湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数课后作业题

这是一份湘教版（2019）必修 第一册3.1 函数课后作业题，共26页。试卷主要包含了0分），2]=1，[−2，【答案】C，【答案】B，【答案】ACD，【答案】AD等内容，欢迎下载使用。

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3.1.1对函数概念的再认识同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）
1. 给出四个命题： ①函数是其定义域到值域的映射； ②(x)=x−3+2−x是函数； ③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线； ④(x)=x2x与g(x)=x是同一个函数．其中正确的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知集合A={1,2},B={a,b,c},f:A→B为集合A到B的一个函数，那么该函数的值域C的不同情况共有(       )种．
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
3. 下列函数中，与函数y=x+1是同一函数的是(  )
A. y=(x+1)2 B. y=3x3+1 C. y=x2x+1 D. y=x2+1
4. 已知A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(   )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共6小题，共30.0分）
5. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足：(ⅰ)T={f(x)|x∈S}；(ⅱ)对任意x1，x2∈S，当x1 A. S=N*，T=N
B. S={x|−1≤x≤3}，T={x|x=−5或0 C. S=Z，T=Q
D. S=R，T={x|x>1}
6. 下列几个命题正确的是：(    )
①A=Q，B=Q，f：x→1x，这是一个从集合A到集合B的映射
②函数f(x)的值域是[-2,2]，则函数f(x+1)的值域为[-3,1]；
③函数 f(x)=|x|与函数g(x)=x2是同一函数； 
若a>0且a≠1，则函数f(x)=a2x-4+3的图象恒过定点(2,4)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
7. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是(   )
A. f(x)=x−1(x∈R)，g(x)=x−1(x∈N)
B. f(x)=|x|，g(x)=x2
C. f(x)=x+1⋅x−1，g(x)=x+1
D. f(x)=x2−1x−1，g(x)=x+1
8. 下列函数中，与函数y=x(x≥0)不相同的是(    )
A. y=x2x B. y=(x)2     C. y=lg10x      D. y=2log2x
9. 下列选项中同一函数的有(    )
A. f(x)=|x|，g(x)=x2
B. f(x)=|x|，g(x)=(x)2
C. f(x)=xx，g(x)=1
D. f(x)=x2+2x+1，g(t)=(t+1)2
10. 下列各组函数表示的是同一个函数的是(  )
A. f(x)=−2x3与g(x)=x·−2x
B. f(x)=|x|与g(x)=x2
C. f(x)=x+1与g(x)=x+x0
D. f(x)=xx与g(x)=x0
三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）
11. 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)A=N，B=N，f：x→y=|x−1|，表示从集合A到集合B的映射(也是函数).(    )
(2)f(x)=x2x与g(x)=x是同一个函数．(    )
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(    )
(4)若函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，则函数f(2x−1)的定义域为{x|1≤x<5}.(    )
(5)函数f(x)=x2+3+1的值域是{y|y≥1}.(    )
12. 概念思辨
(1)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2个交点．(    )
(2)函数f(x)=x2−2x与g(t)=t2−2t是同一函数．(    )
(3)若A=R，B={x|x>0}，f：x→y=|x|，其对应是从A到B的映射．(    )
(4)f(x−1)=x，则f(x)=(x+1)2(x≥−1).(    )
四、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 对于正整数k，设函数fk(x)=[kx]−k[x]，其中[a]表示不超过a的最大整数．
①则f2(23)=          ;
②设函数g(x)=f2(x)+f4(x)，则在函数g(x)的值域中所含元素的个数是          ．
14. 已知函数f(x)=，则f(1)=          ，函数y=f(x)的定义域为          
15. 定义[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]=1，[−2.4]=−3，设函数f(x)=[x−1]+[x+2]，则f−12=          ；设集合A={y|y=f(x),−1≤x≤1}，则集合A所有元素之和为          ．
16. 函数与映射的概念

函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个          
设A，B是两个          
对应关系 f:A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的          一个数x，在集合B中都有          的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的          _一个元素x，在集合B中都有          的元素y与之对应
名称
称          为从集合A到集合B的一个函数
称对应          为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应 f:A→B 是一个映射
17. 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，

则f[g(1)]的值为          ，满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是          ．
五、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
18. 若函数f(x)的定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)，则称f(x)为V型函数；若函数g(x)的定义域为R，满足对任意x∈R，g(x)>0恒成立，且对任意x1，x2∈R，有lg g(x1+x2)≤lg g(x1)+lg g(x2)，则称g(x)为对数V型函数．
(1)当函数f(x)=x2时，判断f(x)是否为V型函数，并说明理由．
(2)当函数g(x)=x2+2时，证明：g(x)是对数V型函数．
(3)若函数f(x)是V型函数，且满足对任意x∈R，有f(x)≥2，问f(x)是否为对数V型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由．







19. 若函数f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)    判断函数g(x)=x2是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)    若函数f(x)=x在定义域[m,n](m> 0)上为“依赖函数”，求m+n的取值范围；
(3)    已知函数h(x)=(x−a)2 (a≥43)在定义域43,  4上为“依赖函数”，若对任意的实数x∈43,  4，任意的t∈R，都有不等式h(x)≤t2−2t+a成立，求实数a的取值范围．







20. (1)已知A={1,2,3,k}，B={4,7,a4,a2+3a}，a∈N*，k∈N*，x∈A，y∈B，f：x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数，求a，k的值；
(2)下列各组函数中，表示同一函数的是          ．
①y=3x3与y=x2②y=x2−1x+1与y=x−1
③y=lnex与y=elnx  ④y=x0与y=1x0







21. 已知函数fx=lnx−ax2a∈R．
(1)若函数fx在区间0,1上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若直线l:y=kx+b与函数fx的图象有两个不同的交点Ax1,y1和Bx2,y2，是否存在直线l使得k=f′x1+x22？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由  . 







22. 画出定义域为{x|−3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}的一个函数的图象．
(1)将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
(2)如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足−3≤x≤8，−1≤y≤2，那么其中哪些点不能在图象上？







23. 给定数集A=R，B=(−∞,0]，方程u2+2v=0，①
(1)任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v=f(u)是否为函数;
(2)任给v∈B，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断u=g(v)是否为函数．







24. 判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由：
(1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h=130t−5t2和二次函数y=130x−5x2;
(2)f(x)=1和g(x)=x0．







25. 对于函数y=f(x)，若x0满足f(f(x0))=x0，则称x0为函数f(x)的二阶不动点，若x0满足f(f(x0))=x0，且f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的好点．
(Ⅰ)设f(x)=kx+1．
    ①当k=2时，求函数f(x)的二阶不动点，并判断它是否是函数f(x)的好点；
    ②若函数f(x)存在好点，求k的值；
(Ⅱ)若对任意实数b，函数g(x)=x 2+bx+c都存在好点，求实数c的取值范围．







答案和解析
1.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查函数、映射及相等函数的概念、函数的图象，逐一判断即可．
本题考查了函数的定义及其性质，属于基础题．
【解答】
解：①函数是其定义域到值域的映射，正确；
②由x−3≥02−x≥0，解得x≥3x≤2，所以定义域为空集，故f(x)不是函数；
③函数y=2x(x∈N)的图象是离散的点，故不正确；
④函数f(x)=x2x 与gx=x的定义域不同，不是同一函数，故不正确．
故选A．
  
2.【答案】C

【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的定义，函数的值域，属于基础题．
根据函数的定义，分析出所有情况即可．
【解答】
解：因为集合A={1,2}，B={a,b,c}，f：A→B为集合A到B的一个函数，
所以值域C有可能是{a}、{b}、{c}、{a,b}、{a,c}、{b,c}共6种情况．
故选：C．
  
3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，属于基础题．
根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．
【解答】
解：对于A，函数y=(x+1)2的定义域为{x|x≥−1}，与函数y=x+1的定义域不同，不是相同函数；
对于B，定义域和对应法则分别对应相同，是相同函数；
对于C，函数y=x2x+1的定义域为{x|x≠0}，与函数y=x+1的定义域R不同，不是相同函数；
对于D，y=x+1，定义域相同，但对应法则不同，不是相同函数．
故选B．
  
4.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查函数的概念和定义域、值域，属于基础题．
由题意结合函数的概念逐个选项进行分析即可．
【解答】
解：A是函数图象，其值域为[0,2]，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为[0,2]，值域为[1,2]，故符合题意；
C是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意；
D是函数图象，值域为{1,2}，故不符合题意．
故选B．
  
5.【答案】ABD

【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的基本概念，理解新定义并根据题意构造恰当的函数，是解题的关键．
根据新定义，进行逐项判断即可．
【解答】
解：对于A选项，令f(x)=x−1，满足(ⅰ)(ⅱ)，故A符合题意；
对于B选项，令f(x)=−5,(x=−1)52x+52,(−1 对于C选项，因为任意一个有理数都可以写成ab(a,b∈Z)的形式，
所以假设f(0)=mn(m,n∈Z),f(1)=m′n′(m′,n′∈Z),mn 因为任何两个有理数之间都有无穷多个有理数，
所以必存在t∈(mn,m′n′)，根据条件(ⅰ)(ⅱ)，应当存在相应的整数x与之对应，并且0 对于选项D，取f(x)=2x+1，满足(ⅰ)(ⅱ)，故D符合题意．
故选ABD．
  
6.【答案】CD

【解析】解：当x=0时，B中不存在元素与之对应，故f不是一个从集合A到集合B的映射，故①错误；
函数f(x+1)的图象由函数f(x)的图象向左平移一个单位得到，故两个函数的值域相等，故②错误；
函数f(x)=|x|与函数g(x)=x2的定义域均为R，且g(x)=x2=|x|，故两个函数为同一函数，故③正确；
根据a>0且a≠1，函数f(x)=a2x-4+3，
令指数2x-4=0，求得x=2，f(2)=4，
可得函数的图象经过定点(2,4)，故④正确。
故答案为：C D
本题考查函数的概念及映射的概念与函数的值域求解，以及指数函数的性质，属于基础题．
 ①根据映射的定义，举出实例x=0，可判断 ①错误;
 ②根据函数图象的平移变换不改变函数的值域，可判断 ②错误;
 ③根据两个函数的定义域相等，解析式可化为一致，可判断 ③正确;
④根据指数函数的性质，令指数等于零，求得x=2，f(2)=4，，即可得函数的图象经过定点的坐标．


7.【答案】ACD

【解析】
【分析】
本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于A，fx的定义域为R，gx的定义域为N，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，因为g(x)=x2=x，f(x)=|x|，
两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为R，所以是同一函数；
对于C，由x+1⩾0x−1⩾0得fx的定义域为1,+∞,gx的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于D，由x−1≠0得fx的定义域为x|x≠1，gx的定义域为R，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
故选ACD．
  
8.【答案】ACD

【解析】
【分析】
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
解题时要依据的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，依据此标准对各选项进行分析即可．
【解答】
解：函数y=x(x≥0)的定义域是[0,+∞)，值域也是[0,+∞)，
A. y=x2x 的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，两个函数的定义域不同，A与y=x(x≥0)不是同一函数；
B. y=(x)2= x，(x⩾0)的定义域为[0,+∞)，解析式也是y=x，值域是[0,+∞)，故 B与y=x(x≥0)是同一函数；
C.y=lg10x=x的定义域为R，两个函数定义域不同，故C与y=x(x≥0)不是同一函数；
D.y=2log2x，的定义域为(0,+∞)，两个函数定义域不同，故D与y=x(x≥0)不是同一函数．
故选 ACD．
  
9.【答案】AD

【解析】
【分析】
本题考查同一函数的判断，是基础题. 
两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们为同一函数．
【解答】
解：对于A，f(x)=|x|，g(x)=x2=|x|它们的定义域相同，对应法则相同，故是同一函数， A正确;
对于B， f(x)=|x|，定义域为R，g(x)=x2，定义域为非负实数集，
它们的定义域不相同，  故不是同一函数， B错误; 
对于C，f(x)的定义域为非零实数集，常函数g(x)定义域为R，
它们的定义域不相同，  故不是同一函数， C错误; 
对于D， f(x)=x2+2x+1=(x+1)2，g(t)=(t+1)2，
两个函数的定义域相同，都是R，对应关系也相同，是同一函数;故D正确．
故选AD．
  
10.【答案】BD

【解析】
【分析】
本题考查同一函数的概念和判断，只有定义域和对应法则完全一样，才是同一函数，考查判断能力，属于中档题．
分别求出各个函数的定义域和对应法则，只有定义域和对应法则完全一样，才是同一函数，即可得到正确结论．
【解答】
解：对于A，函数f(x)=−2x3=|x|−2x与函数y=x−2x的定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数；
对于B，函数f(x)=|x| 与g(x)=x2=x定义域为R，对应法则也相同即为同一函数；
对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，函数g(x)=x+x0的定义域为{x|x∈R且x≠0}，
故f(x)=x+1与g(x)=x+x0不是同一函数；
对于D，f(x)=xx=1的定义域为{x|x≠0且x∈R}，函数g(x)=x0=1定义域为{x|x≠0且x∈R}，
则f(x)=xx与g(x)=x0的定义域与对应法则一样，故为同一函数．
故选BD．
  
11.【答案】1.√；
2.×；
3.×；
4.×；
5.×．

【解析】
1.
【分析】
本题考查的是映射的概念，根据映射概念判断即可，属于基础题．
【解答】
解：设现有两个集合A和B，如果对于A中的每一个元素，在B中都有唯一一个元素与之对应，则这种A到B的对应关系就称为映射。
故A=N，B=N，f：x→y=|x−1|，表示从集合A到集合B的映射(也是函数)正确．
故答案为√．
2.
【分析】
本题考查的是函数的概念，根据两个函数的定义域即可得出结果，属于基础题．
【解答】
解：f(x)=x2x定义域为x|x≠0，g(x)=x定义域为R，
所以f(x)=x2x与g(x)=x不是同一个函数．
故答案为×．
3.
【分析】
本题考查的是函数的概念，从函数的“三要素”进行判断，属于基础题．
【解答】
解：函数三要素：定义域，值域，对应法则．
只有三者都相等，函数才相等．
故答案为×．
4.
【分析】
本题考查的是函数的定义域，根据条件得到1≤2x−1<3，即可得出答案，属于基础题．
【解答】
解：函数f(x)的定义域为{x|1≤x<3}，
则1≤2x−1<3，解得1≤x<2．
则函数f(2x−1)的定义域为{x|1≤x<2}．
故答案为×. 
5.
【分析】
本题考查的是函数的值域，根据条件求出函数值域判断即可，属于基础题．
【解答】
解：因为x2+3≥3，
所以函数f(x)=x2+3+1的值域是{y|y≥1+3}.
故答案为×.  
12.【答案】(1)×
(2)√
(3)×
(4)√

【解析】
(1)【分析】
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
【解答】
解：根据函数的概念，对应定义域中任意一个x，有唯一的y和它对应，
若a在定义域中，反映在图象上，y=f(x)的图象与直线x=a有一个交点，
若a不在定义域中，反映在图象上，y=f(x)的图象与直线x=a没有交点，
故函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点．
故答案为×；
(2)【分析】
本题主要考查函数的基本概念，根据同一函数的基本定义即可求解．
【解答】
解：同一函数是指函数的定义域和值域都相同的函数，
函数f(x)=x2−2x与g(t)=t2−2t明显是同一函数，只是形式不同而已，
故答案为√；
(3)【分析】
本题主要考查映射的概念，根据映射的定义即可求解，属于基础题．
【解答】
解：根据映射的定义可知A=R，B={x|x>0}，f：x→y=|x|，
若x=0，则y=|x|=0，不在B中，
故其对应不是从A到B的映射．
故答案为×；
(4)【分析】
本题主要考查求函数的解析式，把函数的未知数替换即可求出答案．
【解答】
解：令t=x−1，t≥−1，
则x=t+1，
∴x=(t+1)2，t≥−1，
∴f(t)=(t+1)2(t≥−1)，
把t换成x，得f(x)=(x+1)2(x≥−1)．
故答案为√．  
13.【答案】1
4


【解析】
【分析】
本题考查了函数的新定义问题，函数的周期性，函数的值域，属于中档题．
①根据题意可得f2(23)=2×23−223，即可求解；
②设函数g(x)=f2(x)+f4(x)=[2x]+[4x]−6[x]，可得gx+1=gx，分情况讨论g(x)的取值即可求解．
【解答】
解：①f2(23)=2×23−223=1−0=1；
②设函数g(x)=f2(x)+f4(x)=[2x]−2[x]+[4x]−4[x]=[2x]+[4x]−6[x]，
故g(x+1)=2x+2+4x+4−6x+1=2+2x+4+4x−6−6x
=2x+4x−6x=g(x)，
故g(x)的周期为1，
∴当x∈[0,14)时，2x∈[0,12),4x∈[0,1)，此时g(x)=0;
当x∈[14,12)时，2x∈[12,1),4x∈[1,2)，此时g(x)=0+1−0=1;
当x∈[12,34)时，2x∈[1,32),4x∈[2,3)，此时g(x)=1+2−0=3;
当x∈[34,1)时，2x∈[32,2),4x∈[3,4)，此时g(x)=1+3−0=4;
则函数g(x)的值域为{0,1,3,4}，
故函数g(x)的值域中所含元素的个数是4，
故答案为1；4．
  
14.【答案】2   
(−∞,0)∪(0,5]   


【解析】
【分析】
本题考查了函数的定义域与求函数值的应用问题，是基础题．
根据函数f(x)的解析式求出f(1)的值，再求使解析式有意义的x的取值范围．
【解答】
解：函数f(x)=5−xx，
则f(1)=5−11=2，
令5−x≥0x≠0，
解得x⩽5且x≠0，
∴函数y=f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,5]．
故答案为：2，(−∞,0)∪(0,5]．
  
15.【答案】−1;
3


【解析】
【分析】
本题考查了函数新定义问题，函数值域求解，属于中档题．
根据新定义直接求解f(−12)，根据x取值问题求解y=f(x)的结果，即可求A．
【解答】
解：由题意可知，f(−12)=[−32]+[32]=−2+1=−1．
当−1⩽x<0时，−2⩽x−1<−1,1⩽x+2<2，则f(x)=−2+1=−1;
当0⩽x<1时，−1⩽x−1<0,2⩽x+2<3，则f(x)=−1+2=1;
当x=1时，则f(x)=0+3=3;
则A={−1,1,3}，
−1+1+3=3，
故集合A所有元素之和为3．
故答案为−1；3．  
16.【答案】非空的数集    
非空的集合 
任意 
唯一确定
  任意
唯一确定
f:A→B
f:A→B


【解析】
【分析】
本题考查了函数的概念和映射的概念，熟练掌握概念就能解决．
【解答】
解：根据概念有

函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合 
对应关系f:A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应 f:A→B 是一个映射
故答案为非空的数集，非空的集合，任意，唯一确定，任意，唯一确定，f:A→B，f:A→B．
  
17.【答案】1
2


【解析】
【分析】
本题考查函数的表示法，求函数值．
按照由内到外的原则计算，即可得到答案．
【解答】
解：因为f(g(1))=f(3)=1，
又f(g(2))=f(2)=3，
f(g(3))=f(1)=1，
g(f(1))=g(1)=3，
g(f(2))=g(3)=1，
g(f(3))=g(1)=3，
满足f(g(x))>g(f(x))的x值只有2．
故答案为1；2．
  
18.【答案】解：(1)∵f(x)=x2，
∴fx1+x2−fx1+fx2=x1+x22−(x12+x22)=2x1x2
当x1，x2同号时，不满足f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)，
∴f(x)不是V型函数．
(2)∵g(x)=x2+2>0恒成立，
∴要证对任意x1，x2∈R，lg g(x1+x2)≤lg g(x1)+lg g(x2)，
即证对任意x1，x2∈R，lg(x1+x2)2+2≤lg(x12+2)+lg(x22+2) ，
即证对任意x1，x2∈R，(x1+x2)2+2≤(x12+2)(x22+2)．
∵(x12+2)(x22+2)−[(x1+x2)2+2]=x12x22+(x1−x2)2+2≥0
∴g(x)是对数V型函数．
(3)f(x)是对数V型函数．证明如下：
∵f(x)是V型函数，
∴对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2).
又对任意x∈R，有f(x)≥2，
∴1f(x1)+1f(x2)≤1，
∴0 ∴f(x1+x2)≤f(x1)f(x2)，
∴lgf(x1+x2)≤lg[f(x1)·f(x2)]=lgf(x1)+lgf(x2)，
∴f(x)是对数V型函数．


【解析】本题考查了函数的概念以及函数的定义域和值域，是一道难题．
  (1)，(2)根据定义进行证明；
(3)根据f(x)是V型函数，结合定义有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2).又对任意x∈R，有f(x)≥2，可以得到1f(x1)+1f(x2)≤1，从而得到f(x1+x2)≤f(x1)f(x2)，两边取对数，结合对数V型函数定义即可证明结论。

19.【答案】解：(1)对于函数g(x)=x2的定义域R内存在x1=0，gx1=0，则g(x2)无解，
故g(x)=x2不是“依赖函数”；
(2)因为fx=x在[m,n]递增，
故f(m)f(n)=1，即mn=1，则m=1n，
由n>m>0，故n>m=1n>0，得n>1，
从而m+n=1n+n在n∈1,+∞上单调递增，
故m+n∈2,+∞;
(3)①若43⩽a⩽4，故h(x)=(x-a)2在43,4上最小值0，
此时不存在x2满足条件，舍去；
若a>4，则h(x)=(x-a)2在43,4上单调递减，
从而h(43)⋅h(4)=1，即43-a2·4-a2=1，
即a-43·a-4=1，解得a=1 (舍)或a=133，
因为对任意的实数x∈[43,4]，任意的t∈R，都有不等式hx≤t2-2t+a，
即h(x)max≤(t2-2t+a)min，
当x=43时，h(x)max=9；
当t=1,(t2-2t+a)min=a-1
所以9≤a-1，则a≥10．

【解析】本题考查了函数的定义以及函数的定义域和值域以及不等式恒成立，属于较难题．
(1)根据依赖函数的定义进行判断；
(2)根据已知条件把m+n用n表示，根据函数的单调性求m+n的取值范围；
(3)h(x)max≤(t2-2t+a)min，转化为求最值，从而求出a的取值范围．

20.【答案】【解】(1)(定义法)由对应法则1→4，2→7，3→10，又k→3k+1，故a2+3a=10(a4=10舍去)，解得a=2或a=−5(舍去)，故3k+1=a4=16，解得k=5.∴a=2，k=5．
(2)①由y=3x3与y=x2化简为y=x与y=x，两个函数的对应法则不相同，∴不表示同一函数．
②y=x2−1x+1的定义域为{x|x≠−1}，y=x−1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．
③y=lnex的定义域为R，y=elnx的定义域为x|x>0，两个函数的定义域不相同，∴不表示同一函数．
④y=x0与y=1x0的定义域、对应法则完全相同，∴表示同一函数．故应填④．


【解析】(1)定义是解题的重要依据，它有双重功能：一是判定；二是性质．要判定一个对应是不是从定义域A到值域B的一个函数，就要看其是否满足函数的定义，反之亦然；
(2)函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数，而定义域、值域和对应法则中有一个不同就不是同一函数．


21.【答案】解：
(1)函数f(x)的定义域为0,+∞，
其导函数为f′(x)=1−2ax2x，
若函数f(x)在区间0,1上单调递增，则当0 (2)不存在直线l使得k=f′x1+x22;
理由：假设存在，
由题意可知y1=lnx1−ax12，y2=lnx2−ax22，x1≠x2，
k=y2−y1x2−x1=lnx2−lnx1x2−x1−ax2+x1，f′x1+x22=2x1+x2−ax1+x2;
因为k=f′x2+x12，即2x1+x2−ax1+x2=lnx2−lnx1x2−x1−ax2+x1;
所以lnx2−lnx1x2−x1=2x2+x1，即lnx1x2=2x1x2−1x1x2+1，
令t=x1x2t>0,t≠1，则上式化为lnt=2−4t+1;
构造Ft=lnt+4t+1−2，
则F′t=1t−4t+12=t−12tt+12，
显然，Ft在0,1和1,+∞上都单调递增，
又因为F1=0，所以方程lnt=2−4t+1t>0,t≠1无解;
综上，不存在直线l使得k=f′x1+x22．


【解析】本题考查了函数单调性，值域和定义域及单调区间即指数函数与对数函数的综合应用，属于困难题．
(1)对其原函数求导，在通过求导判断其单调性从而进行解答；
(2)先假设存在，由题意可知y1=lnx1−ax12，y2=lnx2−ax22，x1≠x2，k=y2−y1x2−x1=lnx2−lnx1x2−x1−ax2+x1，f′x1+x22=2x1+x2−ax1+x2，然后进行函数的构造，然后又求导，根据其单调性判断是否存在．

22.【答案】解：(1)满足条件的一个函数图像如图：

(2)∵函数定义域为{x|−3≤x≤8，且x≠5}，值域为{y|−1≤y≤2,y≠0}，
∴点(x,0)和(5,y)，即纵坐标为0或横坐标为5的所有点不能在图象上．

【解析】本题考查函数的概念、图像以及定义域和值域，属基础题．
(1)根据函数的定义域和值域，画出一个满足条件的图像即可．
(2)由函数的定义域和值域可知，纵坐标为0或横坐标为5的所有点不能在图象上．

23.【答案】解：(1)由u2+2v=0得，v=−u22，
任给u∈A=R，对应关系v=f(u)=−u22∈(−∞,0]，是函数；
 (2)任给v∈B=(−∞,0]，对应关系u=g(v)=±−2v，对于v的小于0的值有2个值相对应，不是函数．

【解析】本题考查函数的概念的应用，属于基础题．
(1)由函数的定义，对于x的每有一个值，y都有唯一确定的值与它相对应，进行判断即可；
(2)由函数的定义，对于x的每有一个值，y都有唯一确定的值与它相对应，进行判断即可．

24.【答案】解：(1)不是同一函数，
因为前者的定义域是{t|0≤t≤26}，后者的定义域是R，故不是同一函数；
(2)不是同一函数，
因为前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≠0}，故不是同一函数

【解析】本题考查判断两个函数是否为同一函数，属于基础题．
(1)根据函数的定义进行判断即可；
(2)根据函数的定义进行判断即可．

25.【答案】解：(Ⅰ)①当k=2时，f(x)=2x+1，f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3，
由4x+3=x得：x=−1，即−1为函数f(x)的二阶不动点，
此时f(−1)=−1，∴−1不是函数f(x)的好点．
②因为f(x)=kx+1，所以f(f(x))=k2x+k+1，
令f(f(x))=x，则k2x+k+1=x，即(k2−1)x+k+1=0……(*)
当k=1时，方程(*)无解，此时函数f(x)不存在好点；
当k=−1时，方程(*)有无数解，即f(f(x))=x恒成立，
此时由f(x)=−x+1=x可得x=12，
∴x≠12时，f(f(x))≠x，但fx≠x，∴函数f(x)存在好点；
当x≠±1时，方程(*)的解为：x=11−k，∴ff11−k=11−k，
由于f11−k=k×11−k+1=11−k，所以此时f(x)不存在好点，
综上可知：若函数f(x)存在好点，则k=−1．
(Ⅱ)若x1为函数g(x)的好点，则ggx1=x1，且gx1≠x1，
设gx1=x2≠x1，则gx2=x1gx1=x2，即x22+bx2+c=x1x12+bx1+c=x2……(**)
相减得：x22−x12+bx2−bx1=x1−x2，即x2−x1x1+x2+b+1=0，
∵x1≠x2，∴x1+x2+b+1=0……(***)
由(**)和(***)得：x22+bx2+c=−x2−b−1x12+bx1+c=−x1−b−1,
即x22+(b+1)x2+b+c+1=0x12+(b+1)x1+b+c+1=0,
∴x1和x2是方程x2+(b+1)x+b+c=1=0的两个不同的根，
∴△1=b+12−4b+c+1>0，即b2−2b−4c−3>0对任意实数b均成立，
∴△2=4−4−4c−3=16c+16<0，即c<−1．
∴对任意实数b，函数g(x)=x2+bx+c都存在好点时c的取值范围为(−∞,−1)．

【解析】本题以二阶不动点和好点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和好点的概念是解答的关键．
(1)①当k=2时，f(x)=2x+1，结合二阶不动点和好点的定义，可得答案； 
②由好点的定义，结合f(x)=kx+1，可求出满足条件的k值； 
(2)若对任意实数b，函数g(x)=x2+bx+c都存在好点，则函数g(x)=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．