人教版新课标A必修13.1.1方程的根与函数的零点教案

3.1.1方程的根与函数的零点

班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________

课前预习 · 预习案

【温馨寄语】

高尚的理想是人生的指路明灯。有了它，生活就有了方向；有了它，内心就感到充实。迈开坚定的步伐，走向既定的目标吧!

【学习目标】

1．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间.

2．掌握判断函数零点的方法.

3．了解函数零点的概念,领会函数零点与相应方程的根的关系.

【学习重点】

通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识

【学习难点】

恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解

【自主学习】

1．一元二次方程的根与二次函数的图象的关系(以为例)：

请观察所给的三个二次函数的图象,完成下表：

2．函数的零点

对于函数把使的实数              叫做函数的零点.

3．方程的根、函数的零点、函数图象之间的关系

方程有实根函数的图象与轴有          函数有          .

4．函数零点的判断

(1)条件：

函数在上,

①图象是              的一条曲线.

②           0.

(2)结论：

在区间内有              ,即存在使得              .

【预习评价】

1．函数的零点是

A.1           B.2            C.4          D.-2

2．函数的零点个数是

A.0           B.1            C.2          D.3

3．函数的零点所在的区间是

A.(1,2)     B.(-1,-2)    C.(0,1)    D.(-1,0)

4．函数的零点为          .

5．已知函数的图象与轴有三个不同的交点,则函数有         个零点.

6．已知函数在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,则函数在区间(2,5)上零点的个数是          .

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．函数的零点 结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数),思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.

2．函数零点的判断

根据函数零点的判断依据,若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且那么函数在区间内存在零点.探究以下问题：

(1)若那么函数在区间内一定没有零点吗？

(2)若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,那么函数在区间内有零点一定有吗？

(3)若函数在区间上的图象不是连续不断的一条曲线,满足.那么函数在区间内有唯一零点的条件是什么？

【教师点拨】

1．对函数零点的两点说明

(1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其函数值等于零.

(2)由于函数的零点就是方程的实根,因此判断函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程是否有实根,有几个实根.

2．对函数零点判断的两点说明

(1)当函数同时满足：

①函数的图象在闭区间上是连续曲线；

②则可以判断函数在区间内至少有一个零点.

(2)当函数的图象在闭区间上不是连续曲线或不满足时,函数在区间内可能存在零点,也可能不存在零点.

【交流展示】

1．函数的图象与轴的交点坐标及其零点分别是

2．函数的零点是

3．若函数在区间上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是

A.若，则不存在实数使得

B.若，则存在且只存在一个实数使得

C.若，则有可能存在实数使得

D.若，则有可能不存在实数使得

4．设函数的零点为，则所在区间是

5．函数的一个零点比1大，另一个零点比1小，则实数的限值范围是                 .

6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(-1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求的取值范围.

【学习小结】

1．求函数零点的两种方法

(1)代数法：求相应方程的实数根.

(2)几何法：对于方程的根不易求解时,或者只探究函数零点的个数问题,可以通过将方程的根转化为函数的图象与轴交点的横坐标问题.

2．判断函数存在零点的三种方法

(1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.

(2)图象法：由得在同一坐标系内作出

和的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.

(3)定理法：函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线,由

即可判断函数在区间内至少有一个零点.若函数在区间上是单调函数,则函数在区间内只有一个零点.

【当堂检测】

1．若函数有一个零点为2，那么函数的零点是

2．函数有零点的区间是

3．函数的零点的个数是          .

4．函数的两个零点是2和3，求函数的零点.

5．若函数没有零点，求实数取值范围.

答案

课前预习 · 预习案

【自主学习】

1．2个不等实根　2个等根　2　1　0,

Δ＝0　Δ＜0　　　

2．x

3．交点　零点

4．(1)①连续不断　②＜

(2)零点　f(c)＝0

【预习评价】

1．B

2．A

3．D

4．1,－2,3

5．3

6．1

知识拓展 · 探究案

【合作探究】

1．不一定.因为函数的零点就是方程的根,但不是所有的方程都有根,所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数,其图象都在x轴的上方,与x轴没有交点,故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.

2．(1)不一定.如y＝x2－1在区间(－2,2)上有两个零点,但f(2)·f(－2)＞0.

(2)不一定.可能有f(a)·f(b)≥0.

(3)函数y＝f(x)在区间(a,b)内单调.

【交流展示】

1．B

2．A

3．C

4．B

5．

6．m的取值范围为

【当堂检测】

1．A

2．C

3．2

【解析】由y＝1nx：与的图象如图，可知有两个交点.

4．由题意知方程x2－ax－b＝0的两根分别为2和3，所以a＝5，b＝－6，所以g(x)＝－6x2－5x－1.由－6x2－5x－1＝0，得，.

所以函数g(x)的零点是，.

5．由题意令，函数的图象如图.

函数f(x)没有零点，即直线y＝a与函数的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0.故a的取值范围为(－∞，0).