高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数一课一练

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册4.2 指数函数一课一练，共19页。试卷主要包含了0分），【答案】A，【答案】D，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

湘教版（2019）高中数学必修第一册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
若32+2x−3x2+x>142+2x−14x2+x，则x的取值范围是( )
A. (−1,2)B. (−2,1)
C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
设a=lg73，b=lg137，c=30.7，则a，b，c的大小关系是( )
A. a科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg3≈0.4771，lg2≈0.3010)
A. 16B. 17C. 24D. 25
函数fx=2x3+3x2+1x≤0eaxx>0在[−2,3]上的最大值为2，则实数a的取值范围是( )
A. [13ln2,+∞)B. [0,13ln2]C. (−∞,0]D. (−∞,13ln2]
设a=lg213，b=123，c=312，则( )
A. c已知实数a，b满足等式(12)a=(13)b，给出下列五个关系式：①0A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
若不等式(12)x2−2ax<23x+a2恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (0,-1)B. (34,+∞)C. (0,34)D. (-∞,34)
若0A. 3y<3xB. y3设a>1，则、0.2a、a0.2的大小关系是( )
A. 0.2aC. lg0.2a已知集合A={x|x2−4x+3<0}，B={x|4x>8}，则A∩B=
A. (1,32)B. (32,3)C. (2,3)D. (1,3)
不等式的解集是( )
A. {x|x>2}B. {x|x<2}C. {x|x>3}D. {x|x<3}
不等式2x-1>4的解集是( )
A. {x|x>2}B. {x|x<2}C. {x|x>3}D. {x|x<3}
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
不等式3x2+x−2<1的解集是 ；函数y=lg3 x的定义域为 ．
已知函数f(x)=2x+32x+1−x，则f(x)+f(−x)= ；满足不等式f(a)+f(1−2a)>4的实数a的取值范围为 ．
(1)函数y=lg2x−2的定义域是 ．
(2)函数f(x)=lg2(3x+1)的值域为 ．
太阳光通过一层普通玻璃时，其中的紫外线只会损失原来强度的110，而通过某型号的防紫外线玻璃则能将其中的紫外线过滤为原来强度的13.设太阳光中原来的紫外线的强度为k(k>0)，通过x层普通玻璃后紫外线强度为y，则y与x的之间的函数关系是y= (x∈N *).要达到上述型号的防紫外线玻璃的过滤效果，至少需要的普通玻璃层数为 ．
(参考数据：lg3≈0.477)．
比较大小：①(56)−23 1 ②0.8−2 (43)−13
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
已知函数f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)．
(1)若函数f(x)的图象过点(3,4)，求实数a的值；
(2)求关于x的不等式f(x)>a3的解集．
(1)计算：
(2)解不等式：3x2+x+1>(13)x2+x−5
已知函数f(x)=2x2+ax(a为常数，且a∈R)．
(1)若f(1)=2，求a的值;
(2)求关于x的不等式f(x)≤2a+1的解集．
已知函数f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)满足f(1)−f(2)=14．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)解不等式f(x)>0．
解不等式：a2x−1>(1a)x−2，其中a>0且a≠1．
(1)解关于x的方程：81×32x=(19)x+2;
(2)解关于x的不等式：a3x2−4x−5>a2x2−3x+1(a>0,a≠1)．
已知定义在R上的函数fx=−2x+a2x+1+2是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)解方程fx=−718；
(3)若对任意的x∈R，不等式f4x−2x+1+3+f22x+1−k2x<0恒成立，求实数k的取值范围．
已知a>0且满足不等式22a+1>25a-2．
(1)求实数a的取值范围．
(2)求不等式lga(3x+1)(3)若函数y=lga(2x−1)在区间1,3有最小值为-2，求实数a值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的性质及一元二次不等式的解法，属于中档题．
根据题意可得32+2x−(14)2+2x>3x2+x−(14)x2+x，构造函数F(t)=3t−(14)t，则F(t)为R上的单调递增函数，进而x2−x−2<0，解一元二次不等式即可．
【解答】
解：∵32+2x−3x2+x>142+2x−14x2+x，
∴32+2x−(14)2+2x>3x2+x−(14)x2+x，
构造函数F(t)=3t−(14)t，则F(t)为R上的单调递增函数，
由32+2x−(14)2+2x>3x2+x−(14)x2+x，可得F(2+2x)>F(x2+x)，
根据F(x)在R上单调递增，得2+2x>x2+x，即x2−x−2<0，
解得x∈(−1,2)．
故选A ．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小．
【解答】
解：lg73∈0,1，lg137<0，30.7>1，
∴b故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本考查对数的运算与估算，指数函数模型的运用，不等式求解，考查了分析和运算能力，属于中档题．
根据题意，设初始长度为a，各次构造后的折线长度构成一个数列{an}，an=a⋅(43)n，ana=(43)n>100，然后解不等式即可求解．
【解答】
解：设初始长度为a，各次构造后的折线长度构成一个数列{an}，
由题知a1=43a，an+1=43an，则{an}为等比数列，
∴an=a⋅(43)n，
假设构造n次后，折线的长度大于初始线段的100倍，
即ana=(43)n>100 ，
∴n>lg43100=lg100lg4−lg3，
lg100lg4−lg3=22×0.3010−0.4771≈16
∴n≥17
故至少需要通过构造的次数是17．
故选B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分段函数求最值，涉及运用导数研究函数最值、指数函数性质及指数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
当x∈[−2,0]时，f(x)的最大值为2； 欲使得函数f(x)=2x3+3x2+1(x≤0)eax(x>0)在[−2,3]上的最大值为2，则f(x)=eax在(0,3]上的最大值小于等于2，对a的取值范围进行分类讨论即可解得．
【解答】
解：由题意，当x≤0时，f(x)=2x3+3x2+1，
得f′(x)=6x2+6x，令f′x=0得：x=−1或0，
当x∈(−1,0)时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，
当x∈(−∞,−1)时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，
故函数在[−2,0]上的最大值为f(−1)=2；
故要使函数f(x)=2x3+3x2+1(x≤0)eax(x>0)在[−2,3]上的最大值为2，
须使f(x)=eax在(0,3]上的最大值小于等于2，
在x∈(0,3]，f(x)=eax，
①当a>0时，f(x)是增函数，
所以fxmax=f3=e3a≤2，即a≤13ln2，
故0②当a<0时，f(x)为减函数，
所以fx③当a=0时，fx=1<2，满足题意，
综上，a∈(−∞,13ln2]．
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查对数函数、指数函数的性质，考查比较大小，利用函数的性质将a、b、c与0、1比较即可．
【解答】
解：a=lg21330=1，
则a故选B．

6.【答案】B
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题主要考查了指数函数单调性，以及指数函数的图象，属于基础题．
先画出函数y=12x与y=13x的图象，再讨论12a=13b时a，b的情况即可．
【解答】
解：画出函数y=12x与y=13x的图象，
当x<0时，y=12x的图象在y=13x的图象下方，
当x>0时，y=12x的图象在y=13x的图象上方，
当a<0，b<0时，若12a=13b，则a当a=b=0时，12a=13b成立，
当a>0，b>0时，若12a=13b，则a>b>0，
故①②⑤成立，③④不可能成立，
故选B．

7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式，考查指数函数的单调性，二次函数恒成立问题，中档题．
根据指数函数的单调性，将给定不等式等价转化为−x2+2ax<3x+a2恒成立，结合二次函数的图象和性质得到a的取值范围．
【解答】
解：原式变形为：2−x2+2ax<23x+a2恒成立，
∵函数y=2x是R上的单调递增函数，
∴−x2+2ax<3x+a2恒成立，
即x2−2a−3x+a2>0恒成立，
∴Δ=−2a−32−4a2<0，
解得a>34．
故选B．

8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了指数函数、对数函数、幂函数的单调性、不等式的性质，属于基础题．
利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性即可判断出结果．
【解答】
解：∵0∴3y>3x， x3(14)y．
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查指数函数，对数函数的性质应用，属于基础题．
根据指数函数，对数函数的性质得lg0.2a<0、0<0.2a<1、a0.2>1，从而求得结果．
【解答】
解：因为a>1，所以lg0.2a<0、0<0.2a<1、a0.2>1，
所以lg0.2a<0.2a故选B．

10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算，属于基础题．
可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】
解：A={x|132}；
∴A∩B=(32,3)，
故选B．
11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查指数不等式的解法，指数函数的性质的应用，属于基础题．
将不等式两边化为同底数，再利用指数函数单调性可得．
【解答】
解：不等式可化为：，
又函数y=2x为R上的增函数，
则有x−1>2，解得x>3，
故不等式的解集是{x|x>3}．
故选C．

12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查指数不等式的解法，指数函数的性质的应用，属于基础题．
将不等式两边化为同底数，再利用指数函数单调性可得．
【解答】
解：不等式2x-1>4可化为：
，
又函数y=2x为R上的增函数，
则有x−1>2，
解得x>3，
故不等式2x-1>4的解集是{x|x>3}．
故选C．

13.【答案】(−2,1)
[1,+∞)
【解析】
【分析】
本题考查指数不等式求解，考查求函数定义域的问题，属于基础题．
根据指数函数及对数函数的单调性即可求解．
【解答】
解：由不等式3x2+x−2<1可得3x2+x−2<30，
所以x2+x−2<0，解得−2所以不等式的解集为(−2,1) ；
由y=lg3 x可得x>0lg3x⩾0=lg31，解得x≥1，
故函数定义域为[1,+∞)．
故答案为(−2,1) ；[1,+∞)．

14.【答案】4
a>1
【解析】
【分析】
本题考查函数的单调性，属于中档题．
易得f(x)+f(−x)=4，又函数y=2x+32x+1−x=1+22x+1−x在R上单调递减，由f(a)+f(1−2a)>4得f(1−2a)>4−f(a)=f(−a)，利用函数的单调性即可求解．
【解答】
解：由f(x)+f(−x)=2x+32x+1+2−x+32−x+1=4(2x+1)2x+1=4，
又函数y=2x+32x+1−x=1+22x+1−x在R上单调递减，
由f(a)+f(1−2a)>4，
得f(1−2a)>4−f(a)=f(−a)，
则1−2a<−a，解得a>1，
故a的取值范围为a>1，
故答案为4；a>1．

15.【答案】[4,+∞)
(0,+∞)
【解析】
【分析】
本题考查对数函数的性质和对数不等式，涉及函数的定义域和值域，指数函数的性质，属基础题．
(1)由x>0lg2x−2⩾0即可得出答案．
(2)由3x+1>1即可得出答案．
【解答】
解：(1)为使函数y=lg2x−2有意义，则x>0lg2x−2⩾0，解得x⩾4，
所以函数y=lg2x−2的定义域是[4,+∞) ；
(2)函数f(x)=lg2(3x+1)，因为3x+1>1，所以lg23x+1>0，即f(x)的值域为0,+∞．
故答案是[4,+∞)；(0,+∞)

16.【答案】k·0.9x
11
【解析】
【分析】
本题考查函数模型应用，考查对数运算，考查运算求解能力，属于拔高题．
通过1块后强度为：0.9k，通过2块后强度为：k×(0.9)2，……，由此规律可得过x层普通玻璃后紫外线强度为y=k⋅0.9x；由题意得k⋅0.9x≤k3(k>0)，化得0.9x⩽13，求解即可．
【解答】
解：由题意通过1块后强度为：0.9k，
通过2块后强度为：k×(0.9)×(0.9)=k×(0.9)2，
…
∴经过x块后强度为：k×(0.9)x；
由题意得k⋅0.9x≤k3(k>0)，化得0.9x⩽13，
两边同时取常用对数，可得xlg0.9⩽lg13，
因为lg0.9<0，所以x⩾lg13lg0.9=−lg32lg3−1≈−0.477−0.046≈10.37，
则至少通过11块普通玻璃，
故答案为k·0.9x；11．

17.【答案】>
>
【解析】
【分析】
本题考查指数函数的单调性，属于基础题．
①可看出，(56)−23>(56)0，从而得出(56)−23>1；
②可以看出，0．8−2>1,(43)−13<1，从而得出0．8−2>(43)−13．
【解答】
解：①(56)−23>(56)0=1；
∴(56)−23>1；
②0.8−2>0.80=1，(43)−13<(43)0=1；
∴0．8−2>(43)−13．
故空1答案为>；空2答案为>．

18.【答案】解：(1)据题意，得a3−1=4，
∴a=−2或a=2．
又∵a>0，且a≠1，
∴a=2；
(2)∵f(x)>a3，
∴ax−1>a3．
又∵a>0，且a≠1，
讨论：
(i)当a>1时，x−1>3，
∴x>4；
(ii)当0∴x<4．
综上，当a>1时，关于x的不等式f(x)>a3的解集为(4,+∞)；
当0a3的解集为(−∞,4)．
【解析】本题考查了指数函数的性质，指数不等式的解法，属于中档题．
(1)代值求出函数的表达式，得出a的值即可；
(2)对a进行分类讨论解不等式即可求出．
19.【答案】(1)解：原式=(34)34×3−3+[(12)2]−12×1+0=30+(12)−1=3
(2)解：原不等式⇔3x2+x+1>3−x2−x+5
⇔x2+x+1>−x2−x+5
⇔x2+x−2>0⇒x>1或x<−2，
故原不等式的解集为(−∞,−2)∪(1,+∞)．
【解析】本题考查了指数幂运算以及指数不等式求解，属于中档题．
(1)根据指数幂运算法则即可求解．
(2)根据指数函数性质，将不等式转化为x2+x+1>−x2−x+5，即可求解．
20.【答案】解：(1)因为f(1)=2，
所以21+a=2，
所以1+a=1，解得a=0；
(2)由f(x)≤2a+1，得2x2+ax≤2a+1，
因为函数y=2x在R上单调递增，
所以x2+ax≤a+1，即x2+ax−(a+1)≤0.
对于关于x的方程x2+ax−(a+1)=0，
因为Δ=a2+4a+4=(a+2)2≥0，
所以方程x2+ax−(a+1)=0有两个实数根，
解得x1=1，x2=−(a+1)，
①当−(a+1)=1，即a=−2时，
不等式x2+ax−(a+1)≤0的解集是{1}，
②当−(a+1)>1，即a<−2时，
不等式x2+ax−(a+1)≤0的解集是[1,−(a+1)]，
③当−(a+1)<1，即a>−2时，
不等式x2+ax−(a+1)≤0的解集是[−(a+1),1]．
【解析】本题考查指数函数的性质及不等式求解，属于中档题．
(1)得到1+a=1，求解即可；
(2)由f(x)≤2a+1，得2x2+ax≤2a+1，根据指数函数的性质可得x2+ax−(a+1)≤0，进行分类讨论求解即可．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=ax−1(a>0，且a≠1)，
∴f(1)−f(2)=(a−1)−(a2−1)=a−a2．
由a−a2=14，解得a=12．
∴a的值为12．
(Ⅱ)不等式f(x)>0即(12)x−1>0，∴(12)x>1．
即(12)x>(12)0．
∵y=(12)x在(−∞,+∞)上单调递减，
∴x<0．
∴不等式f(x)>0的解集为(−∞,0)．
【解析】本题考查指数不等式以及一元二次方程的解法，属于基础题．
(Ⅰ)直接根据f(1)−f(2)=14求解即可；
(Ⅱ)结合第一问的结论以及指数函数的单调性求解不等时即可
22.【答案】解：当a>1时，由a2x−1>(1a)x−2，得a2x−1>a2−x，即2x−1>2−x，解得x>1；
当0(1a)x−2，得a2x−1>a2−x，即2x−1<2−x，解得x<1．
∴当a>1时，原不等式的解集为(1,+∞)；
当0【解析】分a>1和0本题考查指数不等式的解法，考查了指数函数的性质，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．
23.【答案】解：(1)由81×32x=(19)x+2得34×32x=(3−2)x+2,
即34+2x=3−2x−4,
从而得4+2x=−2x−4，
解得x=−2．
(2)当a>1时，指数函数y=ax在R上单调递增，
由a3x2−4x−5>a2x2−3x+1得3x2−4x−5>2x2−3x+1，
即x2−x−6>0，
得 x>3或 x<−2；
当0由a3x2−4x−5>a2x2−3x+1得3x2−4x−5<2x2−3x+1，即x2−x−6<0，
得−2 < x<3；
综上得当a>1时，解集为x|x>3或 x<−2 ;
当0【解析】(1)本题主要考查了指数方程的解法，属于基础题．
由81×32x=(19)x+2得34×32x=(3−2)x+2, 即34+2x=3−2x−4,从而得4+2x=−2x−4，解此方程即可得答案．
(2)本题考查了指数不等式的解法和指数函数单调性，属于中档题．
对a进行分类讨论，然后利用指数函数的单调性即可得答案．
24.【答案】解(1)f0=0⇒a=1，经检验a=1时，对任意x∈R，都有f−x=−fx，故a=1．
(2)由fx=−718得−2x+12x+1+2=−718，令t=2x得，−t+12t+2=−718∴t=8∴2x=8∴x=3
(3) fx=−2x+12x+1+2=1−2x22x+1=12⋅2−2x+12x+1=1222x+1−1
因为y=2x+1单调递增，所以y=22x+1−1单调递减，即fx单调递减.
f4x−2x+1+3+f22x+1−k2x<0得f4x−2x+1+3<−f22x+1−k2x
因为fx是奇函数，所以f4x−2x+1+3<−f22x+1−k2x=fk2x−22x+1
所以4x−2x+1+3>k2x−22x+1在x∈R上恒成立.
令t=2x得，t2−2t+3>kt−2t2，∴k<3t2−2t+3t
令ht=3t2−2t+3t=3t+3t−2，ht在0,1单调递减，在1,+∞单调递增．
所以htmin=h1=4∴k<4．
【解析】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．
(1)利用奇函数定义，在f(−x)=−f(x)中的运用特殊值求a的值；
(2)换元法令t=2x得，−t+12t+2=−718∴t=8∴2x=8∴x=3即可解方程，
(3)首先确定函数f(x)的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为4x−2x+1+3>k2x−22x+1在x∈R上恒成立.利用换元法得到关于t的函数，最后由函数单调行求出k的取值范围．
25.【答案】解：(1)∵22a+1>25a−2，
∴2a+1>5a−2，即3a<3，
∴a<1，
又∵a>0，
∴0(2)由(1)知0∵lga(3x+1)等价于3x+1>07−5x>03x+1>7−5x,
即x>−13x<75x>34，
∴34即不等式的解集为(34,75).
(3)∵0∴函数y=lga(2x−1)在区间[1,3]上为减函数，
∴当x=3时，y有最小值为−2，
即lga5=−2，
∴a−2=1a2=5，
解得a=55或a=−55(舍去)，
所以a=55．
【解析】本题指数函数和对数函数的性质，考查了计算能力，属于中档题．
(1)根据指数函数的单调性可得2a+1>5a−2，结合a>0即可求实数a的取值范围；
(2)根据对数函数的单调性可列出不等式组3x+1>07−5x>03x+1>7−5x，求解即可；
(3)根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出a的值．