高中5.2 导数的运算复习练习题

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5.2.3  导数的运算法则与简单复合函数求导公式

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（    ）

A．      B． 

C．       D．

【答案】B

【解析】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C错误；

对于D，，D错误．

故选B．

2．函数的导函数为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】

，

故选.

3．函数的导数是（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【解析】，

.

故选B .

4．函数在处的切线方程为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】由已知，

则，

又时，，

则切线方程为.

故选C.

5．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（    ）

A．    B．6    C．12    D．

【答案】A

【解析】由，得，

则曲线在点处的切线斜率为，得.

故选A.

6．已知函数，则（    ）

A．2    B．1    C．0    D．

【答案】D

【解析】因为，则，

所以，则，

所以，所以.

故选D.

7．已知，则其导函数（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】,

故选D.

8．已知，则为的导函数，则的图象是（    ）

A．     B．

C．    D．

【答案】A

【解析】，

，

函数为奇函数，排除B、D.

又，排除C.

故选A

9．对于函数，若，则实数等于（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】，，

所以，解得，

故选A．

10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为贝克时衰变所需时间为（    ）

A．20天    B．30天    C．45天    D．60天

【答案】D

【解析】由得，

因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，

即，解得，

则，

当该放射性同位素含量为贝克时，即，

所以，即，所以，解得.

故选D.

11．曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ）

A．    B．    C．1    D．或2

【答案】B

【解析】因为，所以，

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以，即，解得.

故选B

12．若曲线在，两点处的切线互相垂直，则的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】，

曲线的切线斜率在范围内，

又曲线在两点处的切线互相垂直，

故在，两点处的切线斜率必须一个是1，一个是-1.

不妨设在A点处切线的斜率为1，

则有，，

则可得，

所以.

故选B.

二、填空题

13．函数的导函数_________．

【答案】

【解析】由，

得，

故填.

14．已知函数，则在处的导数________.

【答案】

【解析】，，.

故填.

15．若曲线在点的切线方程是，则实数__________．

【答案】

【解析】，

，

在处的切线方程为，

，

解得，

故填3.

16．设函数在内可导，其导函数为，且，则______.

【答案】

【解析】因为，

令，则，所以，

即，所以，

因此.

故填

17．已知，则______.

【答案】

【解析】

，解得，

故填.

18．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凸函数”.已知在区间上为“凸函数”，则实数的取值范围为______.

【答案】

【解析】

在区间上为“凸函数”

在上恒成立

上恒成立

设，，

则

当且仅当时取得最大值，

故填.

三、解答题

19．求导：

（1）；

（2）

【解析】（1）；

（2）.

20．已知函数.

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数的图象在点处的切线方程.

【解析】（1）因为，所以

（2）因为在处的值为1，在处的值为2

所以切线方程为，即

21．已知函数，求：

（1）求及；

（2）求函数图象在点处的切线方程及切线与坐标轴围成的三角形的面积.

【解析】（1）由，

则

，

.

（2），

，

所以在点处的切线方程为：，

整理可得：.

令，解得，则，

令，解得，则，

所以.

22．记、分别为函数、的导函数.把同时满足和的叫做与的“Q点”.

（1）求与的“Q点”；

（2）若与存在“Q点”，求实数a的值.

【解析】（1）因为，

设为函数与的一个“”点.

由且得，

解得.

所以函数与的“”点是2.

（2）因为，

设为函数与的一个“”点.

由且得，

由②得代入①得，所以.

所以.