人教版七年级上册4.3.1 角学案设计

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理解角的概念，掌握角的表示方法，能利用画图工具作一个角，会度量一个角的大小(在角度制下)，能进行简单的计算．理解周角、平角的概念．
会比较两个角的大小，能进行角的运算(和、差、倍、分)．理解角的平分线以及直角、锐角、钝角的概念．
理解一个角的余角和补角的概念，理解方向角的概念，并能解决有关角的计算问题．
知识点一： 角
例题1．下列说法中，正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
例题2．下列说法正确的是（ ）
A．平角是一条直线B．角的边越长，角越大
C．大于直角的角叫做钝角D．两个锐角的和不一定是钝角
例题3．（2016春•曹县校级月考）下列关于平角和周角的说法正确的是（ ）
A．平角是一条线段
B．周角是一条射线
C．两个锐角的和不一定小于平角
D．反向延长射线OA，就形成一个平角
变式1．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．角的大小与这个角的两边的长短无关
C．延长一个角的两边
D．角的两边是射线，所以角不可度量
变式2．下列关于角的说法正确的个数是（ ）
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边延长线上取一点D；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式3．下列说法正确的是（ ）
A．角的边越长，角度就越大
B．周角就是一条射线
C．一条直线可以看成平角
D．平角的两边可以构成一条直线
知识点二： 角的四种表示法
例题1．下列四个图形中，能同时用∠1，∠ABC，∠B三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．C．D．
变式．（2017春•单县月考）下列角中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
变式1．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C．D．
变式2．以下给出的四个语句中，结论正确的有（ ）
①如果线段AB=BC，则B是线段AC的中点；
②线段和射线都可看作直线上的一部分；
③大于直角的角是钝角；
④如图，∠ABD也可用∠B表示．
A．1个B．2个C．3个D．4个
变式3．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO就是∠DACB．∠COB就是∠OC．∠2就是∠OBCD．∠CDB就是∠1
变式4．如图，下列表示角的方法，错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠AOC也可用∠O来表示
C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC
D．∠β表示的是∠BOC
知识点三： 角的度量
例题1．1°等于（ ）
A．10′B．12′C．60′D．100′
变式1．将21.54°用度、分、秒表示为（ ）
A．21°54′B．21°50′24″C．21°32′40″D．21°32′24″
变式2．把8.32°用度、分、秒表示正确的是（ ）
A．8°3′2″B．8°30′20″C．8°19′12″D．8°18′12″
例题2．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44°D．41.25°=41°15′
变式1．下列各式中，正确的角度互化是（ ）
A．63.5°=63°50′B．23°12′36″=25.48°
C．18°18′18″=3.33°D．22.25°=22°15′
变式2．下列各式成立的是（ ）
A．62.5°=62°50′B．31°12′36″=31.21°
C．106°18′18″=106.33°D．62°24′=62.24°
例题3．计算：
（1）18°13′×5．
（2）27°26′+53°48′．
（3）90°﹣79°18′6″．
变式1.计算
（1）25°34′48″﹣15°26′37″
（2）105°18′48″+35.285°．
变式2．计算：18°20′32″+30°15′22″．
变式4．度、分、秒．
（1）180°﹣46°42′= ；
（2）28°36′+72°24′=
（3）50°24′×3= ；
（4）49°28′52″÷4= ″ ．
知识点四： 角的比较
例题．如图，射线OB、OC将∠AOD分成三部分，下列判断错误的是（ ）
A．如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC=∠BOD
B．如果∠AOB＞∠COD，那么∠AOC＞∠BOD
C．如果∠AOB＜∠COD，那么∠AOC＜∠BOD
D．如果∠AOB=∠BOC，那么∠AOC=∠BOD
变式1．如图，如果∠CAE＞∠BAD，那么下列说法中一定正确的是（ ）
A．∠BAC＞∠CADB．∠DAE＞∠CAD
C．∠CAE＜∠BAC+∠DAED．∠BAC＜∠DAE
变式3．如图，∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠DOB的大小关系是（ ）
A．∠AOC＞∠DOBB．∠AOC＜∠DOB
C．∠AOC=∠DOBD．∠AOC与∠DOB无法比较大小
知识点五： 角的和差关系
例题：（1）∠AOC是哪两个角的和？
（2）∠AOB是哪两个角的差？
（3）如果∠AOB=∠DOC，那么∠AOC与∠DOB得关系如何？
变式1．如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC=36°，则∠AOB是 度．
变式2．如图，将一副三角板的直角顶点重合，摆在桌面上，若∠AOD=140°，则∠BOC= 40 度．
变式3．如图，∠AOB=90°，∠AOC=2∠BOC，则∠BOC= 30 °．
知识点六： 角平分线
例题1．如图，点A、O、B在一条直线上，且∠AOC=50°，OD平分∠AOC，则∠BOD= 155 度．
例题2．如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，则∠AOB的度数为 120° ．
变式1．如图，A、O、B三点在一条直线上，∠AOC=2∠COD，OE平分∠BOD，∠COE=77°，则∠COD= ．
变式2．如图，∠AOC=30°35′25″，∠BOC=80°15′28″，OC平分∠AOD，那么∠BOD等于 ．
变式3．如图，∠AOD=90°，∠AOB：∠BOC=1：3，OD平分∠BOC，则∠AOC= 度．
变式4．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE别是∠AOB、∠BOD的平分线，若∠AOC=8°，则∠COD= ，∠BOE= ．

知识点七： 余角和补角
例题1．已知∠A=70°，则∠A的余角等于（ ）
A．20°B．30°C．70°D．110°
变式1．如图所示的是一把剪刀，若∠1与∠2互为余角，则∠3等于（ ）
A．90°B．120°C．135°D．150°
变式2．下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
A．B．C．D．
变式3．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．B．C．D．
例题2.下列图形中，∠1与∠2互为补角的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.已知∠A=45°，则∠A的补角等于（ ）
A．45°B．90°C．135°D．180°
变式2．一个角的补角是这个角的3倍，则这个角是（ ）度．
A．45B．60C．50D．30
变式3．如图，已知∠AOB=180°，则下列语句中，描述错误的是（ ）
A．点O在直线AB上B．直线AB与直线OP相交于点O
C．点P在直线AB上D．∠AOP与∠BOP互为补角
知识点八： 方位角
例题．一艘海上搜救船借助雷达探测仪寻找到事故船的位置，雷达示意图如图所示，搜救船位于图中圆心O处，事故船位于距O点40海里的A处，雷达操作员要用方向角把事故船相对于搜救船的位置汇报给船长，以便调整航向，下列四种表述方式中正确的为（ ）
A．事故船在搜救船的北偏东60°方向
B．事故船在搜救船的北偏东30°方向
C．事故船在搜救船的北偏西60°方向
D．事故船在搜救船的南偏东30°方向
变式1．如图，在一次定向越野活动中，“超越”小组准备从目前所在的A 处前往相距2km的B处，则相对于A处来说，B处的位置是（ ）
A．南偏西50°，2kmB．南偏东50°，2km
C．北偏西40°，2kmD．北偏东40°，2km
变式2．如图，下列说法中错误的是（ ）
A．OA方向是北偏东30°B．OB方向是北偏西15°
C．OC方向是南偏西25°D．OD方向是东南方向
变式3．M地是海上观测站，从M地发现两艘船A、B的方位如图所示，下列说法中，正确的是（ ）
A．船A在M的南偏东30°方向B．船A在M的南偏西30°方向
C．船B在M的北偏东40°方向D．船B在M的北偏东50°方向
拓展点一： 角的识别与表示
例题．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
变式1．如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（ ）
A．∠AB．∠1C．∠CD．∠ABC
变式2．如图，下面表述不正确的是（ ）
A．∠1可表示为∠DACB．∠2可表示为∠BAC
C．∠BAD表示的角是∠1+∠2D．∠BAD可表示为∠A
拓展点二： 度、分、秒之间的互化和运算
例题1．计算：
（1）用度、分、秒表示48.26°；
（2）用度表示37°24′36″；
（3）42°16′+18°23′×2；
（4）90°﹣19°12′÷6．
例题2．计算：
（1）49°38′+66°22′；（2）180°﹣79°19′；（2）22°16′×5；（4）182°36′÷4．
变式1．计算：
（1）23°36′+66°24′；
（2）180°﹣132°4′；
（3）（43°12′÷2﹣10°5′）×3．
变式2．用度数表示下列各角度：
（1）37°54′；
（2）45°12′；
（3）31°48′；
（4）4°51′．

变式3．计算：
（1）25°36×4；
（2）42°45′÷3．

变式4．计算：
（1）46゜39′+57゜41′= ；
（2）90゜﹣77゜29′32″= ；
（3）31゜17′×5= ；
（4）176゜52′÷3= ．（精确到分）
拓展点三： 三角尺构成的角
例题.借助一副三角尺画出15°，105°，120°，135°的角．
90°+30°=120°，
90°+45°=135°．
变式：下面三角尺拼成的角是多少度？
（2）是利用了三角板上60°角和45°角拼成的一个大角，是60°+45°=105°；
（3）是利用三角板上30°和45°的角拼成的一个大角，是45°+30°=75°．
据此解答即可．
拓展点四： 角的平分线与角的和差计算问题
例题1．如图，直线AB经过点O，OA平分∠COD，OB平分∠MON，若∠AON=150°，∠BOC=120°．
（1）求∠COM的度数；
（2）判断OD与ON的位置关系，并说明理由．
例题2．如图，已知直线AB上一点O，∠AOD=42°，∠BOC=34°，∠DOE=90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．

变式1．如图，∠AOB=∠COD=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=3∠DOE．试求∠COE的度数．

变式2．如图，已知∠AOC=60°，∠BOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数．

变式3．如图所示，直线AB上有一点O，任意画射线OC，已知OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，求∠DOE的度数．

变式4．如图，已知∠AOB=x°，∠AOC是y°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，求∠DOE．
拓展点五： 利用余角、补角的概念与性质解题
例题1．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？
变式1．一个角的余角的3倍比这个角的补角少24°，那么这个角是多少度？

变式2．一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．

变式3．如果一个角的余角是它的补角的，求这个角的度数．

变式4．如图，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AE与BC交于F点．
（1）找出图中两对互余角：
（2）图中与∠BAD相等的角是 ，与∠EAC相等的角是 ．请对其中一对相等的角加以说明．
变式5．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．

变式6．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
变式7．一个角的余角比这个角的少30°，请你计算出这个角的大小．
例题1．如图，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AE与BC交于F点．
（1）找出图中两对互余角：
（2）图中与∠BAD相等的角是 ，与∠EAC相等的角是 ．请对其中一对相等的角加以说明．
变式1．如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD与∠BOE的补角；
（2）试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系．

变式2．如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，OF⊥CD，垂足为O．
（1）写出图中所有与∠AOD互补的角；
（2）若∠AOE=120°，求∠BOD的度数．
拓展点六： 角在实际生活中的应用
例题1．如图，下午2点30分时，时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）
A．90°B．120°C．105°D．135°
例题2．钟表在4点10分时，它的时针和分针所形成的锐角度数是（ ）
A．65°B．75°C．85°D．90°
变式1．如图，钟表上显示的时间是12：20，此时，时针与分针的夹角是（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
变式2．在上午9时到10时之间，时钟的分针与时针会重合一次，这次的重合时间是（ ）
A．9：48﹣9：49B．9：49﹣9：50C．9：50﹣9：51D．9：51﹣9：52
变式3．如图，9点整时，时针与分针夹角为90°，则下一次时针与分针夹角为90°时，经过了（ ）分钟．
A．B．C．D．
拓展点七： 探究问题
例题．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN=30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 11或47 （直接写出结果）．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．
变式1．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．
例如：当α=30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；
当α=20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA3的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．
解决如下问题：
（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是 ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是 ， ， ．
（4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AiOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．
变式2．如图，射线OC以∠AOB的边OB为始边进行逆时针旋转，作OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，在射线OC旋转过程中，试探究∠DOE与∠BOC的大小关系．
（1）当∠AOB=90°，∠BOC=60°时，则∠DOE= 45 度．
（2）设∠AOB=90°，∠BOC=n．
①当0＜n＜90°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
②当90°＜n＜360°时，在射线OC旋转过程中，∠DOE的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出∠DOE的度数；
（3）设∠AOB=a，∠BOC=n，其中0＜a＜180°，在射线OC旋转过程中，请直接写出∠DOE的度数（可用含有a，n的代数式表示）
拓展点八： 方程思想在角度计算中的应用
例题．已知∠AOB与∠BOC互为补角，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内，∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．
变式1．如图，已知∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB的度数．

变式2．如图，∠AOC与∠BOC的度数比为5：2，OD平分∠AOB，若∠COD=15°，求∠AOB的度数．
易错点一： 统计角的个数时，忽略平角的特殊情况
1．如图所示，从O点出发的五条射线，可以组成小于平角的角的个数是（ ）
A．10个B．9个C．8个D．4个
2．如图，从点O出发的五条射线，可以组成（ ）个角．
A．4B．6C．8D．10
易错点二： 没有注意单位的统一
1．若∠P=25°12′，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠P=∠QB．∠P=∠RC．∠Q=∠RD．∠P=∠Q=∠R
2．已知∠1=27°18′，∠2=27.18°，∠3=27.3°，则下列说法正确的是（ ）
A．∠1=∠3B．∠1=∠2C．∠1＜∠2D．∠2=∠3