人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第二课时教学设计

第八章 立体几何初步

8.6.2直线与平面垂直（第二课时）

一、教学目标

1.掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题；

2.理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义;

3.通过对直线与平面垂直性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.直线与平面平行的性质定理，直线到平面的距离以及两平行平面的距离；

2.能运用直线与平面垂直性质定理解决相关问题

三、教学过程：

（1）创设情景

如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？

（2）新知探究

问题1:垂直于同一个平面的两条直线平行吗?

学生回答（平行），教师点拨,(提出本节课所学内容:直线与平面平行的性质定理)

问题2:如果一条直线平行于平面,那么这条直线上所有点到平面的距离相等吗?

学生回答（相等），教师点拨,

（3）新知建构

直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

符号语言:已知：；求证：．

图形语言:

证明：假设b不平行于a,

是经过点O与直线a平行的直线。因为。

即经过同一个点O的两条直线b,c都垂直于平面，这是不可能的。因此，a//b.

作用：证明两直线平行。

直线到平面的距离:如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点

到这个平面的距离叫做这条直线的和这个平面的距离

两平行平面间的距离:如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。

（4）数学运用

例1.已知：直线l∥平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等．

变式训练1:在长方体中，M，N分别为，AB的中点，，则MN与平面的距离为（    ）

A．4 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】如图，

BC1,又平面，平面.

∴MN与平面的距离为N到面的距离.又N到平面的距离为.

∴MN与平面的距离为2.故选：C

变式训练2:在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.

【答案】2

【解析】如图

平面A BCD//平面EFGH

又平面.

平面ABCD与平面EFGH的距离为.

故答案为：2

变式训练3:已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝        .

【答案】6　

【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.

例2:如图，在三棱锥中，，，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

【答案】（1）详见解析（2）．

【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．

连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．

由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以点C到平面POM的距离为．

变式训练:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明:B1C⊥AB;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,

∴B1C⊥BO.

∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO,

∵AO∩BO=O,∴B1C⊥平面BAO,

又AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB.

(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H.

∵AO⊥平面BB1C1C,∴BC⊥AO,又BC⊥OD,AO∩OD=O,

∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,又OH⊥AD,AD∩BC=D,∴OH⊥平面ABC.

∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形,

易得OD=,

∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=.

由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.

又O为B1C的中点,∴点B1到平面ABC的距离为.

∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为.

四、小结：

直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．

符号语言:已知：；求证：．

图形语言:

作用：证明两直线平行。

直线到平面的距离:

两平行平面间的距离:

五、作业：习题8.6.2