高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直教案

直线、平面垂直的性质

【学习目标】

1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；

2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；

3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．

【要点梳理】

要点一：直线与平面垂直的性质

1.基本性质

文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.

符号语言：

图形语言：

2.性质定理

文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.

符号语言：

图形语言：

3．直线与平面垂直的其他性质

（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

（2）若于，，则．

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．

（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．

要点诠释：

线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化．

要点二：平面与平面垂直的性质

1．性质定理

文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

符号语言：

图形语言：

要点诠释：

面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到．这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法．

2．平面与平面垂直性质定理的推论

如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．

要点三：垂直关系的综合转化

线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：

    在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．

    垂直间的关系可按下面的口诀记忆：

    线面垂直的关键，定义来证最常见，

    判定定理也常用，它的意义要记清．

    平面之内两直线，两线交于一个点，

    面外还有一条线，垂直两线是条件．

    面面垂直要证好，原有图中去寻找，

    若是这样还不好，辅助线面是个宝．

    先作交线的垂线，面面转为线和面，

    再证一步线和线，面面垂直即可见．

    借助辅助线和面，加的时候不能乱，

    以某性质为基础，不能主观凭臆断，

    判断线和面垂直，线垂面中两交线．

    两线垂直同一面，相互平行共伸展，

    两面垂直同一线，一面平行另一面．

    要让面和面垂直，面过另面一垂线，

    面面垂直成直角，线面垂直记心间．

【典型例题】

类型一：直线与平面垂直的性质

例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）．

（1）若a，b都平行于平面，求证：AB⊥；

（2）若a，b分别垂直于平面，，且，求证：AB∥c．

【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥，可先证明线与线的平行．（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c．

证明：（1）如图（1），在内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面的交线为b＇．

∵a∥，b∥，∴a∥a＇，b∥b＇．

又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，

∴AB⊥．

（2）如图，过B作BB＇⊥，则AB⊥BB＇．

又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面．

∵b⊥，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c．

∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面．

故c∥AB．

【变式1】 设，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若⊥m，m，则⊥    B．若⊥，∥m，则m⊥

C．若∥，m，则∥m    D．若∥，m∥，则∥m

【答案】B

【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．

（1）证明：AE⊥CD；

（2）证明：PD⊥平面ABE．

【思路点拨】（1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE；
（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．

【解析】

（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．

又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，

∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．

（2）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，

由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．

由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．

又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE

【变式1】如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)求证：MN⊥CD；

(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

【解析】要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．

证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，

则，

故AMNE为平行四边形，∴  MN∥AE．

∵  AE平面PAD，MN平面PAD，

∴  MN∥平面PAD．

(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．

由(1)知，需证AE⊥AB．

∵  PA⊥平面ABCD，

∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，

∴  AB⊥平面PAD．

∴  AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴  MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．

∵  PA⊥平面ABCD，∴  PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E为PD的中点．

∴  AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，

∴  MN⊥平面PCD．

类型二：平面与平面垂直的性质

例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．

【解析】已知：，，，求证：．

证法1：如图（左），在内取一点P，作PA垂直于与的交线于A，PB垂直于与的交线于B，则PA⊥，PB⊥，

∵，∴⊥PA，⊥PB．

∵PA，PB，PA∩PB=P，

∴．

证法2：如图（右），在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，

∵，，∴，，∴m∥n．

又，∴m∥，∴m∥，∴．

证法3：如图，在上取一点A，过A作直线m，使．

∵，且，∴．

同理，∴，即与m重合．

∴．

【变式1】如图，已知ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．求证：（1）MN⊥AB；（2）若∠PAD=45°，则平面MND⊥平面PDC．

【解析】证明：（1）取AC的中点K,连接NK,MK，则NK是的中位线，

平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，

PA⊥平面ABCD．

NK⊥平面ABCD NK⊥AB

又

AB⊥平面MNK，AB⊥MN

（2）在中，

取PD的中点G，连接AG，则AG⊥PD．连接GN，

，∴ GN //AM

四边形AMNG为平行四边形．

CD⊥平面PAD，CD⊥AG．

又AG⊥PD，∴AG⊥平面PCD

∴MN⊥平面PCD，∴平面MND⊥平面PDC.

类型三：综合应用

例4．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC．

（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，

求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由．

【解析】 （1）∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．

∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥平面BB1C1C．∴AD⊥CC1．

（2）延长B1A1与BM的延长线交于N，连接C1N．

∵AM=MA1，∴NA1=A1B1．

∵A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C1，

∴C1N⊥侧面BB1C1C，∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．

（3）AM=MA1，证明如下：过M作ME⊥BC1于E，

∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C，∴ME⊥侧面BB1C1C．

又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A共面．

∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE．∴四边形ADEM为平行四边形．

∵CC1∥AM，∴DE∥CC1．

∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点．

∴，∴AM=MA1．

例5．如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：；

(Ⅲ)线段上是否存在点，使平面？说明理由．

【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化．

【解析】

(Ⅰ)因为D，E分别为AC，AB的中点，

所以DE∥BC，

又因为DE平面A1CB，

所以DE∥平面A1CB．

(Ⅱ)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，

所以DE⊥AC．

所以DE⊥A1D．DE⊥CD．

所以DE⊥平面A1DC．

而A1F平面A1DC，

所以DE⊥A1F．

又因为A1F⊥CD，

所以A1F⊥平面BCDE．

所以A1F⊥BE．

(Ⅲ)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．

又因为DE∥BC，所以DE∥PQ．

所以平面DEQ即为平面DEP．

由(Ⅱ)知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C．

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP．

所以A1C⊥平面DEP．

从而A1C⊥平面DEQ．

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．

【变式1】  如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．

    （1）求证：PA⊥平面ABC；

（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．

证明 ： （1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F．

因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC．

又PA平面PAC，所以DF⊥PA．

作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA．

又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，

所以PA⊥平面ABC．

（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）．

因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE．

又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE．

所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB．

又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，

所以AB⊥平面PAC，所以AB⊥AC，

即△ABC是直角三角形．

【变式2】 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点．

(Ⅰ)证明：//平面；

(Ⅱ)证明：平面；

【答案】（1）略（2）略

【解析】(Ⅰ)连接，．在平行四边形中，

因为为的中点，所以为的中点．

又为的中点，所以．

因为平面，平面，

所以平面．

(Ⅱ)因为°，且，

所以°，即，

又平面，平面，

所以，而，所以平面．

【变式3】如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，．求证：．

【答案】略

【解析】

   （I）取AB中点E，连结DE、SE，

∴ 四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，

∵ 侧面为等边三角形

     ∴

又∵SD=1，，

∴为直角．

又∵，

∴ AB⊥平面SDE，

∴．

    又SD与两条相交直线AB、SE都垂直．

    ∴SD⊥平面SAB．