人教版新课标A必修13.1.1方程的根与函数的零点导学案及答案

3．1　函数与方程

3．1.1　方程的根与函数的零点

授课提示：对应学生用书第57页

[基础认识]

知识点一　函数的零点

　如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：

(1)根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？

提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.

(2)你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？

提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．

(3)函数的零点是“点”吗？

提示：函数的零点不是点，而是函数y＝f(x)与x轴的交点的横坐标，即零点是一个实数．当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零．　　　

　知识梳理　1.函数的零点

对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

知识点二　函数零点的判断

　函数f(x)＝x2－4x＋3的图象如图．

(1)函数的零点是什么？

提示：1,3.

(2)判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号．

提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3，

∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.　　　

　知识梳理　函数零点的存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

思考：该定理具备哪些条件？

提示：定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0.

[自我检测]

1．函数y＝4x－2的零点是(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．(－2,0)

C.   D.

解析：令y＝4x－2＝0得x＝，故函数y＝4x－2的零点是.

答案：D

2．若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是__________．

解析：由函数零点存在性定理和函数的单调性知，

f(x)在区间(2,5)上有且只有一个零点．

答案：1

3．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为__________．

解析：∵y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，

∴函数零点所在区间为(2,3)．

答案：(2,3)

授课提示：对应学生用书第58页

探究一　求函数的零点

[例1]　判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；

(2)f(x)＝1－log2(x＋3)；

(3)f(x)＝2x－1－3；

(4)f(x)＝.

[解析]　(1)解方程f(x)＝x2＋7x＋6＝0，

得x＝－1或x＝－6，

所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程f(x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，

所以函数的零点是－1.

(3)解方程f(x)＝2x－1－3＝0，得x＝log26，

所以函数的零点是log26.

(4)解方程f(x)＝＝0，得x＝－6，

所以函数的零点为－6.

方法技巧　函数零点的求法

求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．

跟踪探究　1.若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，

∴f(x)＝x2＋x－6.

解方程x2＋x－6＝0，

得x＝－3或2.

∴函数f(x)其余的零点是2.

探究二　判断函数零点所在的区间

　[阅读教材P88练习2题]利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：

(1)f(x)＝－x3－3x＋5；(2) f(x)＝2x·ln(x－2)－3；

(3) f(x)＝ex－1＋4x－4；(4) f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x.

题型：判断函数零点所在区间

[例2]　函数f(x)＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

[解析]　f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定义域内是增函数，则函数f(x)＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)．

[答案]　C

方法技巧　判断函数零点所在区间的三个步骤

(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值．

(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．

(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.

跟踪探究　2.根据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是(　　)

A.(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：设f(x)＝ex－2x－5，此函数的图象是连续不断的，

由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，

f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，

f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，

f(3)＝20.09－11＝9.09＞0，

f(4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f(2)·f(3)<0，

所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．

探究三　函数零点的个数

　[阅读教材P88例1]求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数．

题型：求零点的个数

[例3]　已知0<a<1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　函数y＝a|x|－|logax|(0<a<1)的零点的个数即方程a|x|＝|logax|(0<a<1)的根的个数，也就是函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数．

画出函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)＝a|x|(0<a<1)与g(x)＝|logax|(0<a<1)的图象的交点的个数为2，从而函数y＝a|x|－|logax|的零点的个数为2.

[答案]　B

延伸探究　1.把本例函数“y＝a|x|－|logax|”改为“y＝2x|logax|－1”，再判断其零点个数．

解析：由2x|logax|－1＝0得|logax|＝x，作出y＝x及y＝|logax|(0<a<1)的图象如图所示．

由图可知，两函数的图象有两个交点，

所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．

2．若把本例条件换成“函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点”，求实数b的取值范围．

解析：由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.

在同一平面直角坐标系中分别画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．

则当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．

授课提示：对应学生用书第59页

[课后小结]

1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

3．(1)求函数f(x)的零点，通常转化为解方程f(x)＝0；(2)确定函数的零点、所在的区间，通常利用零点存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．

4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，体现了函数与方程思想的应用．

[素养培优]

　数形结合思想的应用

　对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内(　　)

A．一定有零点　　　　　 B．一定没有零点

C．可能有两个零点  D．至多有一个零点

思路探究：(1)数形结合借助几何直观感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，将数(量)与形(图)结合起来，把函数与方程结合起来，灵活运用给解决问题带来很大方便．

(2)数形结合的思想方法的核心是根据题意画出符合条件的图象，然后根据图象进行判断．

解析：若函数f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图①，图②所示，可知A错．若如图③所示，可知B错、D错．故C正确．

答案：C