人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念导学案及答案

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6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
1．向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
2．向量的几何表示
(1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量可以用有向线段eq \(AB,\s\up14(→))来表示．向量eq \(AB,\s\up14(→))的大小称为向量 eq \(AB,\s\up14(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up14(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→)).
思考：(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
3．向量的有关概念
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]
2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [①②③不是向量，④⑤是向量．]
3．已知|eq \(AB,\s\up14(→))|＝1，|eq \(AC,\s\up14(→))|＝2，若∠ABC＝90°，则|eq \(BC,\s\up14(→))|＝________.
eq \r(,3) [△ABC是以B为直角的直角三角形，所以|eq \(BC,\s\up14(→))|＝eq \r(,22－12)＝eq \r(,3).]
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
(1)eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(BC,\s\up14(→))；(2)eq \(OB,\s\up14(→))与eq \(OD,\s\up14(→))；
(3)eq \(AC,\s\up14(→))与eq \(BD,\s\up14(→))；(4)eq \(AO,\s\up14(→))与eq \(OC,\s\up14(→)).
(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(OB,\s\up14(→))≠eq \(OD,\s\up14(→))，
eq \(AC,\s\up14(→))≠eq \(BD,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→)).]
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
[思路探究] 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
2．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
③ [①错误．若b＝0，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))必须在同一直线上．]
【例2】 (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．
(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
①eq \(OA,\s\up14(→))，使|eq \(OA,\s\up14(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
②eq \(AB,\s\up14(→))，使|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，点B在点A正东；
③eq \(BC,\s\up14(→))，使|eq \(BC,\s\up14(→))|＝6，点C在点B北偏东30°.
(1)12 [可以写出12个向量，分别是：eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(BD,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(BA,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(DB,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→)).]
(2)[解] ①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up14(→))|＝4eq \r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up14(→))如图所示．
②由于点B在点A正东方向处，且|eq \(AB,\s\up14(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up14(→))如图所示．
③由于点C在点B北偏东30°处，且|eq \(BC,\s\up14(→))|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up14(→))如图所示．
1．向量的两种表示方法
(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．
(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(EF,\s\up14(→))等．
2．两种向量表示方法的作用
(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．
(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．
2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))；
(2)求eq \(AD,\s\up14(→))的模．
[解] (1)作出向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，如图所示：
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)，所以|eq \(AD,\s\up14(→))|＝5eq \r(5)米.
[探究问题]
1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
2．若eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→))，则从直线AB与直线CD的关系和eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
[提示] 分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))同向；
(2)直线AB和直线CD重合，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))反向；
(3)直线AB∥直线CD，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))同向；
(4)直线AB∥直线CD，eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))反向．
【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，eq \(OC,\s\up14(→))＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
[思路探究] 根据相等向量与共线向量的概念寻找所求向量．
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→)).
(2)与a共线的向量有eq \(EF,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(DA,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→)).
(3)与a相等的向量有eq \(EF,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up14(→))，eq \(EO,\s\up14(→))，eq \(FA,\s\up14(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up14(→))，eq \(ED,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→)).
1．本例条件不变，写出与向量eq \(BC,\s\up14(→))相等的向量．
[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与eq \(BC,\s\up14(→))相等的向量有eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→)).
2．本例条件不变，写出与向量eq \(BC,\s\up14(→))长度相等的共线向量．
[解] 与eq \(BC,\s\up14(→))长度相等的共线向量有：eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))，eq \(DO,\s\up14(→))，eq \(AO,\s\up14(→))，eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(FE,\s\up14(→))，eq \(EF,\s\up14(→)).
3．在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
1．向量是近代数学重要的和基本的数学概念之一，有深刻的几何和物理背景，它是沟通代数、几何的一种工具，注意向量与数量的区别与联系．
2．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.
1．判断正误
(1)长度为0的向量都是零向量．( )
(2)零向量的方向都是相同的．( )
(3)单位向量的长度都相等．( )
(4)单位向量都是同方向. ( )
(5)任意向量与零向量都共线．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]
3．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．
④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]
4．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)写出与eq \(DA,\s\up14(→))平行的向量；
(2)写出与eq \(DA,\s\up14(→))模相等的向量．
[解] 由题图可知，
(1)与eq \(DA,\s\up14(→))平行的向量有：eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))；
(2)与eq \(DA,\s\up14(→))模相等的向量有：
eq \(AD,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CB,\s\up14(→))，eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BA,\s\up14(→))，eq \(DC,\s\up14(→))，eq \(CD,\s\up14(→))，eq \(BD,\s\up14(→))，eq \(DB,\s\up14(→)).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
1.从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．
2．类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．
3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养.
零向量
长度为0的向量，记作0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量
(共线向量)
方向相同或相反的非零向量
向量a，b平行，记作a∥b
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
向量a与b相等，记作a＝b
向量的有关概念
向量的表示及应用
相等向量和共线向量