2021学年第10章 三角恒等变换10.1 两角和与差的三角函数精品教案及反思

编号：012     课题:§10.1.2  两角和与差的正弦

目标要求

1、理解并掌握两角和与差的正弦公式及三角函数辅助角公式．

2、理解并掌握给角求值问题．

3、理解并掌握给值求值（角）问题．

4、理解并掌握辅助角公式的应用.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：给值求值（角）问题；

难点：辅助角公式的应用．

教学过程

基础知识点

1.两角和与差的正弦公式

【思考】 对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?

2.辅助角公式

辅助角公式:(或),其中(或).

【思考】

 辅助角公式是如何推导出来的?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.

B. 任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sin α+sin β成立.

C. sin 56°cos 26°-cos56°sin 26°=sin 30°.

D. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=0.

题2.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为      (     )

A.               B.             C.            D.以上都不对

题3.函数y=sin x-cos x的最小正周期是       (      )

A.            B.π             C.2π             D.4π

题4.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.

关键能力·合作学习

类型一 给角求值问题(数学运算)

【题组训练】

题5.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为      (      )

A.         B.          C.         D.

题6.的值是     (     )

A.         B.          C.           D.

题7.若是第二象限角且,则________.

【解题策略】

解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.

(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.

【补偿训练】

题8.              (      )

    A.         B.          C.          D.

题9.________.

类型二 给值求值(角)问题(数学运算)

【典例】

题10.设,若,求的值.

【变式探究】

题11. 设,若,

求的值.

题12. 设,若为第三象限角, 求的值.

【解题策略】

解决给值求值问题的解题策略

1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.

2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.

提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.

【跟踪训练】

题13.已知(为锐角),则       (      )

 A.      B.      C.       D.

题14.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.

类型三 辅助角公式的应用(数学运算)

【典例】题15.化简的结果可以是        (     )

A.     B.     C.     D.

题16.若函数在时取得最小值,则等于  (     )

A.              B.            C.             D.

【解题策略】

 把形如的式子化为,可进一步研究函数

的周期性、单调性、最值与对称性.

【跟踪训练】

题17.函数的最小值为    (     )

A.-2             B.         C.         D.-1

题18.已知，则的值为    (     )

A.         B.          C.          D.

【补偿训练】

题19.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是      (     )

 A.         B.          C.          D.

题20.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是(    )

 A.         B.        C.    D.

课堂检测·素养达标

题21.若是第三象限角,则   (     )

 A.       B.           C.      D.

题22.函数的值域为 (    )

A.         B.        C.          D.

题23.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.

题24.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.

题25.已知,求.

编号：012     课题:§10.1.2  两角和与差的正弦

目标要求

1、理解并掌握两角和与差的正弦公式及三角函数辅助角公式．

2、理解并掌握给角求值问题．

3、理解并掌握给值求值（角）问题．

4、理解并掌握辅助角公式的应用.

学科素养目标

三角恒等变换公式是联系三角函数与平面向量，物理应用知识的桥梁.三角恒等变换公式中的“拆与添”、方程组思想等技巧都是数学常用思想方法.突出计算能力，逻辑推理能力，分析问题和解决实际应用问题的能力．

重点难点

重点：给值求值（角）问题；

难点：辅助角公式的应用．

教学过程

基础知识点

1.两角和与差的正弦公式

【思考】 对照识记两角和与差的余弦公式的方法,你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗?

提示:可简单记为“正余余正,符号相同”,即展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦;展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同.

2.辅助角公式

辅助角公式:(或),其中(或).

【思考】

 辅助角公式是如何推导出来的?

提示:推导过程:，

令,则.

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.

B. 任意α,β∈R,使得sin(α+β)≠sin α+sin β成立.

C. sin 56°cos 26°-cos56°sin 26°=sin 30°.

D. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=0.

【答案】选AC

提示:A√.根据公式的推导过程可得.

B×.当α=30°,β=0°时,sin(α+β)=sin α+sin β.

C√.因为sin 56°cos 26°-cos 56°sin 26°

=sin(56°-26°)=sin 30°,故原式正确.

D×. sin 30°cos60°+cos 30°sin 60°=sin (30°+60°)=sin90°=1.

题2.cos 17°sin 13°+sin 17°cos 13°的值为      (     )

A.               B.             C.            D.以上都不对

【解析】选A.原式=sin(13°+17°)= sin 30°=.

题3.函数y=sin x-cos x的最小正周期是       (      )

A.            B.π             C.2π             D.4π

【解析】选C.y=sin x-cos x=                                所以函数的最小正周期为T=2π.

题4.已知为锐角,是第四象限角,,则_____.

【解析】因为为锐角，且,所以.又为第四象限角,且

,所以.

所以.

答案:0

关键能力·合作学习

类型一 给角求值问题(数学运算)

【题组训练】

题5.cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°的值为      (      )

A.         B.          C.         D.

【解析】选D.

cos 70°sin 50°-cos 200°sin 40°=cos 70°sin 50°-(-sin 70°)cos 50°=sin(50°+70°)=sin 120°=.

题6.的值是     (     )

A.         B.          C.           D.

【解析】选A.原式

题7.若是第二象限角且,则________.

【解析】因为θ是第二象限角且sin θ=,所以，

所以，

答案:

【解题策略】

解决给角求值问题的策略

(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.

(2)解决三角函数的给角求值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系,用“已知角”表示“所求角”.

【补偿训练】

题8.              (      )

    A.         B.          C.          D.

【解析】选C. 

题9.________.

【解析】原式=

.

答案:-2

类型二 给值求值(角)问题(数学运算)

【典例】

题10.设,若,求的值.

【思路导引】应用公式⇒注意角的范围⇒所求角的正弦值.

【解析】因为,所以,

因为,所以.

所以.

【变式探究】

题11. 设,若,

求的值.

【解析】

.

题12. 设,若为第三象限角, 求的值.

【解析】,所以s.

因为为第三象限角,,所以.

所以.

【解题策略】

解决给值求值问题的解题策略

1.当“已知角”有两个或多个时,“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.

2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.

3.角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式.

提醒:解题时要重视角的范围对三角函数值的制约,从而恰当、准确地求出三角函数值.

【跟踪训练】

题13.已知(为锐角),则       (      )

 A.      B.      C.       D.

【解析】选D.因为,所以.

所以，所以题14.已知,且为第一象限角,为第二象限角,求的值.

【解析】因为为第一象限角,为第二象限角, ,所以,

所以.

类型三 辅助角公式的应用(数学运算)

【典例】题15.化简的结果可以是        (     )

A.     B.     C.     D.

【思路导引】利用辅助角公式进行变形.

【解析】选B. .

题16.若函数在时取得最小值,则等于  (     )

A.              B.            C.             D.

【思路导引】利用辅助角公式进行变形.

【解析】选B. ,

其中,

由题意知，得,

所以.

【解题策略】

 把形如的式子化为,可进一步研究函数

的周期性、单调性、最值与对称性.

【跟踪训练】

题17.函数的最小值为    (     )

A.-2             B.         C.         D.-1

【解析】选D.,因为,

所以,

所以f(x)的最小值为-1.

题18.已知，则的值为    (     )

A.         B.          C.          D.

【解析】选B. 【补偿训练】

题19.若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是      (     )

 A.         B.          C.          D.

【解析】选A.在上单调递减,所以,故且,解得.

题20.若的一条对称轴方程是,则的取值范围可以是(    )

 A.         B.        C.    D.

【解析】选D.因为（且）,

则,所以,即,

而且, 所以,所以,

取,此时.

课堂检测·素养达标

题21.若是第三象限角,则   (     )

 A.       B.           C.      D.

【解析】选A.因为为第三象限角,

所以,由两角和的正弦公式得.

题22.函数的值域为 (    )

A.         B.        C.          D.

【解析】选B.

,

所以函数f(x)的值域为.

题23.sin 155°cos 35°-cos 25°cos 235°=________.

【解析】原式=sin 25°cos 35°+cos 25°sin 35°=sin(25°+35°)=sin 60°=.

答案:

题24.sin(45°+A)-sin(45°-A)=________.

【解析】sin(45°+A)-sin(45°-A)=2cos 45°sin A=sin A.

答案: sin A

题25.已知,求.

【解析】因为,所以,

所以.