人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直学案设计

8.6.2　直线与平面垂直

1．直线与平面垂直

2.直线与平面垂直的判定定理

3.直线和平面所成的角

思考1：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？

[提示]　定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．

4．直线与平面垂直的性质定理

思考2：过一点有几条直线与已知平面垂直？

[提示]　有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)

A．平面OAB　　　　 B．平面OAC

C．平面OBC   D．平面ABC

C　[由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]

2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)

A．b∥α   B．b⊂α

C．b⊥α   D．b与α相交

C　[由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.]

3．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)

A．平行   B．垂直

C. 相交不垂直   D. 不确定

B　[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于        ．

45°　[如图所示，因为正方体ABCD­A1B1C1D1中，

B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]

【例1】　如图，在三棱锥S­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

[证明]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.

证线面垂直的方法：

(1)线线垂直证明线面垂直：

①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；

②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．

(2)平行转化法(利用推论)：

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

1．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.

求证：AN⊥平面PBM.

[证明]　设圆O所在的平面为α，

∵PA⊥α，且BM⊂α，

∴PA⊥BM.

又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，

∴AM⊥BM. 由于直线PA∩AM＝A，

∴BM⊥平面PAM，而AN⊂平面PAM，

∴BM⊥AN.

∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．

故AN⊥平面PBM.

[探究问题]

1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？

[提示]　需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．

2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？

[提示]　在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．

【例2】　在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；

(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．

[证明]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，

∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，

设A1A＝1，则AC＝，∴tan∠A1CA＝.

(2)连接A1C1交B1D1于O(见题图)，

在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，

∴BB1⊥A1C1，

又BB1∩B1D1＝B1，

∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.

∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，

在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，

∴∠A1BO＝30°，

即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.

在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．

[解]　连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，

∴EO1⊥平面BB1D1D，

∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，

∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．

设正方体的棱长为a，

∵E是AB的中点，EO1∥AC，

∴O1是BO的中点，

∴EO1＝AO＝×＝，

B1O1＝＝＝，

∴tan∠EB1O1＝＝＝.

求斜线与平面所成角的步骤：

(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．

(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．

【例3】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.

 [证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，

所以AD1⊥A1D.

又因为CD⊥平面ADD1A1，

所以CD⊥AD1.

因为A1D∩CD＝D，

所以AD1⊥平面A1DC.

又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.

证明线线平行常用如下方法：

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；

(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．

2．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.

[证明]　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，

所以a⊥平面EAB.

由线面垂直的性质定理，得a∥l.

1．线线垂直和线面垂直的相互转化：

2．证明线面垂直的方法：

(1)线面垂直的定义．

(2)线面垂直的判定定理．

(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．

3．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．

1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行　　　B．相交　　　C．异面　　　D．垂直

A　[若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]

2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是(　　)

A．垂直   B．相交但不垂直

C．平行   D．不确定

A　[因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]

3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°   B．45°

C．30°   D．120°

A　[∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°. 故选A.]

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.

[证明]　如图，连接AC，

∴AC⊥BD，

又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，

AC，A1A⊂平面A1AC，

∴BD⊥平面A1AC，

∵A1C⊂平面A1AC，

∴BD⊥A1C.

同理可证BC1⊥A1C.

又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1⊂平面BC1D，

∴A1C⊥平面BC1D.