高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试综合训练题

第四章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.lo16=(　　)

A.4 B.-4 C. D.-

解析:lo16=-log216=-4.

答案:B

2.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是(　　)

A. B. C. D.

解析:.

答案:C

3.函数f(x)=的定义域是(　　)

A.[4,+∞)

B.(10,+∞)

C.(4,10)∪(10,+∞)

D.[4,10)∪(10,+∞)

解析:由解得

所以x≥4,且x≠10,故函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10,+∞).

答案:D

4.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是(　　)

A.(1,2) B.(0,1) C.(2,e) D.(3,4)

解析:因为f(1)=ln2-2=ln<ln1=0,f(2)=ln3-1=ln>ln1=0,所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间是(1,2).

答案:A

5.用二分法判断方程2x3+3x-3=0在区间(0,1)内的解(精确度为0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)(　　)

A.0.25 B.0.375 C.0.635 D.0.825

解析:令f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)<0,f(1)>0,f(0.5)<0,f(0.75)>0,f(0.625)<0,所以方程2x3+3x-3=0的根在区间(0.625,0.75)内.

因为0.75-0.625=0.125<0.25,所以区间(0.625,0.75)内的任意一个值作为方程的近似解都满足题意.

答案:C

6.已知函数f(x)=+2,则f(-10)+f(10)=(　　)

A.0 B.2 C.20 D.4

解析:令g(x)=,易知g(x)为奇函数,因此f(-10)+f(10)=g(-10)+g(10)+4=0+4=4.

答案:D

7.函数f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上(　　)

A.是增函数 B.是减函数

C.先增后减 D.先减后增

解析:当a>1时,y=logat在定义域上为增函数,t=(a-1)x+1在定义域上为增函数,所以f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上为增函数;当0<a<1时,y=logat在定义域上为减函数,t=(a-1)x+1在定义域上为减函数,所以f(x)=loga[(a-1)x+1]在定义域上为增函数.综上可知函数f(x)在定义域上是增函数.

答案:A

8.已知a=,b=,c=,则(　　)

A.a>b>c B.b>a>c

C.a>c>b D.c>a>b

解析:因为c=,所以c=.

所以只需比较log23.4,log43.6,log3的大小.

又0<log43.6<1,log23.4>log33.4>log3>1,

所以a>c>b.

答案:C

9.已知函数f(x)=-log2x,若实数x0是函数f(x)的零点,且0<x1<x0,则f(x1)的值为(　　)

A.恒为正值 B.等于0

C.恒为负值 D.不大于0

解析:因为函数f(x)在区间(0,+∞)内为减函数,且f(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,均有f(x)>0.

而0<x1<x0,故f(x1)>0.

答案:A

10.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的(　　)

解析:由鱼缸的形状可知,水的体积v随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢.

答案:B

11.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是(　　)

A.(0,+∞) B.[0,2] C.(0,2) D.(2,+∞)

解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0<m<2.

答案:C

12.已知函数f(x)=2|x|+log2|x|,且f(log2m)>f(2),则实数m的取值范围为(　　)

A.(4,+∞) B.

C.∪(4,+∞) D.∪(4,+∞)

解析:易知函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增.

又因为f(log2m)>f(2),所以f(|log2m|)>f(2).

所以|log2m|>2.

所以log2m>2或log2m<-2,

解得0<m<或m>4.

答案:D

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)

13.化简:-(0.04)0.5=　　　　　. 

解析:原式=1+×9-=1+×9-=7-=6.

答案:6

14.已知函数f(x)=loga(x+3)-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A.若点A也在函数g(x)=3x+b的图象上,则g(log32)=　　　　　. 

解析:因为f(-2)=-,所以定点A的坐标为.

又因为点A在g(x)的图象上,所以3-2+b=-,解得b=-1.所以g(x)=3x-1.

所以g(log32)=-1=2-1=1.

答案:1

15.若函数f(x)=(lox)2+log4x+m在区间[2,4]上的最大值为7,则实数m=　　　　　. 

解析:令log4x=t,因为x∈[2,4],所以t∈.

所以函数可化为y=t2+t+m,其在t∈上单调递增,所以12+1+m=7,解得m=5.

答案:5

16.已知函数f(x)=a|log2x|+1(a≠0),定义函数F(x)=给出下列四个命题:

①F(x)=|f(x)|;②函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若0<m<n<1,则有F(m)-F(n)<0成立;④当a>0时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中真命题的序号是　　　　　. 

解析:①易知F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确;②因为F(x)=f(|x|),所以F(-x)=F(x),因此函数F(x)是偶函数;③当a<0时,若0<m<n<1,则F(m)-F(n)=-alog2m+1-(-alog2n+1)=a(log2n-log2m)<0;④当a>0时,F(x)=2可化为f(|x|)=2,即a|log2|x||+1=2,即|log2|x||=.

故|x|=或|x|=.故函数y=F(x)-2有4个零点,故②③④正确.

答案:②③④

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)求值:

(1)(0.25×[(-2)3+(-1)-1-;

(2)lg -lg +lg 12.5-log89·log278.

解:(1)原式=-4×16++1-=-;

(2)原式=-lg2-lg5+lg8+lg25-lg2-=-1+3lg2+2lg5-lg2-

=-1+2(lg2+lg5)-.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)的最大值等于,求实数a的值.

解:(1)f(x)=

所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-∞,0)内单调递增.

(2)因为|x|-a的最小值为-a,

所以f(x)=的最大值为,

即,故a=2.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lo(10-ax),且f(3)=-2.

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)若不等式f(x)≥+m在x∈[3,4]上恒成立,求实数m的取值范围.

解:(1)因为f(3)=-2,所以lo(10-3a)=-2.

所以10-3a=4,解得a=2.

所以f(x)=lo(10-2x).

要使函数f(x)有意义,应有10-2x>0,即x<5,故函数的定义域为(-∞,5).

(2)不等式f(x)≥+m可化为不等式m≤lo(10-2x)-.

令g(x)=lo(10-2x)-,显然g(x)在区间[3,4]上单调递增,

因此g(x)在区间[3,4]上的最小值为g(3)=lo4-=-,故m≤-,

即实数m的取值范围是m≤-.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=mx2-3x+1的零点至少有一个大于0,求实数m的取值范围.

解:①当m=0时,由f(x)=0,得x=,符合题意,

②当m≠0时,

(ⅰ)由Δ=9-4m=0,得m=,令f(x)=0,解得x=,符合题意;

(ⅱ)Δ>0,即9-4m>0时,m<.

设f(x)=0的两根为x1,x2,且x1<x2,若0<m<,则x1+x2=>0,x1·x2=>0,即x1>0,x2>0,符合题意;

若m<0,则x1+x2=<0,x1·x2=<0,

即x1<0,x2>0,符合题意.

综上可知m的取值范围为.

21.(本小题满分12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt;

(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

解:(1)由所提供的数据可知,芦荟种植成本Q随着上市时间t的增加先减少再增加.

若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.

将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得

解得

所以,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.

(2)当t=-=150(天)时,

芦荟种植成本最低为Q=×1502-×150+=100(元/10kg).

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.

(1)求实数k的值;

(2)设g(x)=log4,若函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.

解:(1)因为f(x)是偶函数,

所以f(-x)=f(x)恒成立,

即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx.

因此log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx.

所以(2k+1)x=0.

所以2k+1=0,解得k=-.

(2)由(1)知f(x)=log4(4x+1)-x.

因为函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,所以方程f(x)=g(x)有且仅有一解.

所以log4(4x+1)-x=log4a·2x-a,

即log4(4x+1)-log4=log4a·2x-a.

所以log4=log4.

所以

设2x=t(t>0),则=a·2x-a可化为(a-1)t2-at-1=0,①

即①式只有一个正根.

若a-1>0,则方程①式的Δ=a2+4a-4>0,且两根之积为<0,故方程必有一个正根,符合题意;

若a-1=0,则方程①式化为-t-1=0,

解得t=-,不符合题意;

若a-1<0,则由Δ=a2+4a-4=0,

得a=-3或a=.

当a=-3时,t=,符合题意;

当a=时,t=-2,不符合题意.

综上可知实数a的取值范围是a=-3或a>1.