人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示第2课时学案设计

3.1.2  第2课时 分段函数

【学习目标】

【自主学习】

分段函数

1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的        的函数．

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的     ；各段函数的定义域的交集是      ．

注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．

(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)分段函数由几个函数构成．(　　)

(2)函数f(x)＝是分段函数．(　　)

(3)分段函数的图象不一定是连续的．(　　)

(4)y＝|x－1|与y＝是同一函数．(　　)

【经典例题】

题型一  分段函数求值

点拨：(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．

（2）已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．

（3）求解函数值得的不等式时，直接转化为不等式求解，也可通过图象。

例1 已知函数f(x)＝

(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝，求a.

【跟踪训练】1 已知f(x)＝

(1)画出f(x)的图象；

(2)若f(x)≥，求x的取值范围；

(3)求f(x)的值域．

题型二 分段函数的应用

例2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：

(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．

【跟踪训练】2自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)＝x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．

(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；

(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？

【当堂达标】

1.设函数f(x)＝则f[f(3)]＝(　　)

A.     B．3     C.       D.

2. (多选题)设函数f(x)＝，若f(a)＝4，则实数a＝(　　 )

A．2   B．－2   C．4     D．－4

3.已知函数f(x)＝若f(x)＝－3，则x＝________.

4.设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．

5.已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)．

(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．

6.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.

(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；

(2)画出y＝f(x)的图象；

(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．

【参考答案】

【自主学习】

对应关系  并集   空集

【小试牛刀】

对应关系  并集   空集

 (1)×　 (2) √　(3) √　(4) √　

【经典例题】

例1 解：(1)∵－2<－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋＝.

(2)当a>1时，f(a)＝1＋＝，∴a＝2>1；

当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝，∴a＝±∈[－1,1]；

当a<－1时，f(a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1(舍去)．

综上，a＝2或a＝±.

【跟踪训练】1 解：　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．

（2）由于f＝，结合此函数图象可知，使f(x)≥的x的取值范围是∪.

(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]；当x>1或x<－1时，f(x)＝1.

所以f(x)的值域为[0,1].

例2 解：设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．

由题意得函数的解析式如下：y＝

函数图象如图所示：

【跟踪训练】2 解：　(1)依题设，总成本为20 000＋100x，

则y＝

(2)当0<x≤400时，y＝－(x－300)2＋25 000，

则当x＝300时，ymax＝25 000.

当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，则y<60 000－100×400＝20 000.

综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25 000元．

【当堂达标】

1.D 解析： ∵f(3)＝<1，∴f[f(3)]＝2＋1＝.

2.AD 解析：由或得a＝－4或a＝2.

3.－4或2 解析：若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.

若x>1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．

综上可得，所求x的值为－4或2.

4.(4，＋∞) 解析：当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；当a<0时，f(a)＝>1，无解．

5.解： (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，

当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x，

∴f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示．

(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．

6.解： (1)y＝.

(2)y＝f(x)的图象如图所示．

(3)即f(x)≥2，当0≤x≤4时，2x≥2，∴x≥1，当8<x≤12时，2(12－x)≥2，

∴x≤11，∴x的取值范围是1≤x≤11.