初中数学华师大版八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试教学设计

13.3　等腰三角形

1　等腰三角形的性质(第1课时)

一、基本目标

1．了解等腰三角形、等边三角形的概念，掌握等腰三角形、等边三角形的性质，且能熟练应用其性质求角的度数.

2．理解等腰三角形“三线合一”的性质，能应用这个性质解决实际问题．

二、重难点目标

【教学重点】

1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用．

【教学难点】

等腰三角形“三线合一”的性质的理解及其应用．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P78～P81的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．

2．等腰三角形的性质：

(1)等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”)．

(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线及高互相重合(简称“三线合一”)．

(3)等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴．

3．三条边都相等的三角形是等边三角形．

4．(1)等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.

(2)等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．

【互动探索】(引发学生思考)设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．

【解答】设∠A＝x.

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝x.

∵BD＝BC，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠BCD＝2x.

∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.

∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和(差)关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小角的度数为x.

【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠BAD＝2∠DBC.

【互动探索】(引发学生思考)由∠BAD＝2∠DBC，考虑作∠BAD的平分线，即作等腰三角形的高，再根据“等角的余角相等”求解．

【证明】过点A作AE⊥BC于点E.

∵AB＝AC，

∴∠BAD＝2∠2.

∵BD⊥AC，AE⊥BC，

∴∠BDC＝∠AEC＝90°，

∴∠C＋∠DBC＝∠2＋∠C＝90°，

∴∠DBC＝∠2，

∴∠BAD＝2∠DBC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键：(1)利用等腰三角形“三线合一”作辅助线；(2)在有直角的平面几何图形中，可用“等角的余角相等”证明角相等．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．已知等腰三角形的一个角为80°，则其顶角为(　D　)

A．20° B．50°或80°

C．10° D．20°或80°

2．如图，在△ABC，AB＝AC，BC＝6 cm，AD平分∠BAC，则BD＝__3__cm.

3．在△ABC中，AB＝AC＝5，∠A＝60°，则BC＝5.

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例3】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．

【互动探索】要求∠A，需讨论∠A是等腰△ABC的顶角还是底角，再结合三角形的内角和求解．

【解答】分情况讨论：

当∠A为顶角时，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，

∴∠C＝50°，

∴∠A＝80°.

当∠C为顶角时，则∠A＝∠B.

∵∠A＋∠B＝130°，

∴∠A＝65°.

当∠B为顶角时，则∠A＝∠C.

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，

∴∠A＝∠C＝50°.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题体现了分类讨论思想．等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角．本易忽略讨论∠B是顶角还是底角．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)　

请完成本课时对应练习！

2　等腰三角形的判定(第2课时)

一、基本目标

探索等腰三角形和等边三角形的判定方法．

二、重难点目标

【教学重点】

掌握等腰三角形及等边三角形的判定方法．

【教学难点】

会运用等腰三角形及等边三角形的判定方法解决问题．

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

一、等腰三角形的判定方法

1．等腰三角形的定义：如果一个三角形有两边相等，这个三角形为等腰三角形．

2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.

 证明：作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD.

在△BAD和△CAD中，∵

∵△BAD≌△CAD，

∴AB＝AC.

3．等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边_也相等(简写成_“等角对等边”__)．

二、等边三角形的判定方法

1．等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法正确的有 __①②③___.(填序号)

①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

②等边三角形是等腰三角形的特殊情况；

③等边三角形的底角与顶角相等；

④等边三角形包括等腰三角形．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.

【互动探索】(引发学生思考)要证AB＝AC，本题不能直接连结AD证全等得到，可以考虑连结BC利用等腰三角形的性质与判定方法求证．

【证明】连结BC.

∵DB＝DC，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵∠ABD＝∠ACD，

∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴AB＝AC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要是通过连结BC，使AB、AC在同一个三角形中，通过证明它们所对的角相等，而证得这两条线段相等．

【例2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．

【互动探索】(引发学生思考)要证△CEF是等腰三角形，需证△CEF中有两边相等．由等角的余角相等可得∠ABE＝∠ACD，从而由AE是∠BAC的平分线和三角形外角的性质可得CE＝CF.

【证明】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

∴∠B＋∠BAC＝90°.

∵CD是AB边上的高，

∴∠ACD＋∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠ACD.

∵AE是∠BAC的平分线，

∴∠BAE＝∠EAC，

∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，

∴CE＝CF，

∴△CEF是等腰三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．

【例3】如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F，△OEF是等边三角形吗？为什么？

【互动探索】(引发学生思考)由OE∥AB，OF∥AC→角相等(60°)→△OEF是等边三角形．

【解答】△OEF是等边三角形．理由如下：

∵OE∥AB，OF∥AC，

∴∠B＝∠OEF，∠C＝∠OFE.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝∠C＝∠OEF＝∠OFE＝60°，

∴△OEF是等边三角形．

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”或“有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形”进行判定．

活动2　 巩固练习(学生独学)

1．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是(　D　)

A．∠C＝2∠A

B．BD＝BC

C．△ABD是等腰三角形

D．点D为线段AC的中点

2．如图，△ABC以点A旋转中心，按逆时针方向旋转60°得到△AB′C′，则△ABB′是等边三角形．

3．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．

证明：∵DE∥AC，

∴∠CAD＝∠ADE.

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠DAE，

∴∠DAE＝∠ADE.

∵AD⊥BD，

∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，

∴∠B＝∠BDE，

∴△BDE是等腰三角形．

4．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.

(1)求∠C的度数；

(2)求证：△ADE是等边三角形．

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠B＝∠C＝30°，即∠C＝30°.

(2)证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB，

∴∠ADC＝∠AEB＝60°，

∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，

∴△ADE是等边三角形．

活动3　 拓展延伸(学生对学)

【例4】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2,3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有(　　)

A．3个 B．4个

C．5个 D．6个

【互动探索】∵△AOP为等腰三角形，

∴可分三种情况讨论：

(1)当AO＝AP时，以点A为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于点O和另一点P1；

(2)当AO＝OP时，以点O为圆心，AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，即点P2、P4；

(3)当AP＝OP时，作AO的中垂线，与y轴有一个交点P3.

综上所述，符合条件的点P共有4个．故选B．

【答案】B

【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此题的关键：(1)利用分类讨论思想确定等腰三角形的顶点；(2)利用尺规作图和数形结合思想确定等腰三角形的个数．

环节3　课堂小结，当堂达标

 (学生总结，老师点评)

请完成本课时对应练习！