2020-2021学年5.1 导数的概念及其意义达标测试

课时同步练

5.1.1~5.1.2  变化率问题和导数的概念

一、单选题

1．在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量x（    ）

A．大于零     B．小于零     C．等于零     D．不等于零

【答案】D

【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。

解:函数在某点处横坐标的增量可正可负，不确定，但不可为0，

故选D

2．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】自变量由改变到

当时，

当时，

故选D

3．已知函数y＝x2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于（    ）

A．2    B．2x    C．2＋Δx   D．2＋(Δx)2

【答案】C

【解析】＝2＋Δx.

故选C.

4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④中，平均变化率最大的是（    ）

A．④    B．③    C．②    D．①

【答案】B

【解析】Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4，

故选B.

5．已知曲线和这条曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为(　　)

A．      B．

C．     D．

【答案】C

【解析】点Q的横坐标应为1＋Δx，所以其纵坐标为f(1＋Δx)＝ (Δx＋1)2，

故选C.

6．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点及邻近一点，则＝（    ）

A．3    B．－3    C．－3－  D．－－3

【答案】D

【解析】，

.

故选D.

7．若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为（    ）

A．6    B．18    C．54    D．81

【答案】B

【解析】因为＝＝＝18＋3Δt，

所以＝18.

故选B.

8．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是（    ）

A．1    B．－1    C．2    D．－2

【答案】B

【解析】由平均变化率的定义可得，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是：

.

故选B.

9．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为（    ）

A．(1,10)   B．(－1，－2)  C．(1，－2)   D．(－1,10)

【答案】B

【解析】结合函数的解析式有：

则,

令可得：，

把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.

∴P点坐标为(－1，－2).

故选B.

10．f(x)在x＝x0处可导，则（    ）

A．与x0，Δx有关      B．仅与x0有关，而与Δx无关

C．仅与Δx有关，而与x0无关    D．与x0，Δx均无关

【答案】B

【解析】由定义知函数在处的导数，只与有关

故选

11．设函数在处存在导数，则（    ）

A．   B．   C．   D．

【答案】A

【解析】．

故选A．

12．函数y＝x2在区间[x0, x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（    ）

A．k1＞k2   B．k1＜k2   C．k1＝k2   D．k1与k2的大小关系不确定

【答案】A

【解析】由题意结合函数的解析式有：

，

，

则，因为Δx可大于零，所以k1>k2.

故选A.

二、填空题

13．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，________.

【答案】

【解析】

＝(Δx)2＋6Δx＋12.

故填

14．在x＝2附近，时，函数的平均变化率为________．

【答案】

【解析】 ，

故填

15．函数在x＝1附近，当时的平均变化率为________．

【答案】

【解析】

故填

16．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.

【答案】

【解析】由题意可得：，

故，

令可得：，

即在t＝时的瞬时速度为1.

故填

17．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________.

【答案】

【解析】由函数f(x)的图象知，,

所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为：.

故填

18．已知函数f(x)＝，则f′(2)＝________.

【答案】

【解析】

故填

三、解答题

19．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]，[0,5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．

【解析】函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为

函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为.

函数g(x)在[－3，－1]上的平均变化率为.

函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为.

20．若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围.

【解析】因为函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：

，

所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.

又因为Δx＞0，

即Δx的取值范围是(0，＋∞).

21．一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2(s的单位是：m，t的单位是：s).

（1）求此物体的初速度；

（2）求此物体在t＝2 s时的瞬时速度；

（3）求t＝0 s到t＝2 s时的平均速度.

【解析】（1）.

当Δt→0时，→3，

所以v0＝3.

（2）.

当Δt→0时，，

所以t＝2时的瞬时速度为－1.

（3）.

22．求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数.

【解析】