人教版新课标A必修13.1.1方程的根与函数的零点教案设计
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3.1.1 函数零点的存在性定理
（一）教学目标
1．知识与技能
体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.
2．过程与方法
经历由特殊到一般的过程，在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而掌握零点存在性定理的过程中，养成研究问题的良好的思维习惯.
3．情感、态度与价值观
经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程，学会观察问题，发现问题，从而解决问题；养成良好的科学态度，享受探究数学知识的乐趣.
（二）教学重点与难点
重点：掌握零点存在性定理并能应用.
难点：零点存在性定理的理解
（三）教学方法
通过问题发现生疑，通过问题解决析疑，从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法，即学生自主探究与教师启发，引导相结合.
（四）教学过程
教学环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 | ||||||||||||||||||||||||
复习回顾提出问题 | 1．函数零点的概念 2．函数零点与方程根的关系 3．实例探究 已知函数y= x2+4x– 5，则其零点有几个？分别为多少？ | 生：口答零点的定义，零点与根的关系 师：回顾零点的求法 生：函数y= x2+4x– 5的零点有2个，分别为–5，1 | 回顾旧知， 引入新知 | ||||||||||||||||||||||||
示例探究引入课题 | 1．探究函数y = x2 + 4x – 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系 | 师：引导学生利用图象观察零点的所在区间，说明区间端一般取整数. 生：零点–5∈(–6，–4) 零点1∈(0，2) 且f (–6)·f (–4)＜0 f (0)·f (2)＜0 师：其它函数的零点是否具有相同规律呢？观察下列函数的零点及零点所在区间. ①f (x) = 2x – 1， ②f (x) = log2(x – 1) 生：函数f (x) = 2x – 1的零点为且f (0) f (1)＜0. 函数f (x) = log2(x – 1)的零点为2∈(1，3)且f (1) f (3)＜0 | 由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理 | ||||||||||||||||||||||||
发现定理 | 零点存在性定理 如果函数y = f (x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a)·f (b)＜0那么，函数y = f (x)在区间[a，b]内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根 | 师生合作分析，并剖析定理中的关键词 ①连续不断 ②f (a)·f (b)＜0 师：由于图象连续不断， 若f (a)＞0，f (b)＜0，则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点 | 形成定理，分析关键词，了解定理. | ||||||||||||||||||||||||
深化理解 | 定理的理解 （1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点 （2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号 （3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数 | 师：函数y = f (x) = x2 – ax + 2在(0，3)内，①有2个零点. ②有1个零点，分别求a的取值范围. 生：①f(x)在(0，1)内有2个零点，则其图象如下
则 ②f(x)在(0，3)内有1个零点 则 | 通过实例 分析，从而进一步理解 定理，深化 定理. | ||||||||||||||||||||||||
应用举例 |
例1 求函数f (x) = lnx + 2x – 6的零点的个数. | 师生合作探求解题思路，老师板书解答过程 例1 解：用计算器或计算机作出x，f (x)的对应值表和图象.
由表和图可知，f (2)＜0，f (3)＞0，则f (2)· f (3)＜0，这说明函数f (x)在区间(2，3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数，所以它仅有一个零点. | 师生合作交流，体会定理的应用 | ||||||||||||||||||||||||
练习巩固 |
练习1.利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间： （1）f (x) = –x3 –3x + 5； （2）f (x) = 2x·ln(x – 2) – 3； （3）f (x) =ex–1 + 4x – 4； （4）f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x. | 学生尝试动手练习，老师借助计算机作图，师生合作交流分析，求解问题. 练习1解：（1）作出函数图象，因为f (1) = 1＞0，f (1,5 ) = –2.875＜0所以f (x) = –x3 –3x + 5在区间(1，1.5)上有一个零点. 又因为 f(x)是上的减函数，所以f(x) = –x3 –3x + 5在区间(1，1.5)上有且只有一个零点. （2）作出函数图象，因为f(3)＜0，f(4)＞0，所以f(x)=2x·ln(x–2) –3在区间(3，4)上有一个零点. 又因为f(x)=2x·ln(x–2) –3在上是增函数，所以f(x) 在上有且仅有一个(3，4)上的零点 （3）作出函数图象，因为f(0)＜0，f(1)＞0，所以f (x) =ex–1 + 4x – 4在区间(0，1)上有一个零点 又因为f(x) =ex–1 + 4x – 4在上是增函数，所以f(x)在上有且仅有一个零点. （4）作出函数图象，因为f (–4)＜0，f (–3)＞0，f (–2)＜0，f (2)＜0，f (3)＞0，所以f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x在(–4，–3)，(–3, –2)，(2，3)上各有一个零点 . | 尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，师生合作完成问题求解，从而固化知识与方法，提升思维能力. | ||||||||||||||||||||||||
归纳总结 | 1．数形结合探究函数零点 2．应用定理探究零点及存在区间. 3．定理应用的题型：判定零点的存在性及存在区间. | 学生总结师生完善补充 | 学会整理知识，培养自我归纳知识的能力 | ||||||||||||||||||||||||
课后练习 | 3.1第二课时 习案 | 学生自主完成 | 整合知识，提升能力 |
备选例题
例1 已知集合A = {x∈R|x2 – 4ax + 2a + 6 = 0}，B = { x∈R|x＜0}，若A∩B≠，求实数a的取值范围.
【解析】设全集U = {a|△= (–4a)2 – 4 (2a + 6)≥0}
=
=
若方程x2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1，x2均非负，则
因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}，所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}.
例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 – 1 = 0， x∈R}，若A∪B = A，求实数a的值.
【解析】∵A = {x | x2 + 4x = 0，x∈R}，∴A = {–4，0}.
∵A∪B=A，∴BA.
1°当B = A，即B = {–4，0}时，由一元二次方程根与系数的关系得
2°当B=，即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 –1 = 0无实解.
∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a2 – 1) = 8a + 8＜0.
解得，a＜–1.
3°当B = {0}，即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时，
4°当B = {–4}时，即需
无解.
综上所述，若A∪B=A，则a≤–1或a = 1.
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