高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数学案及答案

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[目标] 1.记住对数的定义，会进行指数式与对数式的互化；2.记住对数的性质，会利用对数的性质解答问题．
[重点] 对数的概念及对数的性质．
[难点] 对数概念的理解及对数性质的应用．
知识点一 对数的概念
[填一填]
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
对数与指数间的关系：
当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝lgaN.
2．两种重要对数
(1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把lg10N记为lgN.
(2)自然对数：以无理数e(e＝2.718_28…)为底的对数称为自然对数，并把lgeN记为lnN.
[答一答]
1．在对数概念中，为什么规定a>0且a≠1呢？
提示：(1)若a<0，则N取某些数值时，lgaN不存在，为此规定a不能小于0.
(2)若a＝0，则当N≠0时，lgaN不存在，当N＝0时，则lgaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠0.
(3)若a＝1，当N≠1时，则lgaN不存在，当N＝1时，则lgaN有无数个值，与函数定义不符，因此，规定a≠1.
2．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)因为(－2)4＝16，所以lg(－2)16＝4.(×)
(2)对数式lg32与lg23的意义一样．(×)
(3)对数的运算实质是求幂指数．(√)
(4)等式lga1＝0对于任意实数a恒成立．(×)
知识点二 对数的基本性质
[填一填]
1．对数的性质
(1)负数和零没有对数；
(2)lga1＝0(a>0，且a≠1)；
(3)lgaa＝1(a>0，且a≠1)．
2．对数恒等式
algaN＝N.
[答一答]
3．为什么零与负数没有对数？
提示：因为x＝lgaN(a>0，且a≠1)⇔ax＝N(a>0，且a≠1)，而a>0且a≠1时，ax恒大于0，即N>0，故0和负数没有对数．
4．你知道式子algaN＝N(a>0，a≠1，N>0)为什么成立吗？
提示：此式称为对数恒等式．设ab＝N，则b＝lgaN，∴ab＝algaN＝N.
类型一 对数的意义
[例1] 求下列各式中的实数x的取值范围：
(1)lg2(x－10)；(2)lg(x－1)(x＋2)．
[分析] 根据对数的定义列出不等式(组)求解．
[解] (1)由题意有x－10>0，∴x>10，
∴实数x的取值范围是{x|x>10}．
(2)由题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2>0，,x－1>0，,x－1≠1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－2，,x>1，且x≠2，))
∴x>1，且x≠2.
∴实数x的取值范围是{x|x>1，且x≠2}．
[变式训练1] 求下列各式中实数x的取值范围：
(1)lg(2x－1)(3x＋2)；
(2)lg(x2＋1)(－3x＋8)．
解：(1)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2>0，,2x－1>0，,2x－1≠1，))解得x>eq \f(1,2)，且x≠1.
即实数x的取值范围是{x|x>eq \f(1,2)，且x≠1}．
(2)因为底数x2＋1≠1，所以x≠0.
又因为－3x＋8>0，所以x综上可知，x即实数x的取值范围是{x|x类型二 利用对数式与指数式的关系求值
[例2] 求下列各式中x的值：
(1)4x＝5·3x；(2)lg7(x＋2)＝2；
(3)lne2＝x；(4)lgx27＝eq \f(3,2)；
(5)lg0.01＝x.
[分析] 利用指数式与对数式之间的关系求解．
[解] (1)∵4x＝5·3x，∴eq \f(4x,3x)＝5，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))x＝5，∴x＝lg eq \s\d8(\f(4,3)) 5.
(2)∵lg7(x＋2)＝2，∴x＋2＝72＝49，∴x＝47.
(3)∵lne2＝x，∴ex＝e2，∴x＝2.
(4)∵lgx27＝eq \f(3,2)，∴x eq \s\up15( eq \f (3,2)) ＝27，∴x＝27 eq \s\up15( eq \f (2,3)) ＝32＝9.
(5)∵lg0.01＝x，∴10x＝0.01＝10－2，∴x＝－2.
1.lgaN＝x与ax＝Na>0，且a≠1，N>0是等价的，转化前后底数不变.
2.对于对数和对数的底数与真数三者之间，已知其中两个就可以利用对数式和指数式的互化求出第三个.
[变式训练2] 求下列各式中x的值．
(1)lg2x＝eq \f(3,2)；(2)lgx3eq \r(3)＝3；
(3)x＝lg5eq \f(1,625)；(4)lgeq \r(2)x2＝4.
解：(1)由lg2x＝eq \f(3,2)，得x＝2 eq \s\up15( eq \f (3,2)) ＝eq \r(23)＝2eq \r(2).
(2)由lgx3eq \r(3)＝3，得x3＝3eq \r(3)＝(eq \r(3))3，∴x＝eq \r(3).
(3)由x＝lg5eq \f(1,625)，得5x＝eq \f(1,625)＝5－4，∴x＝－4.
(4)由lgeq \r(2)x2＝4，得x2＝(eq \r(2))4＝4，∴x＝±2.
类型三 对数基本性质的应用
[例3] 求下列各式中x的值：
(1)lg3(lg2x)＝0；
(2)lg2(lgx)＝1；
(3)52－lg53＝x；
(4)algab·lgbc＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．
[分析] 利用lgaa＝1，lga1＝0，algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)进行求解．
[解] (1)∵lg3(lg2x)＝0，∴lg2x＝1.
∴x＝21＝2.
(2)∵lg2(lgx)＝1，∴lgx＝2.∴x＝102＝100.
(3)x＝52－lg53＝eq \f(52,5lg53)＝eq \f(25,3).
(4)x＝algab·lgbc＝(algab)lgbc＝blgbc＝c.
对数的基本性质及对数恒等式是进行对数化简、求值的重要工具，要熟记并能灵活应用.
[变式训练3] 求下列各式中的x：
(1)ln(lgx)＝1；(2)lg2(lg5x)＝0；(3)32＋lg35＝x.
解：(1)∵ln(lgx)＝1，∴lgx＝e，∴x＝10e.
(2)∵lg2(lg5x)＝0，∴lg5x＝1，∴x＝5.
(3)x＝32＋lg35＝32×3lg35＝9×5＝45.
1．把对数式m＝lgnq化为指数式是( B )
A．mn＝q B．nm＝q
C．nq＝m D．qm＝n
解析：利用对数定义得nm＝q.
2．lg3eq \f(1,81)等于( B )
A．4 B．－4
C.eq \f(1,4) D．－eq \f(1,4)
解析：lg3eq \f(1,81)＝lg33－4＝－4.
3．31＋lg3 eq \s\up15( eq \f (1,4)) ＝eq \f(3,4).
解析：31＋lg3 eq \s\up15( eq \f (1,4)) ＝3·3 lg3 eq \s\up15( eq \f (1,4)) ＝3×eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
4．lg5[lg3(lg2x)]＝0，则x eq \s\up15(－ eq \f (1,2)) ＝eq \f(\r(2),4).
解析：∵lg5[lg3(lg2x)]＝0，
∴lg3(lg2x)＝1.∴lg2x＝3.∴x＝23.
∴x eq \s\up15(－ eq \f (1,2)) ＝(23) eq \s\up15(－ eq \f (1,2)) ＝2 eq \s\up15(－ eq \f (3,2)) ＝eq \f(1,2 eq \s\up15( eq \f (3,2)) )＝eq \f(1,\r(23))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).
5．把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．
(1)5－2＝eq \f(1,25)；(2)8x＝30；(3)3x＝1；(4)lg eq \s\d8(\f(1,3)) 9＝－2；
(5)x＝lg610；(6)x＝lneq \f(1,3)；(7)3＝lgx.
解：(1)－2＝lg5eq \f(1,25)；(2)x＝lg830；(3)x＝lg31；(4)(eq \f(1,3))－2＝9；(5)6x＝10；(6)ex＝eq \f(1,3)；(7)103＝x.
——本课须掌握的三大问题
1．对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即ab＝N⇔lgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，据此可得两个常用恒等式：(1)lgaab＝b；(2)algaN＝N.
2．在关系式ax＝N中，已知a和x求N的运算称为求幂运算，而如果已知a和N求x的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算．
3．指数式与对数式的互化