2021学年第三章 函数概念与性质本章综合与测试第3课时练习题

第3课时　函数的概念与性质

课后训练巩固提升

A组

1.函数f(x)=的定义域为(　　)

A.[-1,2] B.(-1,2] C.[2,+∞) D.[1,+∞)

解析:由得-1<x≤2,故选B.

答案:B

2.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)内单调递减的是 (　　)

A.y=x-2 B.y=x-1 C.y=x2 D.y=

答案:A

3.已知函数f(x)=则f的值为 (　　)

A. B.- C. D.18

解析:因为3>1,所以f(3)=32-3-3=3.

因为<1,所以f=f=1-.

答案:C

4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)等于(　　)

A.-3 B.-1 C.1 D.3

解析:f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.

答案:C

5.函数y=f(x)对于任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4,则(　　)

A.f(x)在R上是减函数,且f(1)=3

B.f(x)在R上是增函数,且f(1)=3

C.f(x)在R上是减函数,且f(1)=2

D.f(x)在R上是增函数,且f(1)=2

解析:设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1.

因为x2-x1>0,又已知x>0时,f(x)>1,

所以f(x2-x1)>1,

所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2).

因此f(x)在R上是增函数.

因为f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+[f(1)+f(1)-1]-1=3f(1)-2=4,

所以f(1)=2.

答案:D

6.已知f(x+2)=x2-4x,则f(x)=　　　　　. 

解析:设t=x+2,则x=t-2,f(t)=(t-2)2-4(t-2)=t2-8t+12.

答案:x2-8x+12

7.已知定义在R上的函数f(x)=ax2+2x+3的值域为[2,+∞),则f(x)的单调递增区间为　　　　　. 

解析:依题意知

解得a=1,这时f(x)=x2+2x+3,

故f(x)的单调递增区间为[-1,+∞).

答案:[-1,+∞)

8.已知定义在R上的奇函数f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-m2)>f(2m),则实数m的取值范围是　　　　　.

解析:因为函数f(x)=x2+2x在区间[0,+∞)内单调递增,

又f(x)是R上的奇函数,所以f(x)是R上的增函数.

要使f(3-m2)>f(2m),只需3-m2>2m,解得-3<m<1.

答案:(-3,1)

9.若f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切x,y>0,满足f=f(x)-f(y).

(1)求f(1)的值;

(2)若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f<2.

解:(1)在f=f(x)-f(y)中,令x=y=1,则有f(1)=f(1)-f(1),所以f(1)=0.

(2)因为f(6)=1,

所以f(x+3)-f<2=f(6)+f(6),

所以f(3x+9)-f(6)<f(6),

即f<f(6).

因为f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,

所以解得-3<x<9.

即不等式的解集为(-3,9).

10.某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境,打算建造一个八边形的休闲花园,它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200平方米的十字形区域,且计划在正方形MNPK上建一座花坛,其造价为4 200元/平方米,在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面,其造价为210元/平方米,并在四个三角形空地上铺草坪,其造价为80元/平方米.

(1)设AD的长为x米,试写出总造价Q(单位:元)关于x的函数解析式;

(2)当x取何值时,总造价最少?求出这个最小值.

解:(1)设AM=y米,

则x2+4xy=200,所以y=.

故Q=4200x2+210×4xy+80×2y2=38000+4000x2+(0<x<10).

(2)令t=x2,则Q=38000+4000,且0<t<200.

由基本不等式可得t+≥2=20,当且仅当t=,即t=10时,等号成立,此时x=.

且Qmin=38000+4000×20=118000.

故当x=时,总造价最少,最少是118000元.

B组

1.若幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm-2为奇函数,则m=(　　)

A.3 B.2 C.2或3 D.1

解析:由f(x)=(m2-5m+7)xm-2为幂函数,得m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.

又因为该函数为奇函数,所以m=3.

答案:A

2.已知函数f(x)=-x5-3x3-5x+3,若f(a)+f(a-2)>6,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1) B.(-∞,3) C.(1,+∞) D.(3,+∞)

解析:g(x)=f(x)-3为奇函数,且在R上单调递减,f(a)+f(a-2)>6可化为f(a)-3>-f(a-2)+3=-[f(a-2)-3]=-g(a-2),即g(a)>g(2-a),所以a<2-a,故a<1.

答案:A

3.设f(x)=若f(2)=4,则a的取值范围为　　　　　. 

解析:若2∈(-∞,a),则f(2)=2,不合题意,所以2∈[a,+∞),故a≤2.

答案:(-∞,2]

4.定义在R上的奇函数f(x)为减函数,若a+b≤0,给出下列不等式:

①f(a)·f(-a)≤0;

②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);

③f(b)·f(-b)>0;

④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

其中正确的是　　　　　.(填序号) 

解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.

又因为f(x)为R上的减函数,所以当x>0时,f(x)<0,当x<0时,f(x)>0.

因为a·(-a)≤0,所以f(a)·f(-a)≤0.

又因为a+b≤0,即a≤-b,所以f(a)≥f(-b).

同理,得f(b)≥f(-a),

故f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

答案:①④

5.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成.

(1)求f(x)的解析式;

(2)写出f(x)的值域.

解:(1)当-1≤x≤0时,设解析式为y=kx+b(k≠0).

则所以y=x+1.

当x>0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,

因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,得a=.

因此f(x)=

(2)当-1≤x≤0时,y∈[0,1].

当x>0时,y∈[-1,+∞).

所以函数的值域为[0,1]∪[-1,+∞)=[-1,+∞).

6.已知函数f(x)=x2-2mx+m2+4m-2.

(1)若函数f(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数m的取值范围;

(2)若函数f(x)在区间[0,1]上有最小值-3,求实数m的值.

解:f(x)=(x-m)2+4m-2.

(1)由f(x)在区间[0,1]上单调递减,得m≥1.

(2)当m≤0时,f(x)min=f(0)=m2+4m-2=-3,

解得m=-2-或m=-2+.

当0<m<1时,f(x)min=f(m)=4m-2=-3,

解得m=-(舍去).

当m≥1时,f(x)min=f(1)=m2+2m-1=-3,无解.

综上可知,实数m的值是-2±.