高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案设计

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1．相反向量
(1)定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．
(2)性质：①－(－a)＝a.②对于相反向量有：a＋(－a)＝0.
③若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.
2．向量的减法
(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)作法：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(OB,\s\up14(→))＝b，则向量eq \(BA,\s\up14(→))＝a－b，如图所示．
思考：在什么条件下，|a－b|＝|a|＋|b|?
[提示] 当a，b至少有一者为0或a，b非零且反向时成立．
1．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是( )
A．m＝n B．m＝－n
C．|m|＝|n| D．方向相反
A [由条件可知，当m≠0且n≠0时B，C，D项都成立，故选A.]
2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是( )
A.eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))
B.eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \(AB,\s\up14(→))
C.eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))
D.eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))
C [如图，根据向量减法的三角形法则知A、B、D均正确，C中，eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))－(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→)))＝－2eq \(AB,\s\up14(→))≠eq \(BC,\s\up14(→))，故选C.]
3．化简eq \(OP,\s\up14(→))－eq \(QP,\s\up14(→))＋eq \(PS,\s\up14(→))＋eq \(SP,\s\up14(→))的结果等于( )
A.eq \(QP,\s\up14(→)) B.eq \(OQ,\s\up14(→))
C.eq \(SP,\s\up14(→)) D.eq \(SQ,\s\up14(→))
B [原式＝(eq \(OP,\s\up14(→))＋eq \(PQ,\s\up14(→)))＋(eq \(PS,\s\up14(→))＋eq \(SP,\s\up14(→)))＝eq \(OQ,\s\up14(→))＋0=eq \(OQ,\s\up14(→)).]
4．如图，在▱ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，用a，b表示向量eq \(AC,\s\up14(→))，eq \(BD,\s\up14(→))，则eq \(AC,\s\up14(→))＝________，eq \(BD,\s\up14(→))＝________.
a＋b b－a [由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知eq \(AC,\s\up14(→))＝a＋b，eq \(BD,\s\up14(→))＝b－a.]
【例1】 (1)如图所示，四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，eq \(BC,\s\up14(→))＝c，则eq \(DC,\s\up14(→))＝( )
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
(2)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
[思路探究] (1)利用向量减法和加法的几何意义，将eq \(DC,\s\up14(→))向eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(AD,\s\up14(→))转化；
(2)利用几何意义法与定义法求出a＋b－c的值．
(1)A [eq \(DC,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))＝(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→)))－eq \(AD,\s\up14(→))＝a＋c－b.]
(2)[解] 法一：(几何意义法)如图①所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b，则eq \(OB,\s\up14(→))＝a＋b，再作eq \(OC,\s\up14(→))＝c，则eq \(CB,\s\up14(→))＝a＋b－c.
法二：(定义法)如图②所示，在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b，则eq \(OB,\s\up14(→))＝a＋b，再作eq \(BC,\s\up14(→))＝－c，连接OC，则eq \(OC,\s\up14(→))＝a＋b－c.
图① 图②
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
[解] 法一：先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量eq \(AB,\s\up14(→))和eq \(AC,\s\up14(→))，使eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AC,\s\up14(→))＝b.连接CB，得向量eq \(CB,\s\up14(→))＝a－b，再以C为起点作向量eq \(CD,\s\up14(→))，使eq \(CD,\s\up14(→))＝c，连接DB，得向量eq \(DB,\s\up14(→)).则向量eq \(DB,\s\up14(→))即为所求作的向量a－b－c.
图① 图②
法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作eq \(AB,\s\up14(→))＝－b和eq \(BC,\s\up14(→))＝－c；
(2)作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，则eq \(OC,\s\up14(→))＝a－b－c.
【例2】 (1)如图所示，
①用a，b表示eq \(DB,\s\up14(→))；
②用b，c表示eq \(EC,\s\up14(→)).
(2)化简下列各向量的表达式：
①eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))；
②(eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→)))－(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(BD,\s\up14(→)))；
③(eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BO,\s\up14(→))＋eq \(OA,\s\up14(→)))－(eq \(DC,\s\up14(→))－eq \(DO,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→)))．
[思路探究] 按照向量加法和减法的运算法则进行化简，进行减法运算时，必须保证两个向量的起点相同．
[解] (1)由题意知eq \(BC,\s\up14(→))＝a，eq \(CD,\s\up14(→))＝b，eq \(DE,\s\up14(→))＝c.
①eq \(DB,\s\up14(→))＝eq \(CB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))＝－eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))＝－a－b.
②eq \(EC,\s\up14(→))＝－eq \(CE,\s\up14(→))＝－(eq \(CD,\s\up14(→))＋eq \(DE,\s\up14(→)))＝－b－c.
(2)①eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→)).
②(eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→)))－(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(BD,\s\up14(→)))＝(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→)))－(eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→)))＝eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))＝0.
③(eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BO,\s\up14(→))＋eq \(OA,\s\up14(→)))－(eq \(DC,\s\up14(→))－eq \(DO,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→)))
＝(eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BA,\s\up14(→)))－(eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→)))＝eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(BC,\s\up14(→))＝0.
(2)②法一：(加法法则)
原式＝eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→))
＝(eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→)))－(eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(CD,\s\up14(→)))
＝eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))＝0；
法二：减法法则(利用相反向量)
原式＝eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→))
＝(eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→)))＋(eq \(DC,\s\up14(→))－eq \(DB,\s\up14(→)))
＝eq \(CB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＝0；
法三：减法法则(创造同一起点)
原式＝eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(CD,\s\up14(→))－eq \(AC,\s\up14(→))＋eq \(BD,\s\up14(→))
＝(eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→)))－(eq \(OD,\s\up14(→))－eq \(OC,\s\up14(→)))－(eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→)))＋(eq \(OD,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→)))
＝eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))－eq \(OD,\s\up14(→))＋eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OC,\s\up14(→))＋eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(OD,\s\up14(→))－eq \(OB,\s\up14(→))＝0.
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种形式
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
3．与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算．
2．化简下列向量表达式：
(1)eq \(OM,\s\up14(→))－eq \(ON,\s\up14(→))＋eq \(MP,\s\up14(→))－eq \(NA,\s\up14(→))；
(2)(eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(BM,\s\up14(→)))＋(eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(MC,\s\up14(→)))．
[解] (1)eq \(OM,\s\up14(→))－eq \(ON,\s\up14(→))＋eq \(MP,\s\up14(→))－eq \(NA,\s\up14(→))＝eq \(NM,\s\up14(→))＋eq \(MP,\s\up14(→))－eq \(NA,\s\up14(→))＝eq \(NP,\s\up14(→))－eq \(NA,\s\up14(→))＝eq \(AP,\s\up14(→)).
(2)(eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(BM,\s\up14(→)))＋(eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(MC,\s\up14(→)))＝eq \(AD,\s\up14(→))＋eq \(MB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(CM,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))＋(eq \(MB,\s\up14(→))＋eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(CM,\s\up14(→)))＝eq \(AD,\s\up14(→))＋0＝eq \(AD,\s\up14(→)).
[探究问题]
1．以向量加法的平行四边形法则为基础，能否构造一个图形将a＋b和a－b放在这个图形中？
[提示] 如图所示，平行四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，则a＋b＝eq \(AC,\s\up14(→))，a－b＝eq \(DB,\s\up14(→)).
2．已知向量a，b，那么|a|－|b|与|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么样的大小关系？
[提示] 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(1)当a，b有一个为零向量时，不等式显然成立．
(2)当a，b不共线时，作eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b，则a＋b＝eq \(OB,\s\up14(→))，如图①所示，根据三角形的性质，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可证||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
(3)当a，b非零且共线时，①当向量a与b同向时，作法同上，如图②所示，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.②当向量a，b反向时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图③所示，此时|a＋b|＝|a|－|b|.
综上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
【例3】 (1)在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→))，若|eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(BA,\s\up14(→))|，则四边形ABCD是( )
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
(2)已知|eq \(AB,\s\up14(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝9，求|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围．
[思路探究] (1)先由eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→))判断四边形ABCD是平行四边形，再由向量减法的几何意义将|eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(BA,\s\up14(→))|变形，进一步判断此四边形的形状．
(2)由||eq \(AB,\s\up14(→))|－|eq \(AD,\s\up14(→))||≤|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|≤|eq \(AB,\s\up14(→))|＋|eq \(AD,\s\up14(→))|求范围．
(1)B [∵eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(DC,\s\up14(→))，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵|eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(BC,\s\up14(→))－eq \(BA,\s\up14(→))|，∴|eq \(BD,\s\up14(→))|＝|eq \(AC,\s\up14(→))|.
∴四边形ABCD为矩形．]
(2)[解] ∵||eq \(AB,\s\up14(→))|－|eq \(AD,\s\up14(→))||≤|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|≤|eq \(AB,\s\up14(→))|＋|eq \(AD,\s\up14(→))|，
且|eq \(AD,\s\up14(→))|＝9，|eq \(AB,\s\up14(→))|＝6，∴3≤|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|≤15.
当eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(AB,\s\up14(→))同向时，|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|＝3；
当eq \(AD,\s\up14(→))与eq \(AB,\s\up14(→))反向时，|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|＝15.
∴|eq \(AB,\s\up14(→))－eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围为[3,15]．
1．将本例(2)的条件改为“|eq \(AB,\s\up14(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝5”，求|eq \(BD,\s\up14(→))|的取值范围．
[解] 因为eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))，|eq \(AB,\s\up14(→))|＝8，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝5，
||eq \(AD,\s\up14(→))|－|eq \(AB,\s\up14(→))||≤|eq \(AD,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→))|≤|eq \(AD,\s\up14(→))|＋|eq \(AB,\s\up14(→))|，
所以3≤|eq \(BD,\s\up14(→))|≤13，
当eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(AD,\s\up14(→))同向时，|eq \(BD,\s\up14(→))|＝3；
当eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(AD,\s\up14(→))反向时，|eq \(BD,\s\up14(→))|＝13.
所以|eq \(BD,\s\up14(→))|的取值范围是[3,13]．
2．在本例(2)条件不变的条件下，求：|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围．
[解] 由||eq \(AB,\s\up14(→))|－|eq \(AD,\s\up14(→))||≤|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))|≤|eq \(AB,\s\up14(→))|＋|eq \(AD,\s\up14(→))|，
∵|eq \(AB,\s\up14(→))|＝6，|eq \(AD,\s\up14(→))|＝9，
∴3≤|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))|≤15.
当eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(AD,\s\up14(→))同向时，|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))|＝15；
当eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(AD,\s\up14(→))反向时，|eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))|＝3.
3．本例(2)中条件“|eq \(AD,\s\up14(→))|＝9”改为“|eq \(BD,\s\up14(→))|＝9”，求|eq \(AD,\s\up14(→))|的取值范围．
[解] eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(BA,\s\up14(→))，又|eq \(BA,\s\up14(→))|＝|eq \(AB,\s\up14(→))|，
由||eq \(BD,\s\up14(→))|－|eq \(BA,\s\up14(→))||≤|eq \(BD,\s\up14(→))－eq \(BA,\s\up14(→))|≤|eq \(BD,\s\up14(→))|＋|eq \(BA,\s\up14(→))|，
∴3≤|eq \(AD,\s\up14(→))|≤15.
1．用向量法解决平面几何问题的步骤
(1)将平面几何问题中的量抽象成向量．
(2)化归为向量问题，进行向量运算．
(3)将向量问题还原为平面几何问题．
2．用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
(1)利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可．
(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键．
1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(BA,\s\up14(→))就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．
2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．
3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量eq \(AB,\s\up14(→))＝a，eq \(AD,\s\up14(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq \(AC,\s\up14(→))＝a＋b，eq \(BD,\s\up14(→))＝b－a，eq \(DB,\s\up14(→))＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.
1．判断正误
(1)0－a＝－a；( )
(2)－(－a)＝a；( )
(3)a＋(－a)＝0；( )
(4)a＋0＝a；( )
(5)a－b＝a＋(－b)；( )
(6)a＋(－a)＝0.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×
2．化简eq \(BA,\s\up14(→))－eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(DB,\s\up14(→))－eq \(DC,\s\up14(→))＝________.
0 [eq \(BA,\s\up14(→))－eq \(CA,\s\up14(→))＋eq \(DB,\s\up14(→))－eq \(DC,\s\up14(→))
＝(eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(AC,\s\up14(→)))＋(eq \(DB,\s\up14(→))－eq \(DC,\s\up14(→)))
＝eq \(BC,\s\up14(→))＋eq \(CB,\s\up14(→))
＝0.]
3．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
0 2 [因为a，b为相反向量，∴a＋b＝0，
即|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|2a|＝2.]
4．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
[解] 如图，设eq \(OA,\s\up14(→))＝a，
eq \(OB,\s\up14(→))＝b，
则a－b＝eq \(BA,\s\up14(→))，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，
所以|eq \(OA,\s\up14(→))|＝|eq \(OB,\s\up14(→))|＝|eq \(BA,\s\up14(→))|，
所以△OAB是等边三角形，
所以∠BOA＝60°.
因为eq \(OC,\s\up14(→))＝a＋b，且在菱形OACB中
对角线OC平分∠BOA.
所以a与a＋b所在直线的夹角为30°.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量减法的意义．(难点)
2.掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算．(重点)
3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)
1.类比数的运算，自然引入向量的减法运算是加法运算的逆运算，顺利给出向量减法的三角形法则，培养数学抽象和数学建模的核心素养.
2.通过对向量的加法的学习，提升数学运算和逻辑推理能力.
向量减法的几何意义
向量减法的运算及简单应用
向量减法几何意义的应用