高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案

8.6　空间直线、平面的垂直

8.6.1　直线与直线垂直

异面直线所成的角

(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.

(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)

A．共面　　　　　　 B．平行

C．异面   D．平行或异面

D　[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]

2．如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与BC的中点，则直线EF与直线D1C所成的角的大小是        ．

60°　[连结BC1，A1B(图略)．

∵BC1∥EF，A1B∥CD1，则∠A1BC1即为EF与D1C所成的角．

又∵∠A1BC1为60°，

∴直线EF与D1C所成的角为60°.]

3．已知正方体ABCD­A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为        ；

(2)AD与BC′所成的角为        ．

(1)60°　(2)45°　[(1)连接BA′，则BA′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．

由△A′BC′为正三角形，

知∠A′BC′＝60°，

(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.]

[探究问题]

1．在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD­EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？

[提示]　平移转化成相交直线所成的角，由于AB∥EF，可用EF与HF的夹角来刻画．应用的是数学上的转换思想，即化空间图形问题为平面图形问题．

2．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？

[提示]　异面直线所成角的范围为(0°，90°]，如果两条异面直线a，b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直，记为a⊥b.

【例1】　如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D.

(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

[解]　(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线．

(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.

(3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．

“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关．

1．如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2.

(1)BC和A′C′所成的角是多少度？

(2)AA′和BC′所成的角是多少度？

[解]　(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.

(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．

在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，

所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

【例2】　如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

[解]　法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

∴DB1⊥EF.

法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，

则HEDB1.于是∠HEF为所求

异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

连接HF，设AA1＝1，

则EF＝，HE＝，

取A1D1的中点I，连接HI，IF，

则HI⊥IF.

∴HF2＝HI2＋IF2＝.

∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

∴DB1⊥EF.

证明两条异面直线垂直的步骤：

(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角．

(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．

(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．

(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证．

2．空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3.

求证：AC⊥BD.

[证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点，

∴GE∥BD，

同理GF∥AC.

∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角．

在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，

满足FG2＋GE2＝EF2，

∴∠FGE＝90°.

即异面直线AC与BD所成的角是90°.

∴AC⊥BD.

1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．

2．作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)

A．异面　　　　　　 B．平行

C．相交   D．以上都有可能

D　[当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面．]

2．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)

A．45°   B．60°

C．90°   D．120°

B　[取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF綊IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.]

3．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是        ．

60°　[连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，

∴∠CAD1＝60°，

即AC与BC1所成的角为60°.]

4．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是        ．

90°　[∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠PAB是PA与CD所成的角．

又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]

5．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角．

[解]　因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.