人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第一课时教案

第八章 立体几何初步

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）

一、教学目标

1.掌握直线与平面垂直的定义并会用其判断直线与平面垂直;

2.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题;

4.掌握直线与平面垂直的判定定理并会用其进行证明;

3.通过对直线与平面垂直判定定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.直线与平面垂直的判定定理；

2.会运用直线与平面垂直的判定定理解决问题.

三、教学过程：

（1）创设情景

动手操作准备正三角形、矩形纸片各一张，分别对折后适当放开并竖立在桌面上，观察折痕与桌面有怎样的位置关系？

（2）新知探究

问题1:如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面吗？

学生回答（不一定垂直），教师点拨

问题2:如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面吗?

学生回答（垂直），教师点拨给出直线与平面垂直的定义.

问题3:大家思考一下,除了直线与平面垂直的定义外有没有比更好的方法判别直线与平面垂直?

学生回答，教师点拨,(提出本节课所学内容直线与平面垂直的判定定理)

（3）新知建构

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足．如图所示:

画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。

思考：大家都知道在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，那么将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？

学生回答(有且只有一条)，教师点拨,

思考：过一点垂直于与已知直线的平面有几个?为什么?

学生回答(有且只有一个)，教师点拨,

3.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.

线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直．

符号表示：若，则．

图形表示:

注意：面内两条相交直线

（4）数学运用

例1.求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

已知：，求证：．

变式训练1:如图，在四棱锥中，平面，，，

求证：平面；

证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.

又因为BC//AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

例2.在四棱锥中，平面ABCD，，，，.

（1）求证：平面PAD；

（2）若E是PC的中点，求直线BE与平面PAD所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】（1）证明：取的中点，连接，如图，

则//，∴四边形是平行四边形，

∴.又∵，，

，∴，

又∵，∴，

又平面，∴，

∵平面，，∴平面.

（2）取的中点，靠近点的四等分点，连接，，，如图所示，

∵//////，

∴四边形是平行四边形，∴，

∴直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.

∵平面，∴即为直线与平面所成的角.

在中，，，∴，

即直线与平面所成角的正切值为

变式训练:如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=2BC=2CD=4,PC=,△PAD是正三角形.

(1)求证:CD⊥PA;

(2)求AB与平面PCD所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；

【解析】　(1)证明:∵△PAD是正三角形,AD=2CD=4,∴PD=4,CD=2,又PC=,

∴PC2=PD2+CD2,∴CD⊥PD,

又AD⊥CD,AD∩PD=D,

∴CD⊥平面PAD,∵PA⊂平面PAD,

∴CD⊥PA.

(2)如图,取PD的中点E,连接AE,延长DC、AB交于点H,连接EH,

∵△PAD是正三角形,∴AE⊥PD,AE=,

由(1)得CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.

∵CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,

∴AE⊥平面PCD.

∴∠AHE就是AB与平面PCD所成的角,

∵AD⊥CD,BC∥AD,AD=2BC=2CD=4,∴DH=4,AH=,EH==,

∴cos∠AHE===,

∴AB与平面PCD所成角的余弦值为.

例3:如图所示，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】（I）由题意知△ABC为等腰直角三角形，

而F为BC的中点，所以AF⊥BC．

又因为平面AEDC⊥平面ABC，且∠ACD=90°，

所以DC⊥平面ABC．   

而AF⊂平面ABC，所以AF⊥DC．

而BC∩DC=C，所以AF⊥平面BCD．

连结PF，则PF∥DC，PF=DC，

而AE∥DC，AE=DC，所以AE∥PF，AE=PF，

AFPE是平行四边形，

因此EP∥AF，故EP⊥平面BCD．

（II）因为EP⊥平面BCD，所以EP⊥平面BDF，EP是三棱锥E﹣BDF的高．

所以EP=AF=BC==． 

故三棱锥E﹣BDF的体积为：

V=．

变式训练:在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,PA⊥平面ABC,如果PB、PC与平面ABC所成的角分别为30°和60°,那么PD与平面ABC所成的角为__________

【答案】45°

【解析】连接AD,设PA=1,∵PA⊥平面ABC,PB、PC与平面ABC所成的角分别是30°和60°,

∴∠ABP=30°,∠ACP=60°,∠ADP是PD与平面ABC所成的角,

∴PB=2,AB=,AC=,

∴CD=BC=×=,

∴AD===1,

∴tan∠ADP==1,∴∠ADP=45°,

∴PD与平面ABC所成角的大小为45°.    故答案为：45°

四、小结：

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点叫垂足．如图所示:

线面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直．

符号表示：若，则．

图形表示:

注意：面内两条相交直线

五、作业：习题8.6.2