2020-2021学年21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课后练习题

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1. 若、为方程的两个实数根，则的值为 

A.  B. 12 C. 14 D. 15

2. 已知、是方程的两个实数根，则的值为

A.  B. 2 C. 22 D. 30

3. 已知，一元二次方程有根，则k的取值范围是

A.  B.
C. 且 D. k为一切不是1的实数

4. 小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，，而小华看错常数项，解错两根为，5，那么原方程为

A.  B.
C.  D.

5. 已知、是方程的两个实数根，则的值是

A.  B.  C. 3 D.

6. 若方程的两根为，，则的值为

A. 3 B.  C.  D.

7. 已知一个三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，且这个直角三角形的斜边长是3，则k的值是     ．

A. 8 B.  C. 8或 D. 4或

8. 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，，则m的取值范围是

A.  B. 且
C.  D. 且

9. 关于x的方程的两根同为负数，则

A. 且 B. 且 C. 且 D. 且

10. 若一元二次方程有实数根，则k的取值范围是

A.  B.  C. 且 D.

11. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是______ ．
12. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则______．
13. 设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则______．
14. 已知一元二次方程的两根、，则______．
15. 若方程的两根是，，则的值为______．
16. 已知关于x的方程，a为何非负整数时，
    方程只有一个实数根？
    方程有两个相等的实数根？
    方程有两个不相等的实数根？
    
    
     

17. 已知关于x的方程有两个相等的实根，且满足．
    求a、b的值；
    已知k为一实数，求证：关于x的方程有两个不等的实根．
    
     

18. 试比较下列两个方程的异同，，．
    
     

19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
    若，求m的值；
    已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
    
    
    
     
20. 关于x的方程有两个实数根、．
    求k的取值范围；
    若，求k的值．
    
    
    
    
     
21. 已知关于x的方程有两个正整数根是正整数的三边a、b、c满足，，．
    求：的值；的面积．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设方程的两根为，，不解方程求下列各式的值．
    ；
    ；
    ．
    
    
    
    
     
23. 已知：关于x的方程．
    不解方程：判断方程的根的情况；
    若为等腰三角形，，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程解的定义．
根据一元二次方程解的定义得到，即，则可表示为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：为的实数根，
，即，
，
、为方程的两个实数根，
，，
．
故选B．
2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程根与系数的关系．先将求值的代数式进行适当变形，然后根据一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解的定义，用整体代入法进行计算．
【解答】
解：、是方程的两个实数根，
，，

．
故选D．
3.【答案】D
 

【解析】解：，，
，
整理得：，
又，
为一切不等于1的实数．
故选：D．
一元二次方程若有根，则，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
4.【答案】B
 

【解析】解：小明看错一次项系数，解得两根为2，，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为，5，两根之和正确，
故设这个一元二次方程的两根是、，可得：，，
那么以、为两根的一元二次方程就是，
故选：B．
利用根与系数的关系求解即可．
此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．
5.【答案】A
 

【解析】解：因为、是方程的两个实数根，
所以，，
所以

．
故选A．
因为、是方程的两个实数根，所以，又因为，所以把前面的值代入即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是根与系数的关系的灵活运用．
6.【答案】B
 

【解析】解：由根与系数的关系得：，．
故选B．
已知方程，由根与系数的关系得：，，再把所求式子通分、代值可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会代数式变形为两根之积或两根之和的形式．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．
【解答】
解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
，；
根据勾股定理可得：，
，
当时，的两个根都是负数，不合题意，舍去；
当时，的两个根符合题意；
故选B
8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，根与系数的关系是，先由根的判别式可得方程有两个实数根则，根据根与系数的关系得出，，再由，，解出不等式组即可．
【解答】
解：，
，
，
，
且．
故选：B．
9.【答案】A
 

【解析】解：设，是该方程的两个负数根，
则有，，
，
，
，．
故选：A．
由于只有方程、两根之积零、两根之和零时，方程的两根才同为负数，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围．
本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．
10.【答案】C
 

【解析】解：由题意可知：，

，
且，
故选：C．
根据根的判别式即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
11.【答案】3
 

【解析】

【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【解答】
解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．
直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，
，；
根据勾股定理可得：，因为，
，
故答案为3．
12.【答案】
 

【解析】解：由两根关系，得，，
由得，
即，
，
，
故答案为：．
由两根关系，得，，解方程得到，即可得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
13.【答案】2016
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程根的定义．
先利用一元二次方程根的定义得到，则可化简为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】
解：为一元二次方程的实数根，
，即，
，
，n分别为一元二次方程的两个实数根，
，
．
故答案为2016．
14.【答案】0
 

【解析】解：一元二次方程的两根、，
，，

故答案为：0．
由一元二次方程的两根、可得，，代入可得结果．
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是熟练掌握，是一元二次方程的两根时，，．
15.【答案】5
 

【解析】解：根据题意得，，
所以

．
故答案为5．
先根据根与系数的关系得到，，然后把展开得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
16.【答案】解：方程只有一个实数根，

解得：；

方程有两个相等的实数根，

解得：；

方程有两个不相等的实数根，

解得：，
为非负整数，且，
或1；
 

【解析】方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到a的值；
方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得a的值；
方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到a的值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是了解方程根的判别式对方程根的情况的作用．
17.【答案】解：，
，
又，
，；

，，
原方程为：
，
关于x的方程有两个不等的实根．
 

【解析】让根的判别式等于0，联立已知条件，可得a，b的值；
先计算出，即可证明．
本题考查了一元二次方程根的判别式，要知道，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
18.【答案】解：相同点：
都是一元二次方程；
都化成了一元二次方程的一般形式；
二次项系数均为1；
一次项系数均为2；
常数项的绝对值相等；
都是整系数方程等．
不同点：
常数项符号相反；
前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解；
前者方程有实数根，后者不存在x值使方程左、右两边相等．
 

【解析】从一元二次方程的概念、系数等进行比较．
一元二次方程的一般形式是：b，c是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．
19.【答案】解：根据题意得，解得，
，，
，即，
，
整理得，解得，，
而，
的值为6；
若，
，恰好是另外两边的边长，而等腰的一边长为7，
必是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
若，则，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式和等腰三角形的性质．
根据判别式的意义可得，再根据根与系数的关系得，，接着利用得到，解得，，于是可得m的值为6；
分类讨论：若时，把代入方程得，解得，，当时，由根与系数的关系得，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
20.【答案】解：
关于x的方程有两个实数根、，
，即，解得；
由根与系数关系可得，，
，
，解得或，
，
．
 

【解析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
利用根与系数的关系可求得两根之和与两根之积，代入所给等式，则可得到关于k的方程，可求得k的值．
本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
21.【答案】解：关于x的方程有两个正整数根是整数．
，，，
，
设，是此方程的两个根，
，
也是正整数，即或2或3或6或9或18，
又m为正整数，
；

把代入两等式，化简得，
当时，
当时，a、b是方程的两根，而，由韦达定理得，，则、．
，时，由于
故为直角三角形，且，．
，时，因，故不能构成三角形，不合题意，舍去．
，时，因，故能构成三角形．

综上，的面积为1或．
 

【解析】本题可先求出方程的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．
由得出的m的值，然后将，进行化简，得出a，b的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．
22.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系有，．
；
；
．
 

【解析】先根据根与系数的关系得到，，再利用代数式变形得到，，，然后利用整体代入的方法计算．
此题考查了根与系数的关系．此题难度适中，注意若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，．
23.【答案】解：，
无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
，为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
是方程的根．
将代入原方程，得：，
解得：，．
当时，原方程为，
解得：，，
、5、5能够组成三角形，
该三角形的周长为；
当时，原方程为，
解得：，，
、5、7能够组成三角形，
该三角形的周长为．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
 

【解析】本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；代入求出m值．
根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
根据等腰三角形的性质及，可得出5是方程的根，将代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．