高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算学案设计

6.2　平面向量的运算

6.2.1　向量的加法运算

1．向量加法的定义

定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.

2．向量求和的法则

思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？

[提示]　不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法．

3．向量加法的运算律

(1)交换律：a＋b＝b＋a.

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

1．下列各式不一定成立的是(　　)

A．a＋b＝b＋a　　 B．0＋a＝a

C.＋＝   D．|a＋b|＝|a|＋|b|

D　[A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．]

2.＋＋等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

C　[＋＋＝＋＋＝.]

3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________.

　[由平行四边形法则可知＋＝.]

4．小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.

20　[根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．]

[探究问题]

1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？

[提示]　(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等．

(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等．

2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋An－1An的运算结果是什么？

[提示]　将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋An－1An＝.

【例1】　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)：

①＋＝________；

②＋＝________；

③＋＋＝________.

(2)①如图甲所示，求作向量和a＋b；

②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c.

　甲　　　　　　　乙

[思路探究]　(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简．

(2)用三角形法则或平行四边形法则画图．

(1)①　②　③　[如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：

①＋＝＋＝.

②＋＝＋＝.

③＋＋＝＋＋＝.]

(2)[解]　①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示．

②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．

法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求．

1．在本例(1)条件下，求＋.

[解]　因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，

所以＋＝.

2．在本例(1)图形中求作向量＋＋.

[解]　过A作AG∥DF交CF的延长线于点G，

则＋＝，作＝，连接，

则＝＋＋，如图所示．

1．向量求和的注意点

(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用．

(2)两个向量的和向量仍是一个向量．

(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．

2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量．

提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．

【例2】　(1)化简：

①＋；

②＋＋；

③＋＋＋＋.

(2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：

①＋＋；

②＋＋＋.

[思路探究]　根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后相加．

[解]　(1)①＋＝＋＝；

②＋＋＝＋＋＝0；

③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.

(2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；

②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.

向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．

实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．

(2)应用原则：

利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．

1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

D　[原式＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝.]

[思路探究]　

[解]　如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.

易得∠ECG＝180°－150°＝30°，

∠FCG＝180°－120°＝60°.

∴||＝||·cos 30°＝10×＝5，

||＝||·cos 60°＝10×＝5.

∴A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N.

利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．

[解]　设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；

两次飞行的位移的和是＋＝.

依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，

又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，

所以||＝＝＝800(km)．

其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.

从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．

3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不能写成0.

1．判断正误

(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(　　)

(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　)

(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　)

(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是(　　)

A.＋＋　　　　 B.＋＋

C.＋＋   D.＋＋

C　[在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.]

3．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．

8 km　东北方向　[如图所示，作＝a，＝b，

则a＋b＝＋＝.

所以|a＋b|＝||

＝＝8(km)，

因为∠AOB＝45°，

所以a＋b的方向是东北方向．]

4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：

(1)＋；

(2)＋.

[解]　(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.

(2)由题图可知，＝＝＝，

∴＋＝＋＝.