所示的函数f(x)的零点时,不可能求出的零点是( )。
图4-5-3-2
A.x1 B.x2 C.x3 D.x4
答案：C
解析：由二分法的思想可知,零点x1,x2,x4左右两侧的函数值符号相反,即存在区间[a,b],使得f(a)·f(b)<0,故x1,x2,x4可以用二分法求解,但x3∈[a,b]时,均有f(a)·f(b)≥0,故不可以用二分法求该零点。
4.(2019·云南玉溪一中高一期中)下列关于二分法的叙述,正确的是( )。
A.用二分法可以求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字
C.二分法无规律可循,无法在计算机上进行
D.二分法只用于求方程的近似解
答案：B
解析：根据“二分法”求函数零点的方法要求,用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后任一数字,故选B。
5.(2019·浙江海盐高级中学高一期中)以下每个图像表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是( )。
图4-5-3-3
答案：C
解析：根据二分法的思想,函数f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断,且f(a)·f(b)<0,即函数的零点是变号零点,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值。对各图像分析可知,A,B,D都符合条件,而选项C不符合。因为C中图像所表示的函数零点两侧的函数值同号,因此不能用二分法求函数零点。
6.(2019·山东济南一中高一期中)下列函数零点不能用二分法求解的是( )。
A.f(x)=x3-1 B.f(x)=ln x+3
C.f(x)=x2+22 x+2 D.f(x)=-x2+4x-1
答案：C
解析：对于C,f(x)=(x+2)2≥0,不能用二分法求解函数零点。
7.(2019·黑龙江大庆一中高一月考)若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是 。
答案：b-a2n<0.001
解析：经过1次取中点后,区间长度为|a-b|2,则经过n次取中点后区间长度为|a-b|2n,因为精确度为0.001,即|a-b|2n<0.001。又b>a,∴b-a2n<0.001。
8.(2019·云南昆明官渡一中高一期中)若函数f(x)=(a+2)·x2+2ax+1有零点,但不能用二分法求其零点,则a的值为 。
答案：2或-1
解析：由题意知,对于方程(a+2)x2+2ax+1=0,Δ=4a2-4(a+2)=0,解得a=2或a=-1。
考点2 用二分法求方程的近似解
9.(2019·吉林长春外国语学校高一期中)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )。
A.(0,0.5),f(0.125) B.(0.5,1),f(0.25)
C.(0.5,1),f(0.75) D.(0,0.5),f(0.25)
答案：D
解析：因为f(1)=1+8-1=8>0,且f(0)<0,f(0.5)>0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值为f(0.25)。故选D。
10.(2019·湖南益阳桃江一中高一期中)用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表:
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
-0.360 4
-0.998 9
则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )。
A.1.125 B.1.312 5
C.1.437 5 D.1.468 75
答案：B
解析：因为f(1.25)·f(1.375)<0,所以根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异。又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解,故选B。
11.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度可达到0.1,则需要将此区间分( )。
A.2次 B.3次
C.4次 D.5次
答案：D
解析：等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062 5<0.1,符合题意,故选D。
12.(2019·四川绵阳南山中学高一期中)用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈(1,2)内近似根的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )内。
A.(1,1.25) B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2) D.不能确定
答案：B
解析：∵f(1.25)<0,f(1.5)>0,
∴f(1.25)·f(1.5)<0,从而根落在区间(1.25,1.5)内。
13.(2019·湖北宜昌葛洲坝中学高一期中)用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点x0=52,那么下一个有根的区间是 。
答案：2,52
解析：令f(x)=x3-2x-5。
因为f(2)=23-4-5=-1<0,
f52=523-5-5=458>0,
f(3)=33-11=16>0,
故下一个有根区间为2,52。
14.(原创题)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,6)上的近似解,验证f(2)·f(6)<0,给定精确度ε=0.01,取区间(2,6)的中点x1=2+62=4。计算f(2)·f(x1)<0,则此时零点x0∈ 。(填区间)
答案：(2,4)
解析：∵f(2)·f(4)<0,∴x0∈(2,4)。
15.(2019·江西新余四中高一月考)用二分法求2x+x=4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)。参考数据如下表:
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
答案：解:令f(x)=2x+x-4,则f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0。用二分法逐次计算,列表如下:
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1=1.5
f(x1)≈0.33>0
(1,1.5)
x2=1.25
f(x2)≈-0.37<0
(1.25,1.5)
x3=1.375
f(x3)≈-0.031<0
(1.375,1.5)
—
—
∵|1.375-1.5|=0.125<0.2,
∴2x+x=4在[1,2]内的近似解可取为1.375。
16.(2019·辽宁鞍山一中高一月考)判断函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度为0.1)。
答案：解:因为f(1)=-1<0,f(1.5)=0.875>0,且函数y=x3-x-1的图像是连续的曲线,所以它在区间(1,1.5)内有零点,用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点值
中点函数近似值
(1,1.5)
1.25
-0.3
(1.25,1.5)
1.375
0.22
(1.25,1.375)
1.312 5
-0.05
(1.312 5,1.375)
—
—
由于|1.312 5-1.375|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似零点可取1.312 5。
考点3 用二分法求方程的近似解的综合问题
17.(2019·长沙调考)若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f(x)可以是( )。
A.f(x)=4x-1 B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=lnx-12
答案：A
解析：因为g14=2-32<0,g12=1>0,
所以g14·g12<0。
所以g(x)=4x+2x-2的零点x0∈14,12。
B中,f(x)=(x-1)2的零点为x=1,
则-34
所以B不是。
C中,f(x)=ex-1的零点为x=0,14
所以C不是。
D中,f(x)的零点x0=32,则-54
A中,f(x)=4x-1的零点为x=14,
则0
18.(2019·银川模块测试)已知f(x)的一个零点x0∈(2,3),用二分法求精确度为0.01的x0的近似值时,判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 。
答案：7
解析：函数f(x)的零点所在区间的长度是1,用二分法经过7次分割后区间的长度变为127<0.01。
19.(2019·西安二中单元测试)求函数y=ln x与函数y=3-x的图像的交点的横坐标。(精确度为0.1)
答案：解:求函数y=ln x与函数y=3-x的图像交点的横坐标,即求方程ln x=3-x的根。令f(x)=ln x+x-3。
因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,
所以可取初始区间为(2,3),列表如下:
区间
中点的值
中点函数近似值
(2,3)
2.5
0.416 3
(2,2.5)
2.25
0.060 9
(2,2.25)
2.125
-0.121 2
(2.125,2.25)
2.187 5
-0.029 7
(2.187 5,2.25)
—
—
由于区间(2.187 5,2.25)的长度为2.25-2.187 5=0.062 5<0.1,所以方程ln x+x-3=0在(2,3)内的一个近似根可取为2.187 5,即2.187 5可作为两函数图像交点的横坐标的一个近似值。
20.已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根。
答案：证明:∵f(1)>0,∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0。
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c。
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0。取区间[0,1]的中点12,则f12=34a+b+c=34a+(-a)=-14a<0。
∵f(0)>0,f(1)>0,∴函数f(x)在区间0,12和12,1上各有一个零点。
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在[0,1]内有两个实根。
考点4 二分法在实际问题中的应用
21.在一个风雨交加的夜里,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?
答案：解:如图。
工人师傅首先从中点C检测,用随身带的话机向两端测试,发现AC段正常,可见故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测……由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为10 0002nm,则有10 0002n≤100,即2n≥100,
又26=64,27=128,故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域。
22.(2019·黄冈中学周测)某校办工厂请了30名木工制作200把椅子和100张课桌。已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7,问30名工人如何分组(一组制作课桌,另一组制作椅子)能使任务完成最快?
答案：解:设x名工人制作课桌(1≤x≤29,x∈N),则有(30-x)名工人制作椅子,因为一名工人在一个单位时间里可制作7张课桌或10把椅子,所以制作100张课桌所需的时间P(x)=1007x,制作200把椅子所需要的时间Q(x)=20010(30-x)。若要想任务完成最快,则应求y=max{P(x),Q(x)}的最小值。该函数图像如图所示,
由图可知x0即y取最小值时x的值,此时P(x)=Q(x)。下面用二分法的知识求x0的整数值:
令f(x)=P(x)-Q(x)=1007x+20x-30,
则f(1)=1007-2029>0,f(29)=10029×7-20<0,
所以x0∈(1,29)。
取中点x1=1+292=15,f(15)≈-0.38<0,
所以x0∈(1,15)。同理可得,x0∈(8,15),
x0∈(11.5,15),x0∈(11.5,13.25),x0∈(12.375,13.25),x0∈(12.375,12.812 5)。
因为x0∈N,所以x0=12或x0=13。
当x0=12时,y=max{P(x),Q(x)}≈1.19;
当x0=13时,y=max{P(x),Q(x)}≈1.18<1.19,
所以取x0=13。即用13名工人制作课桌,17名工人制作椅子,可使任务完成最快。
第4课时 函数模型的应用
考点1 图表型实际应用问题
1.(2019·广东仲元中学高一期中)在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图4-5-4-1所示,现给出下列说法:
图4-5-4-1
①前5 min温度增加越来越快;
②前5 min温度增加越来越慢;
③5 min后温度保持匀速增加;
④5 min后温度保持不变。
其中说法正确的是( )。
A.①④ B.②④ C.②③ D.①③
答案：C
解析：前5 min,温度y随x的增加而增加,增长速度越来越慢;5 min后,温度y随x的变化曲线是直线,即温度匀速增加,所以②③正确,故选C。
2.(2019·陕西西安一中高一月考)张敏下班回家的路上,开始时和同事边走边讨论问题,走得比较慢,然后他们索性停下来将问题彻底解决,最后他快速地回到了家。下列图像中与这一过程吻合得最好的是( )。
图4-5-4-2
答案：D
解析：由远及近先慢速,然后停止,最后快速,D符合。
3.如图4-5-4-3所示的折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像,根据图像填空:
图4-5-4-3
(1)通话2分钟,需付电话费 元;
答案：3.6
解析：由题图可知,当t≤3时,电话费都是3.6元。
(2)通话5分钟,需付电话费 元;
答案：6
解析：由题图可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元。
(3)若t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为 。
答案：y=1.2t(t≥3)
解析：当t≥3时,y关于t的图像是一条直线,且经过(3,3.6)和(5,6)两点,故设函数关系式为y=kt+b,则3k+b=3.6,5k+b=6,解得k=1.2,b=0。故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y=1.2t(t≥3)。
4.如图4-5-4-4所示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数图像。有人根据函数图像,提出了关于这两个旅行者的如下信息:
图4-5-4-4
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;
②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样。
其中正确信息的序号是 。
答案：①②③
解析：看时间轴易知①正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图像是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图像是折线,所以是变速运动,因此②正确;两条曲线的交点表示骑摩托车者追上骑自行车者,且横坐标对应着4.5,故可推断出③正确,④错误。
考点2 指数、对数函数模型的应用问题
5.(2019·天津一中高一月考)2017年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元,随着我国经济的不断发展,预计该地区今后农民的人均年收入的年平均增长率为6%,那么2024年年底该地区的农民人均年收入为( )。
A.3 000×1.06×7元
B.3 000×1.067元
C.3 000×1.06×8元
D.3 000×1.068元
答案：B
解析：设经过x年,该地区农民人均年收入为y元,则依题意有y=3 000×(1+6%)x=3 000×1.06x,因为2017年年底到2024年年底经过了7年,故x=7,所以y=3 000×1.067。
6.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是( )。
A.m11 B.m12 C.12m-1 D.11m-1
答案：D
解析：设1月份的产量为a,月平均增长率为x,则12月份的产量为ma。由题意,得a(1+x)11=ma,解得x=11m -1,故选D。
7.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的质量M(千克)、火箭(除燃料外)的质量m(千克)的函数关系式是v=2 000·ln1+Mm。当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒。
答案：e6-1
解析：由题意可得2 000ln1+Mn=12 000,
∴ln1+Mm=6,∴1+Mm=e6,即Mm=e6-1。
8.(2019·湖北武汉外国语学校高一期中)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是标准地震的振幅。假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。
答案：10 000
解析：由题意,得M=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6,即此次地震的震级为6级。设9级地震的最大振幅为x,5级地震的最大振幅为y,则9=lg x+3,5=lg y+3,解得x=106,y=102,∴xy=106102=104=10 000。
9.某食品厂对蘑菇进行深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q(单位:kg)与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100 kg。
(1)求该工厂的日销售利润y(单位:元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位:元)的函数关系式;
答案：设日销售量q=kex(25≤x≤40),则ke30=100,
∴k=100e30,
∴日销售量q=100e30ex(25≤x≤40),
∴y=100e30(x-20-t)ex(25≤x≤40)。
(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的日销售利润y为100e4元?
答案：当t=5时,y=100e30(x-25)ex=100e4,则x-25=ex-26,根据函数y=x-25与y=ex-26的图像(如图所示)。
可求得方程x-25=ex-26的解为x=26,
∴当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的日销售利润为100e4元。
考点3 函数模型的比较与选择问题
10.(2019·青岛二中月考)下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是( )。
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
答案：A
解析：随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数,即一次函数模型,故选A。
11.(2019·福建厦门第一中学高一上学期期中)某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )。
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=50×2x D.y=100log2x+100
答案：C
解析：由题意,对于A中的函数,当x=3或4时,误差较大。对于B中的函数,当x=4时,误差也较大。对于C中的函数,当x=1,2,3时,误差为0,x=4时,误差为10,误差很小。对于D中的函数,当x=4时,y=300,与实际值790相差很大。综上,只有C中的函数误差最小,故选C。
12.(2019·东北三校高一联考)下表是某款车的车速与刹车后的停车距离的对应值,可用一个函数模拟刹车后的停车距离y与车速x的关系,模拟函数可用y=axn(a,n为常数,a≠0,n≠1)或y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),试从中选择模拟较好的函数模型,并根据此函数模型预测车速为120 km/h时刹车后的停车距离。
x/(km/h)
10
15
30
40
50
60
70
80
90
100
y/m
4
7
12
18
25
34
43
54
66
80
答案：解:若以y=axn(a,n为常数,a≠0,n≠1)为模拟函数,将(10,4),(40,18)分别代入函数解析式,得a·10n=4,a·40n=18,解得n≈1.085,a≈0.329,故y=0.329x1.085,
由此函数解析式计算,得车速分别为90 km/h,100 km/h时,刹车后的停车距离分别约为43.406 m,48.663 m,与实际情况相差较大。
若以y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)分别代入函数解析式,得a·102+b·10+c=4,a·402+b·40+c=18,a·602+b·60+c=34,解得a=1150,b=215,c=2,
故y=1150x2+215x+2,
由此函数解析式计算,得车速分别为90 km/h,100 km/h时,刹车后的停车距离分别为68 m,82 m,所得数据比较符合实际情况。
因此用函数y=1150x2+215x+2模拟较好。
当x=120时,y=114。
即当车速为120 km/h时,刹车后的停车距离为114 m。
13.(2019·安徽江南六校高一联考)某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表:
月投资A种商品
的金额/万元
1
2
3
4
5
6
纯利润/万元
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
月投资B种商品
的金额/万元
1
2
3
4
5
6
纯利润/万元
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才最合算。请你帮助制订一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大纯利润,并求出最大纯利润。(精确到0.1万元)
答案：解:以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,画出散点图,如图所示。
据此,可考虑用函数y=-a(x-4)2+2(a>0)①表示投资A种商品的金额与其纯利润的关系,用y=bx(b>0)②表示投资B种商品的金额与其纯利润的关系。
把x=1,y=0.65代入①式,得0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15,经检验,解析式满足题意,故所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数解析式可近似地用y=-0.15(x-4)2+2来表示。
把x=4,y=1代入②式,解得b=0.25,经检验,解析式满足题意,故所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数解析式可近似地用y=0.25x来表示。
设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA万元,xB万元,纯利润为W万元,得xA+xB=12,W=yA+yB=-0.15(xA-4)2+2+0.25xB,
即W=-0.15xA-1962+0.15×1962+2.6。
故当xA=196≈3.2时,W取得最大值,约为4.1,
此时,xB=8.8。
即下个月投入A,B两种商品的资金分别约为3.2万元,8.8万元时,可获得最大纯利润,约为4.1万元。
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