数学人教版第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数学案设计

这是一份数学人教版第一章 有理数1.2 有理数1.2.1 有理数学案设计，文件包含12有理数讲义学生版doc、12有理数讲义教师版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共46页， 欢迎下载使用。

第1章 有理数
1.2 有理数
学习要求
1、掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小．
2、掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义．

知识点一：有理数的概念
例1．下列说法正确的是（　　）
A．有理数是指整数、分数、零、正有理数、负有理数这五类
B．一个有理数不是正数就是负数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．以上说法都正确
【考点】12：有理数．
【专题】15 ：综合题．
【分析】根据有理数的定义，有理数可分为整数和分数，也可分为正有理数，0，负有理数．
【解答】解：根据有理数的定义，有理数可分为整数和分数，或分为正有理数，0，负有理数，故A错误，
B中0是有理数，但不是正数也不是负数，故错误，C有理数可分为整数和分数，故C正确，
故答案为C．
【点评】本题考查了有理数的定义，有理数可分为整数和分数，也可分为正有理数，0，负有理数，难度适中．


变式1．下列说法正确的是（　　）
A．非负数包括零和整数 B．正整数包括自然数和零
C．零是最小的整数 D．整数和分数统称为有理数
【考点】12：有理数．
【分析】根据有理数的分类，利用排除法求解．
【解答】解：非负数包括零和正数，A错误；
正整数指大于0的整数，B错误；
没有最小的整数，C错误；
整数和分数统称为有理数，这是概念，D正确．
故选D．
【点评】易错点为：自然数中包括0，0既不是正数也不是负数，正整数指大于0的整数．
　

变式2．下列说法不正确的是（　　）
A．0既不是正数，也不是负数
B．0的绝对值是0
C．一个有理数不是整数就是分数
D．1是绝对值最小的正数
【考点】12：有理数．
【分析】根据有理数的分类，以及绝对值得性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，进行分析即可．
【解答】解：A、0既不是正数，也不是负数，说法正确；
B、0的绝对值是0，说法正确；
C、一个有理数不是整数就是分数，说法正确；
D、1是绝对值最小的正数，说法错误，0.1的绝对值比1还小．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值和有理数的分类，关键是掌握绝对值得性质．


知识点二：有理数的分类
例2．下列八个有理数：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2；其中分数共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】12：有理数．
【分析】根据分数的定义求解即可．
【解答】解：八个有理数：﹣2、35、﹣0.2、、0、﹣、3.14、2中，分数有﹣0.2、、﹣、3.14、2，共有5个．
故选C．
【点评】本题考查了分数的意义，分数包括正分数与负分数，有限小数与无限循环小数都是分数．
　
　
变式1．（2016秋•腾冲县期末）在﹣2，π，15，0，﹣，0.555…六个数中，整数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】12：有理数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】先判断每个数是什么数，最后得到整数的个数．
【解答】解：因为﹣2、15、0是整数，π是无理数，﹣、0.555…是分数．
所以整数共3个．
故选C．
【点评】本题考查了实数的分类．实数分为有理数和无理数；整数和分数统称有理数；整数包括正整数、负整数和0．


变式2．把下列各数分别填在相应的集合内：
﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9
分数集：　5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、　．
负数集：　﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9　．
有理数集：　﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9　．
【考点】12：有理数．
【分析】按照有理数的分类填写：
有理数．
【解答】解：分数集：5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、；
负数集：﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9；
有理数集：﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9；
故答案为：5%、﹣2.3、、3.1415926、﹣、；﹣11、﹣2.3、﹣、﹣9；﹣11、5%、﹣2.3、、3.1415926、0、﹣、、2014、﹣9．
【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
　

变式3．下列各数：2，﹣5，0，﹣0.06，+，20%，0.1，其中分数有　4　个．
【考点】12：有理数．
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】利用分数定义判断即可．
【解答】解：下列各数：2，﹣5，0，﹣0.06，+，20%，0.1，其中分数有4个，
故答案为：4
【点评】此题考查了有理数，熟练掌握分数的定义是解本题的关键．
　

变式4．把下列各数填在相应的大括号内
5，﹣2，1.4，﹣，0，﹣3.14．
正数：{　5，1.4　…}；
非负整数：{　5，0　…}；
整数：{　5，﹣2，0　…}；
负分数：{　﹣，﹣3.14　…}．
【考点】12：有理数．
【分析】根据有理数的分类进行填空即可．
【解答】解：正数：{ 5，1.4}；
非负整数：{5，0}；
整数：{5，﹣2，1.4，﹣，0，﹣3.14 }；
负分数：{﹣，﹣3.14}．
故答案为5，1.4；5，0；5，﹣2，0；﹣，﹣3.14．
【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．
　

变式5．将下列各数分别填入相应的大括号里：5，﹣，2013，﹣0.2，6.8，0，﹣，﹣10，，﹣2．
正数集合{　5，2013，6.8，　}
整数集{　5，2013，0，﹣10，﹣2　}
负数集合{　﹣，﹣0.2，﹣，﹣10，﹣2　}
分数集{　﹣，﹣0.2，6.8，﹣，　}．
【考点】12：有理数．
【分析】根据大于零的数是正数，可得答案；
根据整数的定义，可得答案；
根据小于零的数是负数，可得答案；
根据分数的定义，可得答案．
【解答】解：正数集合{ 5，2013，6.8，}
整数集{ 5，2013，0，﹣10，﹣2}
负数集合{﹣，﹣0.2，﹣，﹣10，﹣2}
分数集{﹣，﹣0.2，6.8，﹣，}，
故答案为：5，2013，6.8，；5，2013，0，﹣10，﹣2；﹣，﹣0.2，﹣，﹣10，﹣2；﹣，﹣0.2，6.8，﹣，．
【点评】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．
　

变式6．把下列各数填在相应的大括号内．
15；﹣； 0.81；﹣3；﹣3.1；17； 0； 3.14
正数集合{　15；0.81；17； 3.14　}；
负数集合{　﹣，﹣3，﹣3.1　}；
整数集合{　15，17，0　}；
分数集合{　﹣，0.81，﹣3.1，3.14　}．
有理数集合{　15，﹣，0.81，﹣3，﹣3.1，17，0，3.14　}．
【考点】12：有理数．
【分析】根据有理数的分类进行填空即可．
【解答】解：正数集合{ 15，0.81，17，3.14}；
负数集合{﹣，﹣3，﹣3.1}；
整数集合{ 15，17，0}；
分数集合{﹣，0.81，﹣3.1，3.14 }．
有理数集合{15，﹣，0.81，﹣3，﹣3.1，17，0，3.14 }
故答案为15，0.81，17，3.14；﹣，﹣3，﹣3.1；15，17，0；﹣，0.81，﹣3.1，3.14；15，﹣，0.81，﹣3，﹣3.1，17，0，3.14．
【点评】本题考查了有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．


知识点三：数轴
例3．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】13：数轴．
【专题】31 ：数形结合．
【分析】根据数轴的概念判断所给出的四个数轴哪个正确．
【解答】解：A没有原点，故此选项错误；
B、单位长度不统一，故此选项错误；
C、没有正方向，故此选项错误；
D、符合数轴的概念，故此选项正确．
故选D．
【点评】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．


变式1．已知蜗牛从A点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“﹣”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm）依次为：+7，﹣5，﹣10，﹣8，+9，﹣6，+12，+4
（1）若A点在数轴上表示的数为﹣3，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明；
（2）若蜗牛的爬行速度为每秒，请问蜗牛一共爬行了多少秒？
【考点】13：数轴．
【分析】（1）把﹣3依次加题目所给的有理数，然后根据正负数的意义知道蜗牛停在数轴上何处；
（2）把所给的有理数的绝对值相加，然后除以速度即可求解．
【解答】解：（1）依题意得
﹣3+（+7）+（﹣5）+（﹣10）+（﹣8）+（+9）+（﹣6）+（+12）+（+4）=0，
∴蜗牛停在数轴上的原点；

（2）（|+7|+|﹣5|+|﹣10|+|﹣8|+|+9|+|+12|+|+4|+|﹣6|）÷=122秒．
∴蜗牛一共爬行了122秒．
【点评】此题主要考查了有理数的计算及数轴与有理数的对应关系，解题的关键首先是熟练掌握有理数的计算，同时也注意利用数轴的点与有理数对应关系．


知识点四：相反数
例4．﹣5的相反数是（　　）
A．5 B．﹣5 C． D．
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．


变式1．已知m，n互为相反数，则3+m+n=　3　．
【考点】14：相反数．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得m+n=0，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴3+m+n=3+0=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记互为相反数的两个数的和等于0是解题的关键．
　

变式2．的相反数是　1　．
【考点】14：相反数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”进行解答．
【解答】解：的相反数是1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
　
　
变式3．3﹣π的相反数是　π﹣3　．
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解：3﹣π的相反数是π﹣3，
故答案为：π﹣3．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．


知识点五：绝对值
例5．若|a|=2，则a的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．±2
【考点】15：绝对值．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据绝对值的意义即可得到答案．
【解答】解：∵|a|=2，
∴a=±2．
故选D．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．

　
变式1．下列说法正确的是（　　）
A．有理数的绝对值一定是正数
B．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等
C．如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是它的相反数
D．绝对值越大，这个数就越大
【考点】15：绝对值．
【分析】根据0的绝对值为0对A进行判断；根据绝对值和相反数的定义对B、C进行判断；根据正数的绝对值越大，这个数越大；负数的绝对值越大，这个数越小对D进行判断．
【解答】解：A、0的绝对值为0，所以A选项错误；
B、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，所以B选项错误；
C、如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是它的相反数，所以C选项正确；
D、正数的绝对值越大，这个数越大；负数的绝对值越大，这个数越小，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．
　

变式2．已知a的相反数是5，|b|=4，求|a+b|﹣|a﹣b|的值．
【考点】15：绝对值；14：相反数．
【分析】依据题意可知得到a=﹣5，b=±4，然后分为两种情况求解即可．
【解答】解：∵a的相反数是5，
∴a=﹣5．
∵|b|=4，
∴b=±4．
当a=﹣5，b=4时，原式=|﹣5+4|﹣|﹣5﹣4|=1﹣9=﹣8；
当a=﹣5，b=﹣4时，原式=|﹣5﹣4|﹣|﹣5+4|=9﹣1=8．
所以代数式|a+b|﹣|a﹣b|的值为8或﹣8．
【点评】本题主要考查的是绝对值、相反数的定义，熟练掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键．


变式3．已知|x|=3，|y|=7．
（1）若x＜y，求x+y的值；
（2）若xy＜0，求x﹣y的值．
【考点】15：绝对值．
【分析】由题意x=±3，y=±7，由于x＜y时，有x=3，y=7或x=﹣3，y=7，代入x+y即可求出答案．由于xy＜0，x=3，y=﹣7或x=﹣3，y=7，代入x﹣y即可求出答案．
【解答】解：由题意知：x=±3，y=±7，
（1）∵x＜y，
∴x=±3，y=7
∴x+y=10或 4
（2）∵xy＜0，
∴x=3，y=﹣7或x=﹣3，y=7，
∴x﹣y=±10，
【点评】本题考查绝对值的性质，涉及代入求值，分类讨论的思想，属于基础题型．


知识点六：有理数的大小比较
例6．把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数：
0，﹣（+4），3，﹣（﹣2），|﹣3|，+（﹣5），并用“＜”号连接．

【考点】15：绝对值；13：数轴．
【分析】先判断各数的大小，然后确定数轴的三要素即可在数轴上表示各数的位置．
【解答】解：∵﹣5＜﹣4＜0＜2＜3＜3，
∴+（﹣5）＜﹣（+4）＜0＜﹣（﹣2）＜|﹣3|＜3，
在数轴上表示：

【点评】本题考查数轴，涉及数轴的三要素，绝对值的性质，相反数的意义等知识，属于基础题型．


变式1．（1）在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来：
﹣3.5，0，﹣2，2，1.6，﹣．
（2）小明的家（记为A）与他上学的学校（记为B）、书店（记为C）依次坐落再一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边50米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了 70米达到D处．如果把这条大街看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点，请用数轴表示上述A，B，C，D的位置．
【考点】13：数轴；18：有理数大小比较．
【分析】（1）数轴概念：数轴是指规定了原点，正方向和单位长度的直线．
所有有理数都可以用数轴上的点来表示，也可以用数轴来比较两个有理数的大小．
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度称数轴的三要素，这三者缺一不可．
【解答】解：（1）在数轴上表示为：

按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来为：﹣3.5＜﹣2＜0＜＜1＜2＜5＜6．
（2）以学校门口为原点则B在数轴上值为0；书店在学校的东50米，则C在数轴上值为50；家在学校的西30米，则A在数轴上的值为﹣30；D在数轴上的值为40﹣70=﹣30．则A．B．C．D在数轴上的位置如图所示．

【点评】本题考查了数轴的概念和三要素，属于基础题，掌握数轴的概念和三要素是关键．在画数轴时，首先要确定数轴的三要素是否完整．
　

变式2．在数轴上表示下列有理数：﹣2.5，﹣（+1），﹣（﹣2），﹣|﹣3|，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接起来．

【考点】13：数轴．
【分析】先在数轴表示各个数，再比较即可．
【解答】解：
﹣|﹣3|＜﹣2.5＜﹣（+1）＜﹣（﹣2）．
【点评】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．


变式3．把32，（﹣2）3，0，|﹣|，﹣（2﹣5），+（﹣1）表示在数轴上，并将它们按从小到大的顺序排列．
【考点】18：有理数大小比较；13：数轴；1E：有理数的乘方．
【专题】17 ：推理填空题．
【分析】先分别根据有理数的乘方、绝对值的性质及去括号的法则把各数进行化简，再在数轴上表示出各数，从左到右用“＜”连接起来即可．
【解答】解：32=9，（﹣2）3=﹣8，0，|﹣|=，﹣（2﹣5）=3，+（﹣1）=﹣1，
在数轴上表示为：

按从小到大顺序排列为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
　

变式4．比较下列各组数的大小．
（1）与；（2），，，0．
【考点】18：有理数大小比较．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）先计算得到|﹣|==，|﹣|==，然后根据负数的绝对值越大，这个数越小进行大小比较；
（2）先计算﹣|﹣|=﹣，而|﹣|==，|﹣|==，则﹣＜﹣，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较．
【解答】解：（1）∵|﹣|==，|﹣|==，
∴﹣＜﹣；

（2）∵﹣|﹣|=﹣，
而|﹣|==，|﹣|==，
∴﹣＜﹣，
∴，，，0的大小关系为：﹣＜﹣|﹣|＜0＜．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
　
拓展点一：有理数的数集问题
例7．如图，两个圈分别表示负数集和整数集，请你从﹣3，9，0，﹣10%，3.14，，1300这些数中，选择适当的数填在这两个圈的重叠部分．

【考点】12：有理数．
【专题】1 ：常规题型．
【分析】先把各数写在各个解集里，两个集合里都含有的数就是符合条件的数．
【解答】解：﹣3，9，0，﹣10%，3.14，，1300中，
属于正数的有：9，3.14，，1300；
属于整数的有：﹣3，9，0，1300．
所以重叠的数是9，1300．
【点评】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字0，它不属于正数和负数，是整数．


变式1．将下列各数填在相应的圆圈里：
+6，﹣8，75，﹣0.4，0，23%，，﹣2006，﹣1.8；﹣

【考点】12：有理数．
【分析】根据有理数的分类即可判断．
【解答】解：故答案为：

【点评】本题考查有理数的分类，属于基础题型．
　

变式2．把下列各数填入大括号：﹣2.4，3，2.004，﹣，1，﹣，0，π，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣4|，﹣2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）
正有理数集合：（　3，2.004，1，﹣（﹣2.28），3.14　 …）；
整数集合：（　3，0，﹣|﹣4|，　…）；
负分数集合：（　﹣2.4，﹣，﹣　 …）；
无理数集合：（　π，﹣2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）　 …）．
【考点】12：有理数．
【分析】按照有理数的分类填写：
有理数．
无理数是无限不循环小数．
【解答】解：正有理数集合：（ 3，2.004，1，﹣（﹣2.28），3.14 …）
整数集合：（ 3，0，﹣|﹣4|，…）
负分数集合：（﹣2.4，﹣，﹣…）
无理数集合：（ π，﹣2.1010010001…（每两个1之间依次增加1个0）…）．
【点评】此题主要考查了有理数和无理数，掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
　

拓展点二：符号化简问题
例8．化简：
（1）﹣{+[﹣（+3）]}；
（2）﹣{﹣[﹣（﹣|﹣3|）}．
【考点】14：相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：（1）原式=﹣{+[﹣3]}=﹣{﹣3}=3；
（2）原式=﹣{﹣[﹣（﹣3）]}=﹣{﹣[+3]}=﹣{﹣3}=3．
【点评】本题考查了相反数，去小括号、中括号、大括号的顺序，得出答案．
　

变式1．化简：
（1）+（﹣0.5）
（2）﹣（+10.1）
（3）+（+7）
（4）﹣（﹣20）
（5）+[﹣（﹣10）]
（6）﹣[﹣（﹣）]．
【考点】14：相反数．
【分析】（1）直接去括号化简求出即可；
（2）直接去括号化简求出即可；
（3）直接去括号化简求出即可；
（4）直接去括号化简求出即可；
（5）直接去括号化简求出即可．
【解答】解：（1）+（﹣0.5）=﹣0.5；

（2）﹣（+10.1）=﹣10.1；

（3）+（+7）=7；

（4）﹣（﹣20）=20；

（5）+[﹣（﹣10）]=10；

（6）﹣[﹣（﹣）]=﹣．
【点评】此题主要考查了相反数的定义以及去括号法则，正确化简各数是解题关键．


拓展点三：利用数轴解决问题
例9．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“＜”号连接起来：﹣，﹣2，，﹣|﹣5|，﹣（﹣5）
【考点】13：数轴．
【分析】先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“＜”连接起来即可．
【解答】解：如图所示，
，
由图可知，﹣|﹣5|＜﹣2＜﹣＜＜﹣（﹣5）．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键．
　

变式1．如下图在数轴上有三个点A，B，C，请回答：
（1）将点B向左移动3个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（2）将点A向右移动4个单位后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（3）将C点向左移动6个单位后，这时B点所表示的数比C点表示的数大多少？

【考点】13：数轴．
【分析】（1）找出移动后点A、B、C表示的数，比较后即可得出结论；
（2）找出移动后点A、B、C表示的数，比较后即可得出结论；
（3）找出移动后点A、B、C表示的数，做差后即可得出结论．
【解答】解：（1）移动后，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为﹣5，点C表示的数为3，
∵﹣5＜﹣4＜3，
∴点B表示的数最小，是﹣5；
（2）移动后，点A表示的数为0，点B表示的数为﹣2，点C表示的数为3，
∵﹣2＜0＜3，
∴点B表示的数最小，是﹣2；
（3）移动后，点A表示的数为﹣4，点B表示的数为﹣2，点C表示的数为﹣3，
∴﹣2﹣（﹣3）=1．
∴将C点向左移动6个单位后，这时B点所表示的数比C点表示的数大1．
【点评】本题考查了数轴，根据数轴找出点表示的数是解题的关键．
　

变式2．数轴上的点A、B、C、D、O分别表示、﹣5、2、、0．
（1）在如图所示的数轴上画出点A、B、C、D、O；
（2）比较这五点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来；
（3）有同学说：“B、D两点间的距离恰好是A、C两点间的距离的3倍”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由．

【考点】13：数轴；18：有理数大小比较．
【分析】（1）把各点在数轴上表示出来即可；
（2）从左到右用“＜”把各数连接起来即可；
（3）根据数轴上两点间距离的定义即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
；

（2）由图可知，﹣5＜﹣1＜0＜2＜4；

（3）错误．
∵B、D两点间的距离是9，AC两点间的距离是3，
∴BD≠3AC．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的数大的特点是解答此题的关键．
　

变式3．邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行2km到达A村，继续向东骑行3km到达B 村，然后向西骑行9km到C村，最后回到邮局．
（1）以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，请你在数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置；

（2）C村离A村有多远？
（3）若摩托车每1km耗油0.03升，这趟路共耗油多少升？
【考点】13：数轴．
【分析】（1）根据题意画出数轴即可
（2）根据数轴即可求出CA的距离
（3）求出邮递员走的总路程，根据题意即可求出耗油的数量
【解答】解：（1）依题意得，数轴为：
（2）依题意得：点C与点A的距离为：2+4=6km
（3）依题意得，邮递员骑了：2+3+9+4=18km
∴共耗油量为：18×0.03=0.54（升）
答：这趟路共耗油0.54升．

【点评】本题考查数轴，解题的关键是根据题意画出数轴，本题属于基础题型．
　

变式4．如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答问题：

（1）将A点向左移动5个单位长度，这时的点表示的数是　﹣1　．
（2）怎样移动A、B、C的其中一个点，才能使点C恰好是线段AB的中点？请写出三种移动的方法．
方法一：　将C向右移动4个单位　，
方法二：　将B向左移动8个单位　，
方法三：　将A向左移动8个单位　．
【考点】13：数轴．
【分析】（1）根据平移的性质可求出答案．（2）由于没有说明移动哪一个点，故有三种情况．
【解答】解：（1）由数轴可知：A表示的数为4，
向左移动5个单位时，4﹣5=﹣1，
故这时表示的数为﹣1，
（2）当点C移动时，
此时只需要将C向右移动4个单位即可．
当点B移动时，
此时只需将B向左移动8个单位即可．
当点A移动时，
此时只需将A向左移动8个单位即可．
故答案为：（1）﹣1；（2）将C向右移动4个单位；B向左移动8个单位；将A向左移动8个单位
【点评】本题考查数轴，涉及平移的性质，有理数加减法，属于基础题型．
　

拓展点四：互为相反数的性质
例10．已知2x与﹣6互为相反数，求x的值．
【考点】14：相反数．
【分析】由相反数的定义得到关于x的方程2x+（﹣6）=0，通过解方程可以求得x的值．
【解答】解：∵2x与﹣6互为相反数，
∴2x+（﹣6）=0，
解得，x=3．即x的值是3．
【点评】本题考查了相反数．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

　
变式1．如果a，b表示有理数，a的相反数是2a+1，b的相反数是3a+1，求2a﹣b的值．
【考点】14：相反数．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，可得二元一次方程组，根据解二元一次方程组，可得a、b的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：a的相反数是2a+1，b的相反数是3a+1，
，
解得
2a﹣b=2×﹣0
=﹣．
【点评】本题考查了相反数，互为相反数的两个数的和为0是解题关键．

　
变式2．已知|x﹣3|=0，|2y|=4，求x﹣y 的值．
【考点】15：绝对值．
【分析】利用绝对值的性质即可求出x与y的值，然后代入x﹣y即可；
【解答】解：∵|x﹣3|=0，|2y|=4，
∴x﹣3=0，2y=±4，
∴x=3，y=±2，
∴x﹣y=5或1
【点评】本题考查绝对值的性质运算，属于基础题型．


拓展点五：利用绝对值得性质解决问题
例11．已知|a|=7，|b|=3，求a+b的值．
【考点】15：绝对值．
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据绝对值的意义进行分析：互为相反数的两个数的绝对值相等．然后a，b搭配的时候，注意考虑四种情况．
【解答】解：∵|a|=7，|b|=3．
∴a=±7，b=±3．
①当a=7，b=3时，a+b=7+3=10；
②当a=7，b=﹣3时，a+b=7﹣3=4；
③当a=﹣7，b=3时，a+b=﹣7+3=﹣4；
④当a=﹣7，b=﹣3时，a+b=﹣7﹣3=﹣10．
【点评】考查了绝对值的性质和有理数的运算．
此题要特别注意a和b结合起来分析，有四种情况．


变式1．在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点．
求|a+b|++|a+1|的值．

【考点】15：绝对值；13：数轴．
【专题】11 ：计算题．
【分析】首先根据已知及数轴得出|a+b|，||，|a+1|，从而求出原式的值．
【解答】解：∵O为AB的中点，则a+b=0，a=﹣b （3分）．
有|a+b|=0，=1．（4分）
由数轴可知：a＜﹣1．（5分）
则|a+1|=﹣a﹣1．（7分）
∴原式=0+1﹣a﹣1=﹣a．（8分）
【点评】此题主要考查利用求数轴上两点的距离和中点的性质．
　

变式2．阅读材料：我们知道，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点间的距离表示为AB．则AB=|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题：
（1）若|x﹣3|=|x+1|，则x=　1　；
（2）式子|x﹣3|+|x+1|的最小值为　4　；
（3）请说出|x﹣3|+|x+1|=7所表示的几何意义，并求出x的值．

【考点】15：绝对值；13：数轴．
【分析】（1）根据绝对值的意义，可知|x﹣3|是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离，|x+1|是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点之间的距离，若|x﹣3|=|x+1|，则此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，由此可得到关于x的方程，求出x的值即可；
（2）求|x﹣3|+|x+1|的最小值，由线段的性质，两点之间，线段最短，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
（3）由于x﹣3及x+1的符号不能确定，故应分x＞3，﹣1≤x≤3，x＜﹣1三种情况解答．
【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知，此点必在﹣1与3之间，故x﹣3＜0，x+1＞0，
∴原式可化为3﹣x=x+1，
∴x=1；

（2）根据题意，可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．
∴|x﹣3|=3﹣x，|x+1|=x+1，
∴|x﹣3|+|x+1|=3﹣x+x+1=4；

（3）几何意义：在数轴上与3和﹣1的距离和为7的点对应的x的值．
在数轴上3和﹣1的距离为4，则满足方程的x的对应点在﹣1的左边或3的右边．
若x的对应点在﹣1的左边，则x=﹣2.5；
若x的对应点在3的右边，则x=4.5．
所以原方程的解是x=﹣2.5或x=4.5．
故答案为：1，4．
【点评】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．
　

变式3．已知零件的标准直径是100mm，超过标准直径长度的数量（mm）记作正数，不足标准直径长度的数量（mm）记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查结果如下：
序号
1
2
3
4
5
直径长度（ mm）
+0.1
﹣0.15
0.2
﹣0.05
+0.25
（1）指出哪件样品的大小最符合要求；
（2）如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18～0.22mm之间是次品，误差的绝对值超过0.22mm是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？
【考点】15：绝对值；11：正数和负数．
【分析】（1）表中的数据是零件误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好；
（2）因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小，每件样品所对应的结果的绝对值，即为零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，就可确定是正品、次品还是废品，
【解答】解：（1）第4件样品的大小最符合要求．

（2）因为|+0.1|=0.1＜0.18，|﹣0.15|=0.15＜0.18，|﹣0.05|=0.05＜0.18．所以第1、2、4件样品是正品；
因为|0.2|=0.2，0.18＜0.2＜0.22，所以第3件样品为次品；
因为|+0.25|=0.25＞0.22，所以第5件样品为废品．
【点评】考查了绝对值，绝对值越小表示数据越接近标准数据，绝对值越大表示数据越偏离标准数据，绝对值也能反映一组数据的离散程度．
　

变式4．代数式|x+2|+|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|的最小值为　8　．
【考点】15：绝对值．
【专题】11 ：计算题；32 ：分类讨论．
【分析】分类讨论：当x≤﹣3；当﹣3＜x≤﹣2；当﹣2＜x＜1；当1≤x≤2；当x≥2，分别去绝对值，然后计算最小值，再比较即可．
【解答】解：（1）当x≤﹣3，
原式=﹣x﹣2﹣x+2﹣x﹣3﹣x+1=﹣4x﹣2；最小值=﹣4×（﹣3）﹣2=10；
（2）当﹣3＜x≤﹣2，
原式=﹣x﹣2﹣x+2+x+3﹣x+1=﹣2x+4；最小值=﹣2×（﹣2）+4=8；
（3）当﹣2＜x＜1，
原式=x+2﹣x+2+x+3﹣x+1=8；
（4）当1≤x≤2，
原式=x+2﹣x+2+x+3+x﹣1=2x+6；最小值=8；
（5）当x≥2，
原式=x+2+x﹣2+x+3+x﹣1=4x+2，最小值=10．
故答案为8．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|=a；若a=0，则|a|=0；若a＜0，则|a|=﹣a．
　

变式5．已知a、b、c三个数在数轴上对应点如图，其中O为原点，化简|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|．

【考点】15：绝对值；13：数轴．
【专题】31 ：数形结合．
【分析】先根据数轴得出a、b、c的取值范围，再根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数来化简所求的式子，再进行合并即可．
【解答】解：根据数轴可得
c＜b＜0＜a，
∴|b﹣a|﹣|2a﹣b|+|a﹣c|﹣|c|=a﹣b﹣（2a﹣b）+a﹣c﹣（﹣c）=a﹣b﹣2a+b+a﹣c+c=0．
【点评】本题考查了绝对值的概念，解题的关键是能根据数轴确定a、b、c的取值范围．