高中数学第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直第一课时教案及反思

第八章 立体几何初步

8.6.3平面与平面垂直(第一课时）

一、教学目标

1.直观感知二面角的有关概念，会作二面角的平面角，会求简单二面角平面角的大小；

2.理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，学会运用定理证明垂直关系；

3.通过对平面与平面垂直判定定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.

二、教学重难点

1.掌握面面垂直的判定定理；

2.会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系。

三、教学过程：

（1）创设情景

情景1、已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，试问可以找到多少对互相垂直的平面？

情景2、观察下列实物图，想想如何刻画两个平面所成的“角”？

（2）新知探究

问题1:大家思考一下如何判断两个平面垂直？

学生回答，教师点拨

问题2:试将上面的三个实物模型，抽象为几何直观图形，能否找到两个平面垂直的定义．

学生回答，教师点拨(提出本节课所学内容)

（3）新知建构

半平面的定义：

平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一个部分都叫做半平面．

二面角的定义：

由一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

二面角的画法与记法：棱为AB，面为，的二面角，记为二面角．

二面角的平面角的定义：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．如右图：∠AOB是二面角的平面角．

二面角的大小范围是．

二面角的平面角必须满足：

①角的顶点在棱上

②角的两边分别在两个面内

③角的边都要垂直于二面角的棱

直二面角的定义：

平面角是直角的二面角叫做直二面角．

练习：请大家观察教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

平面与平面垂直的定义：

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

记作：              

图形表示：

平面与平面垂直的判定定理：

如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直。

图形：

符号语言： ⊥α，⇒α⊥β                          

简记：线面垂直，则面面垂直。

（4）数学运用

例1.如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.

证明：因为BCC1B1是菱形，

所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，

所以B1C⊥平面A1BC1，

又B1C⊂平面AB1C，

所以平面AB1C⊥平面A1BC1.

变式训练1:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别是A1C1、BC的中点.

求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;

证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中,

∵BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB,又AB⊥BC,BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1,又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.

例2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为线段上的点，且．

求证：平面平面；

证明：平面，．

又底面为正方形，．

平面平面，

平面．

平面，．

为中点．

平面平面，

平面．又平面，

平面平面．

变式训练:如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，

求证：平面ACD平面

证明：取的中点连接.

是等边三角形，

与中，

是直角三角形，是斜边，

,

又

平面.

又平面

平面平面.

例3:在等腰直角中，，M为的中点，沿把折成二面角，折后A与C的距离为，则求二面角C—BM—A的大小.

【解析】因为为等腰直角三角形，且，M为的中点，

所以折之前，,

折之后，，

所以是二面角的平面角，

在中，由余弦定理得,

因,所以,故二面角C—BM—A的大小为

变式训练:在边长为1的菱形中，，把菱形沿对角线折起，使折起后，则二面角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】取的中点为，连接，如下图所示

在等腰和等腰中，

由二面角的定义可知，为二面角的平面角

为等边三角形，即

则二面角的余弦值为，   故选：B

四、小结：

二面角的定义：

二面角的画法与记法：

二面角的平面角的定义：

二面角的大小范围:．

直二面角的定义：

平面与平面垂直的定义：

平面与平面垂直的判定定理：

五、作业：习题8.6.3