高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）导学案及答案

(教师独具内容)

课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，能够运用已经学过的一次函数、二次函数、分段函数及幂函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用．

教学重点：用函数模型来解决实际问题．

教学难点：建立函数模型.

【知识导学】

知识点　用函数模型解决实际问题的一般步骤

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．

(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．

(3)求模：求解数学模型，得到数学结论．

(4)还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．

可将这些步骤用框图表示如下：

【新知拓展】

常见的函数模型

(1)一次函数模型：即直线模型，其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等．

(2)二次函数模型：二次函数为生活中最常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数的模型．

(3)分段函数模型：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在用函数模型解决实际问题时，得到的数学问题的解就是实际问题的解．(　　)

(2)现实生活中有很多问题都可以用分段函数来描述，如出租车计费，个人所得税等．(　　)

(3)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系可以用一次函数模型来刻画．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√

2．做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．

(2)有200 m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(假设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，那么矩形的长为________ m，宽为________ m时，这块菜地的面积最大．

答案　(1)y＝　(2)100　50

题型一  一次函数模型解决实际问题

例1　某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．由于资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利最大，若按每月30天计算，应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数)？并求出最大利润．

[解]　设生产童装的天数为x，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装和西服的套数分别为200x和50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为40×200x元和150×50×(30－x)元，每月生产童装和西服的利润分别为22×200x元和80×50×(30－x)元，则总利润为y＝22×200x＋80×50×(30－x)，化简得y＝400x＋120000.

注意到每月成本不超过23万元，则40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，从而求出x的取值范围是0≤x≤10，且x为整数．显然当x＝10时，赢利最大，最大利润是124000元．

金版点睛

用一次函数模型解决实际问题的解题方法

(1)建立一次函数模型时应先求出自变量的取值范围；

(2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型；

(3)利用一次函数的图象和性质进行求解、检验．

　某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开北京2 h时火车行驶的路程．

解　因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.因为火车匀速行驶t h所行驶路程为120t，所以，火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是s＝13＋120t.离开北京2 h时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233(km).

题型二  二次函数模型解决实际问题

例2　某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

[解]　设可获得总利润为R(x)万元，

则R(x)＝40x－y

＝40x－＋48x－8000

＝－＋88x－8000

＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．

∵R(x)在[0,210]上单调递增，

∴x＝210时，

R(x)max＝－(210－220)2＋1680＝1660(万元)．

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．

金版点睛

用二次函数模型解题的策略

(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)．

(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．

(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象．

　有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝x，Q2＝.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？

解　设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3－x)万元，总利润为y万元．

所以Q1＝x，Q2＝.

所以y＝x＋(0≤x≤3)，

令t＝(0≤t≤)，则x＝3－t2.

所以y＝(3－t2)＋t＝－2＋.

当t＝时，ymax＝＝1.05(万元)，

即x＝＝0.75(万元)，所以3－x＝2.25(万元)．

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元，共获得利润1.05万元.

题型三  分段函数模型解决实际问题

例3　某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；

(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？

(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)

[解]　(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550(个)．因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．

(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x≤550时，

P＝60－0.02(x－100)＝62－；

当x>550时，P＝51.

∴P＝f(x)＝(x∈N)．

(3)设销售商一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，

则L＝(P－40)x＝(x∈N)．

当x＝500时，L＝6000；当x＝1000时，L＝11000.

因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．

金版点睛

用分段函数模型解决实际问题的解法

分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值．

　有一新款服装在4月份(共30天)投放某专卖店销售，日销售量y(单位：件)关于时间n(1≤n≤30，n∈N*)(单位：天)的函数图象如图所示，其中函数y＝f(n)的图象中的点位于斜率为5和－3的两条直线上，两直线的交点的横坐标为m，且第m天日销售量最大．

(1)求f(n)的表达式，及前m天的销售总量；

(2)按规律，当该服装的销售总量超过400件时，社会上流行该服装，而日销售量连续下降并低于30件时，该服装的流行会消失．试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天？并说明理由．

解　(1)由图象知，当1≤n≤m且n∈N*时，设f(n)＝5n＋b，将点(1,2)代入，得5＋b＝2，

解得b＝－3，则f(n)＝5n－3.

由f(m)＝57，即5m－3＝57，得m＝12.

当12<n≤30且n∈N*时，设f(n)＝－3n＋k，将点(30,3)代入，得－3×30＋k＝3，解得k＝93，则f(n)＝－3n＋93.

综上得f(n)＝

前12天的销售总量为5(1＋2＋3＋…＋12)－3×12＝354(件)．

(2)第13天的销售量为f(13)＝－3×13＋93＝54(件)，而354＋54>400，

∴从第14天开始销售总量超过400件，即该服装开始流行．

设第n天的日销售量开始低于30件(12<n≤30且n∈N*)，即f(n)＝－3n＋93<30，解得n>21.

∴从第22天开始日销售量低于30件，即流行时间为14号至21号．

∴该服装在社会上流行的天数不超过10天.

题型四  综合运用所学知识解决实际问题

例4　某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．

(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；

(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．

[解]　(1)由题意得y＝100·100.

因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，得x≤2.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．

(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.所以x的取值范围是.

金版点睛

对于此类实际应用问题，应先根据题意建立函数关系式，再解决数学问题，最后结合问题的实际意义作出回答.建立函数关系式是解题关键.

　甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

解　(1)根据题意，得

200≥3000，

整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，

又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.

即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．

(2)设利润为y元，则

y＝·100＝9×104

＝9×104，

故当x＝6时，ymax＝457500元．

即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元．

1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)米，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所走过的路程y(米)和其所用的时间x(分)的函数图象为(如下图所示)(　　)

答案　D

解析　注意到y表示“小王从出发到返回原地所走过的路程”，而不是位移．故选D.

2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)

A．y＝   B．y＝

C．y＝   D．y＝

答案　B

解析　根据规定可知，当各班人数除以10的余数分别为7,8,9时可以增选一名代表，所以最小应该加3，因此利用取整函数可表示为y＝.

3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).1万件售价是20万元，若该企业生产的这种商品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为(　　)

A．18万件  B．20万件  C．16万件  D．8万件

答案　A

解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．故选A.

4．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原有60元，2个月后盒内有80元．则盒内钱数y(元)与存钱月数x之间的函数关系式为________．

答案　y＝10x＋60(x≥0)

解析　设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.因为当x＝0时，y＝60；当x＝2时，y＝80，所以解得所以y＝10x＋60(x≥0)．

5．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．

(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？

(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？

解　(1)因为y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.

所以，当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；

当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步下降．

(2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59，

即第10分钟时，学生的接受能力为59.

(3)当x＝13时，y取最大值．

所以，在第13分钟时，学生的接受能力最强．