人教版八年级数学上册第十二章全等三角形（完整知识点）

这是一份人教版八年级数学上册第十二章全等三角形（完整知识点），共13页。主要包含了全等形，全等三角形的有关概念，全等三角形的性质，三角形全等的判定，角的平分线的性质，证明几何命题的一般步骤等内容，欢迎下载使用。
（一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。
（二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。
（三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
二、全等三角形的有关概念
（一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的对应元素
1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
2、对应元素的确定方法
（1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。
（2）图形位置确定法
①公共边一定是对应边；
②公共角一定是对应角；
③对顶角一定是对应角;
（3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
三、全等三角形的性质
（一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
（二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。
四、三角形全等的判定
（一）三角形全等的基本事实
1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。
2、用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
3、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。
4、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。
（二）三角形全等的判定定理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。
（三）两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“SSA”不能判定全等。
（四）直角三角形全等的判定方法∶斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。
注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。
五、角的平分线的性质
（一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线）
1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2、分别以M,N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。
3、画射线OC，射线OC即为所求。
（二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
（三）角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线OC上。
（四）重要拓展
1、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
2、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
六、证明几何命题的一般步骤
（一）明确命题中的已知和求证。
（二）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（三）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。
对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。
对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
∵△ABC≌△DEF
∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。
在△CAB与△C′AB中
CA=C′A
AB=AB
∠B=∠B
△CAB与△C′AB不全等。
∵AD是∠BAC的角平分线；
∴DF=DE；
∵S△ADB=12AB·DF；S△ADC=12AC·DE；
∴S△ADBS△ADC = ABAC；