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人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试单元测试课后复习题
展开这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试单元测试课后复习题,共8页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
指数函数与对数函数
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.集合,集合,若集合只有一个子集,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中,正确的是( )
①任取都有;
②当时,任取都有;
③是增函数;
④的最小值为;
⑤在同一坐标中,与的图象关于轴对称.
A.①②④ B.④⑤ C.②③④ D.①⑤
3.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
4.函数的图像的大致形状是( )
A. B.
C. D.
5.已知函数,则( )
A. B. C. D.
6.若函数是奇函数,则使成立的的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.根据有关资料,围棋状态空间复杂度上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是( )(参考数据:)
A. B. C. D.
8.设是定义在上以为周期的偶函数,已知当时,,则函数在上( )
A.是增函数,且 B.是增函数,且
C.是减函数,且 D.是减函数,且
9.已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数,设,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
10.设,函数,则使的的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数,若,则此函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
12.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增.
若实数满足,则的最小值是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.的值域是 .
14.已知,,则用,表示为 .
15.若函数在上是增函数,则的取值范围为 .
16.若函数(且)有两个零点,则实数的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:.
18.(12分)设,是上的偶函数(其中).
(1)求的值;
(2)证明:在上是增函数.
19.(12分)已知函数(且)在区间上的最大值与最小值之和为,记.
(1)求的值;
(2)证明:;
(3)求的值.
20.(12分)已知函数(为常数)是奇函数.
(1)求的值与函数的定义域;
(2)若当时,恒成立.求实数的取值范围.
21.(12分)已知,,为正数,,且.
(1)求的值;
(2)求证:.
22.(12分)定义在上的单调函数满足,且对任意,都有.
(1)求证:为奇函数;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
答 案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.【答案】B
【解析】∵,如果只有一个子集,则,∴.
2.【答案】B
【解析】①可取,则,故①错;
②可取,则,故②错;
③即在上是单调减函数,故③错;
④由于,则,即时,取最小值,故④对;
⑤由图象对称的特点可得,在同一坐标系中,与的图象关于轴对称,故⑤对.
故答案为④⑤.
3.【答案】A
【解析】因为,所以要使函数有意义,需使,即.
4.【答案】D
【解析】且,根据指数函数的图象和性质,时,函数为减函数,时,函数为增函数,故选D.
5.【答案】B
【解析】根据分段函数可得,
则,所以B正确.
6.【答案】C
【解析】∵为奇函数,∴,即,
而,∴,∴,即为,
当时,,∴,解得;
当时,,∴,无解.
∴的取值范围为.
7.【答案】D
【解析】由题意,,
又,,,,
故与最接近的是.
8.【答案】D
【解析】由于时,,所以在区间上单调递增且,
又因为是偶函数,所以在区间上单调递减且,
又因为是周期为的周期函数,所以在区间上单调递减且,
故选D.
9.【答案】B
【解析】,,,.
又是定义在上的偶函数,且在上是增函数,
故在上单调递减,∴,
即.
10.【答案】C
【解析】,
因为,所以,即或,
所以或(舍去),因此,故选C.
11.【答案】D
【解析】∵,∴.
由,得函数的定义域为.
设,则此函数在上为增函数,在上为减函数,
根据复合函数的单调性可知函数的单调递增区间是,故选D.
12.【答案】C
【解析】由于为偶函数,所以且,
因为在区间上单调递增,所以,
即的最小值为.故选C.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.【答案】
【解析】函数由,复合而成,其中是减函数,
在上单调递减,在上单调递增,
所以原函数在上单调递增,在上单调递减,从而函数在处取得最大值,最大值为,则值域为.
14.【答案】
【解析】由已知得,则,
因为,
所以,即.
15.【答案】
【解析】函数是由和复合而成的,根据复合函数的单调性的判断方法.
(1)当时,若使在上是增函数,则在上是增函数且大于零.故有,解得,∴;
(2)当时,若使在上是增函数,
则在上是减函数且大于零,,
不等式组无解,
综上所述,存在实数使得函数在上是增函数.
16.【答案】
【解析】设函数(,且)和函数,则函数(,且)有两个零点,就是函数(,
且)与函数有两个交点.
由图象可知,当时,两函数只有一个交点,不符合;
当时,因为函数的图像过点,而直线所过的点一定在点的上方,
所以一定有两个交点,所以实数的取值范围是.
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.【答案】.
【解析】原式
.
18.【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)依题意,对一切有,即,
所以对一切成立,由此可得,即.
又因为,所以.
(2)证明:设,,
由于,,,得,,,
∴,即在上是增函数.
19.【答案】(1);(2)证明见解析;(3).
【解析】(1)函数(且)在上的最大值与最小值之和为,
∴,得或(舍去).
(2)由(1)知,
∴
.
(3)由(2)知,
,
,
,
∴
.
20.【答案】(1),;(2).
【解析】(1)因为函数是奇函数,所以,
所以,即,所以,
令,解得或,
所以函数的定义域为.
(2),
当时,,所以.
因为,恒成立,所以,
所以的取值范围是.
21.【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】(1)设(显然,且),
则,,,
由,得,
∵,∴.
(2)证明:,
又∵,∴.
22.【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】(1)证明:由,
令,得.令,得,
又,则有,
即对任意成立,所以是奇函数.
(2),即,
又是上的单调函数,所以在上是增函数.
又由(1)知是奇函数.
,
分离参数得,即对任意恒成立,
令,当时的最小值为,
则要使对任意不等式恒成立,只要使得,
故的取值范围是.