高中数学苏教版 (2019)必修 第二册15.1 随机事件和样本空间优秀教案

编号：013     课题:§10.1.3  两角和与差的正切

目标要求

1、理解并掌握两角和与差的正切公式．

2、理解并掌握给角求值问题．

3、理解并掌握给值求角问题．

4、理解并掌握给值求值问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：给值求角问题；

难点：给值求值问题．

教学过程

基础知识点

两角和与差的正切公式

(1)公式

(2)本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系.

(3)应用:①求值;②化简.

【思考】

(1)由同角三角函数的商数关系知

(2)两角和与差的正切公式中为什么限制都不等于?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 存在,使成立.

B. 对任意,都成立.

C. 对任意,都成立.

D. 等价于.

题2.       (      )

A.         B.        C.       D.

题3.若,且为第三象限角,则的值等于      (     )

A.         B.      C.-7     D.7

关键能力·合作学习

类型一 给角求值问题(数学运算)

【题组训练】

题4.计算: ________.

题5.tan 10°+tan 50°+   tan 10°tan 50°=________.

【解题策略】公式应用的解题策略

(1)公式有 (或), (或),三者知二可求出第三个.

(2)化简过程中注意“1”与“”,“”与“”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.

【补偿训练】

 题6.________.

类型二 给值求角问题(数学运算)

【典例】题7.已知.

(1)求的值;

(2)求的值.

【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则

(1)给值求角问题的步骤.

①求所求角的某个三角函数值.

②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),

根据范围找出角.

(2)选取函数的原则.

①已知正切函数值,选正切函数.

②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是,选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.

【跟踪训练】

题8.已知,且为锐角,求的值.

【补偿训练】题9.已知都是锐角,且,则 ________.

类型三 给值求值问题(数学运算)

角度1 式子变换

【典例】题10.已知,则的值为 (     )

 A.            B.              C.               D.

【变式探究】题11. 已知,求的值.

角度2 拆角变换

【典例】题12.已知,那么的值为  (     )

A.             B.              C.              D.

【解题策略】给值求值问题的两种变换

(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值.

(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.

【题组训练】

题13.已知,则           (     )

A.-2         B.-1             C.1             D.2

题14.已知为锐角,,则的值为________.

课堂检测·素养达标

题15.设角的终边过点(2,3),则     (     )

A.               B.               C.5              D.-5

题16.等于     (     )

A.             B.1                 C.              D.

题17.在△ABC中,,则的值为     (    )

 A.              B.                C.              D.

题18.计算________.

题19.已知,求的值.

编号：013     课题:§10.1.3  两角和与差的正切

目标要求

1、理解并掌握两角和与差的正切公式．

2、理解并掌握给角求值问题．

3、理解并掌握给值求角问题．

4、理解并掌握给值求值问题.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：给值求角问题；

难点：给值求值问题．

教学过程

基础知识点

两角和与差的正切公式

(1)公式

(2)本质:揭示了两角和与差的正切值与两角的正切值之间的关系.

(3)应用:①求值;②化简.

【思考】

(1)由同角三角函数的商数关系知

由此能否推导出两角和的正切公式?若能,写出推导过程.

提示:能.

，

分子分母同除以,可得.

(2)两角和与差的正切公式中为什么限制都不等于?

提示:这是由正切函数的定义域决定的.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 存在,使成立.

B. 对任意,都成立.

C. 对任意,都成立.

D. 等价于.

【答案】选AD

提示:A√.

当时,,但一般情况下不成立.

B×.两角和的正切公式的适用范围是 且.

C×.两角和的正切公式的适用范围是 且.

D√.当时,由前一个式子两边同乘以可得后一个式子.

题2.       (      )

A.         B.        C.       D.

【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)

                     .

题3.若,且为第三象限角,则的值等于      (     )

A.         B.      C.-7     D.7

【解析】选D.,且为第三象限角,则，

所以.

关键能力·合作学习

类型一 给角求值问题(数学运算)

【题组训练】

题4.计算: ________.

【解析】原式=.

答案:1

题5.tan 10°+tan 50°+   tan 10°tan 50°=________.

【解析】因为tan 60°=tan(10°+50°)=

所以tan 10°+tan 50°=tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=,

所以原式=.

答案:

【解题策略】公式应用的解题策略

(1)公式有 (或), (或),三者知二可求出第三个.

(2)化简过程中注意“1”与“”,“”与“”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.

【补偿训练】

 题6.________.

【解析】原式

.

答案:

类型二 给值求角问题(数学运算)

【典例】题7.已知.

(1)求的值;

(2)求的值.

【解题策略】给值求角问题的步骤及选取函数的原则

(1)给值求角问题的步骤.

①求所求角的某个三角函数值.

②确定所求角的范围(范围过大或过小,会使求出的角不合题意或漏解),

根据范围找出角.

(2)选取函数的原则.

①已知正切函数值,选正切函数.

②已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是,选余弦较好;若角的范围是,选正弦较好.

【跟踪训练】

题8.已知,且为锐角,求的值.

【解析】因为，且为锐角,所以.

又因为，且为锐角.

所以,所以.①

由为锐角,得,所以.

所以，

所以

由①②可得.

【补偿训练】题9.已知都是锐角,且,则 ________.

【解析】因为，

，

因为,且为锐角,所以,同理,

所以,所以.

答案:

类型三 给值求值问题(数学运算)

角度1 式子变换

【典例】题10.已知,则的值为 (     )

 A.            B.              C.               D.

【思路导引】由条件得出与的值,代入两角差的正切公式可求值.

【解析】选A.因为,所以,,又，

所以.

【变式探究】题11. 已知,求的值.

【解析】因为,所以,,又，

所以.

角度2 拆角变换

【典例】题12.已知,那么的值为  (     )

A.             B.              C.              D.

【思路导引】

【解析】选B.

.

【解题策略】给值求值问题的两种变换

(1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式子间的联系以实现求值.

(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.

【题组训练】

题13.已知,则           (     )

A.-2         B.-1             C.1             D.2

【解析】选D.由题意可知,

化简得:,

解得.

题14.已知为锐角,,则的值为________.

【解析】因为为锐角,,所以.

所以.

答案:

课堂检测·素养达标

题15.设角的终边过点(2,3),则     (     )

A.               B.               C.5              D.-5

【解析】选A.由于角的终边过点(2,3),因此,

故.

题16.等于     (     )

A.             B.1                 C.              D.

【解析】选B.原式=tan 10°tan 20°+tan 30°(1-tan 10°tan 20°)

=tan 10°tan 20°+1-tan 10°tan 20°=1.

题17.在△ABC中,,则的值为     (    )

 A.              B.                C.              D.

【解析】选B.因为C=120°,所以A+B=60°,

所以, 因为,

所以,解得.

题18.计算________.

【解析】因为.

答案:1

题19.已知,求的值.

【解析】因为,

所以.