初中数学人教版九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系当堂检测题

21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 同步练习

1. 若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为1，则另一个根为(　　)

A. －4              B. 2                C. 4             D. －3

2. 若关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则这个方程的另一个根是(　　)

A.               B. －            C. 1              D. －1

3. 已知一元二次方程x2＋6x＋c＝0的一个根为－2，则c的值是(　　)

A. －8              B. 4                C. －4           D. 8

4. 设m，n分别为一元二次方程4x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m＋n＋mn的值为(　　)

A. －             B.               C. －          D.

5. 设a，b是一元二次方程x2＋5x－3＝0的两个根，则a2＋2a－3b的值为(　　)

A. －12             B. 12               C. －18          D. 18

6. 已知α，β是方程x2＋2020x＋1＝0的两个根，则(1＋2022α＋α2)(1＋2022β＋β2)的值为(　　)

A. 1                 B. 2                C. 3             D. 4

7. 若关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为(　　)

A. 2                 B. 0                C. 1             D. 2或0

8. 设a，b是方程x2－8x＋4＝0的两个根，则＋的值为(　　)

A. 18                B.               C. 2          D. ±3

9. 关于x的一元二次方程2x2＋4x－7＝0和x2－7x＋5＝0中所有的实数根之和是(　　)

A. －2               B. 2                C. －5           D. 5

10. 已知－5是一元二次方程x2＋mx－10＝0的一个根，则方程的另一个根是　   　. 

11. 若关于x的方程x2＝P的两个根分别为m＋1和m－1，则P的值为　    　. 

12. 已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0有两个实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是　     　. 

13. 已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2－10x＋9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是　    　. 

14. 已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－5＝0，若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根.

15. 已知 且x≠y，求＋的值.

16. 已知关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋2mx＋(m－3)＝0，

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)若方程有一个根为零，求m的值及另一个根.

17. 已知某直角三角形的两条直角边长是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围.

(2)如果此直角三角形的斜边长是5，求它的两条直角边长分别是多少?

18. 若x1，x2是关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根，且|x1|＋|x2|＝2|k|(k是整数)，则称方程x2＋bx＋c＝0为“偶系二次方程”.如方程x2－6x－27＝0，x2－2x－8＝0，x2＋3x－＝0，x2＋6x－27＝0，x2＋4x＋4＝0都是“偶系二次方程”.

(1)判断方程x2＋x－12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；

(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由.

参考答案

1. A  2. B  3. D  4. A  5. D  6. D  7. B  8. C  9. D

10. 2        11. 1        12. 3        13. 4

14. 解：将x＝1代入方程得，1＋a＋a－5＝0，解得a＝2. 由根与系数的关系可知，该方程的另一个根为－3.

15. 解：∵ 且x≠y，∴x，y可看作方程t2＋3t－4＝0的两个根，∴x＋y＝－3，xy＝－4，∴＋＝＝＝－.

16. 解：(1)由题意得Δ＝(2m)2－4(m＋1)(m－3)＝8m＋12，要使方程有两个不相等的实数根，需要Δ>0，即8m＋12>0，解得m>－且m≠－1.

(2)∵方程有一个根为零，∴m－3＝0，解得m＝3.∴另一个根为x＝－，∴x＝－.

17. 解：(1)由题意得Δ>0，∴(2k－1)2－4(k2＋3)>0，解得k<－.

(2)令方程的两根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2＋3. ∵此方程的两个根分别是某直角三角形的两条直角边长，且此直角三角形的斜边长为5，∴x12＋x22＝52，∴(x1＋x2)2－2x1·x2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，即k2－2k－15＝0，解得k1＝5，k2＝－3.∵k<－，∴k＝－3. 把k＝－3代入原方程得到x2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4，∴直角三角形的两条直角边长分别为3和4.

18. 解：(1)不是. 理由：解方程x2＋x－12＝0，得x1＝3，x2＝－4. |x1|＋|x2|＝3＋4＝7＝2×3.5. ∵3.5不是整数，∴x2＋x－12＝0不是“偶系二次方程”.

(2)存在. 理由：∵x2－6x－27＝0和x2＋6x－27＝0是“偶系二次方程”，∴假设c＝mb2＋n，当b＝－6，c＝－27时，－27＝36m＋n. ∵x2＝0是“偶系二次方程”，∴n＝0，∴m＝－，∴c＝－b2.∵x2＋3x－＝0是“偶系二次方程”，当b＝3时，c＝－×32＝－.∴可设c＝－b2. 对于任意一个整数b，c＝－b2时，Δ＝b2－4ac＝4b2. x＝，∴x1＝－b，x2＝b，∴|x1|＋|x2|＝

2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c＝－b2时，关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”.