高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试课后复习题

第四章综合测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合，，则等于（    ）

A.          B.

C.         D.

2.下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（    ）

A.        B.

C.        D.

3.函数的大致图像是（    ）

4.若，则的大小关系是（    ）

A.   B.     C.   D.

5.设不为1的实数满足，则（    ）

A.        B.

C.         D.

6.若幂函数的图象过点，则的解为（    ）

A.1     B.2      C.3     D.4

7.已知函数则的值为（    ）

A.3     B.6      C.12    D.24

8.已知，且，若，则（    ）

A.       B.

C.       D.

9.已知是上单调递增函数，那么的取值范围是（    ）

A.    B.     C.    D.

10.若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则的取值范围为（    ）

A.        B.

C.        D.

11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（    ）

A.2018年   B.2019年    C.2020年    D.2021年

12.函数的定义域为，如果满足：①在内是连续单调函数，②存在，使在上的值域为，那么就称为为“半保值函数”.若函数（，且）是“半保值函数”，则的取值范围为（    ）

A.   B.  C.    D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）

13.已知集合，集合，则________.

14.设，则________.

15.设，且，则________.

16.已知对数函数的图象过点，则不等式的解集为________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

17.[10分]已知，求函数的最大值与最小值.

18.[12分]已知函数.

（1）求在上的值域；

（2）解不等式；

（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.

19.[12分]已知幂函数.

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若该函数图象还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.

20.[12分]已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）求满足方程的的值.

21.[12分]已知函数，其中为常数.

（1）判断函数的单调性并证明；

（2）当时，对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22.[12分]已知，其中且，若.

（1）求实数的值；

（2）解不等式；

（3）若对任意的正实数恒成立，求实数的取值范围.

第四章综合测试

答案解析

一、

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】A

【解析】在上为减函数，

且在上恒成立，，

.

又在上有最大值，且在上单调递增，

在上单调递减，且，解得，

或.

综上所述，.故选A.

11.【答案】B

【解析】设2015年后的第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.由，得，

两边取对数并整理，得，

，从2019年开始该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.

12.【答案】B

【解析】函数（且是“半保值函数”，且定义域为，当时，在上递增，在上递增，可得为上的增函数；当时，仍为上的增函数.

在其定义域内为增函数.

函数（且）是“半保值函数”，

与的图象有两个不同的交点，

有两个不同的根，

.

令，，则有两个不同的正数根，

，且，解得，故选B.

二、

13.【答案】

14.【答案】27

15.【答案】

【解析】因为，则，

利用换底公式可得，.

因为，即，

所以，所以.

16.【答案】

【解析】设（且）.将点的坐标代入得，故，则.故原不等式可化为，

即，所以解得，故原不等式的解集为.

三、

17.【答案】，，，当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值2.

函数的最大值是2，最小值是.

18.【答案】（1）设，，，当时，，当时，.的值域为.

（2）设，由，得，即，，即，，不等式的解集为.

（3）方程有解等价于函数与的图像在内有交点，令，，.，其在时的值域为.的取值范围为.

19.【答案】（1），，与中必有一个为偶数，为偶数，函数的定义域为，并且该函数在其定义域上为增函数.

（2）函数的图像经过点，，即，，即，或.又.

在上是增函数，由得解得.

故的值为1，满足条件的实数的取值在相.

20.【答案】（1），

因为，所以，

所以，

则，故是值域是.

（2）由，得，

当时，方程无解；当时，，整理得，即.

因为，所以，即.

21.【答案】（1）函数在上是增函数.

证明：函数，任取，且，则.，，，，，，函数在上是增函数.

（2）由（1）知函数在定义域上是增函数，当时，，则，函数是奇函数.

对于任意，不等式恒成立，等价于对于任意，不等式恒成立，即在时恒成立，即在时恒成立，设，则即可.

，则在上，当时，函数的最小值为，得，不成立；当时，函数的最小值为，解得；当时，函数的最小值为，解得综上，实数的取值范围为.

22.【答案】（1）由题意，得，

或（舍去），.

（2）当时，，不等式无解.

当时，，.

当时，，

，，.

综上所述，不等式的解集为.

（3），，，

恒成立.

令，

则恒成立，

恒成立.

又函数在上单调递减，

.

综上所述，的取值范围为.