高中人教版新课标A第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课后练习题

学业分层测评(二十)

 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题　　　 　　　　　　 　　　　　

1．下列函数没有零点的是(　　)

A．f(x)＝0   B．f(x)＝2

C．f(x)＝x2－1   D．f(x)＝x－

【解析】　函数f(x)＝2，不能满足方程f(x)＝0，因此没有零点．

【答案】　B

2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0   B．－2,0

C.   D．0

【解析】　当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，选D.

【答案】　D

3．函数f(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是(　　)

A．(－2,0)   B．(0,1)

C．(1,2)   D．(2,3)

【解析】　∵f(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，

f(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f(x)的零点必在区间(1,2)上，故选C.

【答案】　C

4．已知0＜a＜1，则函数y＝|logax|－a|x|零点的个数是(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．1个或2个或3个

【解析】　∵0＜a＜1，函数y＝|logax|－a|x|的零点的个数就等于方程a|x|＝|logax|的解的个数，

即函数y＝a|x|与y＝|logax|图象的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|logax|的交点的个数为2，故选B.

【答案】　B

5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)   B．(1,2)

C．(0，＋∞)   D．(0,1)

【解析】　若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．函数y＝|2x－1|的图象如图所示

由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.

【答案】　D

二、填空题

6．函数f(x)＝的零点是________．

【解析】　令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.

【答案】　1

7．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．

【解析】　由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.

【答案】　(0,4)

8．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________.

【解析】　画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示

观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.

【答案】　a＜b＜c

三、解答题

9．设函数f(x)＝

(1)画出函数y＝f(x)的图象；

(2)讨论方程|f(x)|＝a的解的个数．(只写明结果，无需过程)

【解】　(1)函数y＝f(x)的图象如图所示：

(2)函数y＝|f(x)|的图象如图所示：

①0＜a＜4时，方程有四个解；

②a＝4时，方程有三个解；

③a＝0或a＞4时，方程有二个解；

④a＜0时，方程没有实数解．

10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.

(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．

【解】　(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，

即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，

所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．

需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.

故b的取值范围为(4，＋∞)．

[能力提升]

1．函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3，＋∞)

【解析】　易知函数f(x)＝x＋lg x－3在定义域上是增函数，f(1)＝1＋0－3＜0，

f(2)＝2＋lg 2－3＜0，f(3)＝3＋lg 3－3＞0，

故函数f(x)＝x＋lg x－3的零点所在的区间为(2,3)，故选C.

【答案】　C

2．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．0

【解析】　由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在区间[0，a]上只有一个零点，设为x0，则f(x0)＝0，又因为f(x)为偶函数，所以f(－x0)＝f(x0)＝0，即－x0是函数在[－a,0]内唯一的零点，故方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.

【答案】　B

3．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：

①在(－2，－1)内有实数根；

②在(－1,0)内有实数根；

③在(1,2)内有实数根；

④在(－∞，＋∞)内没有实数根．

其中正确的有________．(填序号)

【解析】　设f(x)＝x3＋x2－2x－1，

则f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，

f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，

f(2)＝7>0，

则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确．

【答案】　①②③

4．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围.

(1)零点均大于1；

(2)一个零点大于1，一个零点小于1；

(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．

【解】　(1)因为方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得2≤a<，即a的取值范围是.

(2)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f(1)＝5－2a<0，解得a>，即a的取值范围是.

(3)因为方程x2－2ax＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得解得<a<，

即a的取值范围是.