高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试精品练习题

7．1复数的概念

7．1.1数系的扩充和复数的概念

1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(　　)

①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i.

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．3   D．0

解析：选A　易知①正确，②③错误，故选A.

2．在2＋，i,8＋5i，(1－)i,0.68这几个数中，纯虚数的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：选C　由纯虚数的定义可知i, (1－)i是纯虚数．故选C.

3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________.

解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.

答案：5

4．3i2＋7i的实部为________，虚部为________．

解析：3i2＋7i＝－3＋7i，实部为－3，虚部为7.

答案：－3　7

5．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.

解析：∵z<0，∴z为实数且小于0，∴

解得m＝－1.

答案：－1

1．数系扩充的脉络

自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．

2．复数概念的三点说明

(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.

(2)复数的虚部是实数b而非bi.

(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．

3．两个复数相等的条件

(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．

(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．

[例1]　给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2   D．3

[解析]　对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部是2，不是2i，②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，③为真命题．故选B.

[答案]　B

复数概念的几个关注点

(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．

(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．　　　　

[变式训练]

1．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为______．

解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3.

答案：1或－3

2．下列命题正确的是________．

①复数－i＋1的虚部为－1.

②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.

③任意两个复数都不能比较大小．

解析：①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．

答案：①

[例2]　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．

[解]　(1)当

即m≠5且m≠－3时，z是虚数．

(2)当

即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．

复数分类解题策略

判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．　　　　

[变式训练]

1．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？

解：当即m＝5时，z是实数．

2．[变设问]本例中条件不变，当m为何值时，z>0.

解：因为z>0，所以z为实数，需满足

解得m＝5.

3．[变条件]已知z＝log2(1＋m)＋ilog (3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围．

解：∵z是虚数，∴log (3－m)≠0，且1＋m>0，

即∴－1<m<2或2<m<3.

∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．

[例3]　(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

[解]　(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，

∴解得或

(2)设方程的实数根为x＝m，

则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

∴解得a＝11或a＝－.

复数相等问题的解题技巧

(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．

(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．

(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．　　　　

[变式训练]

1．满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为(　　)

A．x＝0且y＝3　　　　B．x＝0且y＝－3

C．x＝5且y＝3　　　　D．x＝3且y＝0

解析：选A　依题意得解得故选A.

2．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．

解：由题意，得(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，

∴解得a＝－1.

A级——学考合格性考试达标练

1．复数i的虚部为(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．－

C．2－   D．0

解析：选C　由复数定义知C正确．故选C.

2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)

A．－2  B.

C．－  D．2

解析：选D　复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2.故选D.

3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)

A．A∪B＝C

B．A＝B

C．A∩(∁SB)＝∅

D．(∁SA)∪(∁SB)＝C

解析：选D　集合A，B，C的关系如图，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝C正确．故选D.

4．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　)

A．－3  B．3

C．－1  D．1

解析：选C　易知1＋3i的实部为1，－1－ai的虚部为－a，则a＝－1.故选C.

5．已知复数z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，a∈R，若z1＝z2，则a＝(　　)

A．2  B．3

C．－3  D．9

解析：选B　因为z1＝a＋2i，z2＝3＋(a2－7)i，且z1＝z2，所以有解得a＝3.故选B.

6．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．

解析：易知解得a＝－4.

答案：－4

7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为______．

解析：由题意得解得m＝2.

答案：2

8．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为______．

解析：因为复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，

所以解得a＝2.

答案：2

9．分别求满足下列条件的实数x，y的值．

(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；

(2)＋(x2－2x－3)i＝0.

解：(1)∵x，y∈R，

∴由复数相等的定义得

解得

(2)∵x∈R，∴由复数相等的定义得

即∴x＝3.

10．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求m取何值时？

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数；

(3)z对应的点位于复平面的第一象限．

解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数表示实数．

(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．

由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，求得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．

(3)由lg(m2－2m－2)>0，且m2＋3m＋2>0，解得m<－2或m>3，故当m<－2或m>3时，复数z对应的点位于复平面的第一象限．

B级——面向全国卷高考高分练

1．复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为(　　)

A．1或－1  B．1

C．－1  D．0或－1

解析：选C　因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C.

2．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为(　　)

A.  B．2

C．0  D．1

解析：选D　由复数相等的充要条件知，

解得

∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.

3．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　)

A．3＋i  B．3－i

C．－3－i  D．－3＋i

解析：选B　由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，

即解得∴z＝3－i.故选B.

4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为(　　)

A.  B.

C．[－1,1]  D.

解析：选D　由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.故选D.

5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是________．

解析：若复数为纯虚数，则有

即∴a＝－1.

故复数不是纯虚数时a≠－1.

答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)

6．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹方程是__________．

解析：由复数相等的充要条件知，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2

7．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．

解：由定义运算＝ad－bc，

得＝3x＋2y＋yi，

故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.

因为x，y为实数，所以有

得得x＝－1，y＝2.

C级——拓展探索性题目应用练

已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实根，求实数m的值．

解：设a为方程的一个实数根，则有

a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，

即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0.

由复数相等的充要条件得

解得故实数m的值为.

7．1.2复数的几何意义

1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为(　　)

A．(0，－1)　　　　　　　 B．(－1,0)

C．(0,0)  D．(－1，－1)

解析：选A　复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A.

2．若＝(0，－3)，则对应的复数为(　　)

A．0  B．－3

C．－3i  D．3

解析：选C　由复数的几何意义可知对应的复数为－3i.故选C.

3．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)

A．a≠2或a≠1  B．a≠2或a≠－1

C．a＝2或a＝0  D．a＝0

解析：选C　由题意知a2－2a＝0，解得a＝0或2.故选C.

4．若复数a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞)  D．(－1，＋∞)

解析：选B　因为z＝a＋1＋(1－a)i，

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，

又此点在第二象限，所以解得a<－1.故选B.

5．已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.

解析：∵z＝1＋2i，∴|z|＝ ＝.

答案：

1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应

(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．

(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．

(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

2．复数几何意义的两个注意点

(1)复数与复平面上的点：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)．

(2)复数与向量的对应：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．

3．对复数模的三点说明

(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．

(2)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．

(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离．|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离．

[例1]　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内；

(2)在复平面内的x轴上方．

[解]　(1)点Z在复平面的第二象限内，

则解得a＜－3.

(2)点Z在x轴上方，

则

即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.

利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．　　　　

[变式训练]

1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．

解：点Z在x轴上，

所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，

所以a＝5.

故a＝5时，点Z在x轴上．

2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．

解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，

所以＋a2－2a－15＋7＝0，

即a3＋2a2－15a－30＝0，

所以(a＋2)(a2－15)＝0，

故a＝－2或a＝±.

所以a＝－2或a＝±时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.

[例2]　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i.

(1)求|z1|及|z2|并比较大小；

(2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？

[解]　(1)|z1|＝|＋i|＝ ＝2，

|z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|.

(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则点Z的坐标为(x，y)．

由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4.

所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．

法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)，

所以Z到原点的距离为2.

所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．　　　　

[变式训练]

1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是________．

解析：由|z|＝ ≤2，解得－≤m≤.

答案：

2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．

解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，

∴|z1|＝ ＝10，

|z2|＝ ＝.

∵10>，∴|z1|>|z2|.

[例3]　(1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋80i　　　　　　　 B．8＋2i

C．2＋4i  D．4＋i

(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.

①求向量，，对应的复数；

②判定△ABC的形状．

[解析]　(1)两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2，3)，则C(2,4)．故其对应的复数为2＋4i.

[答案]　C

(2)①由复数的几何意义知：

＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，

所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.

②因为||＝，||＝2，||＝，

所以||2＋||2＝||2，

所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．　　　　

[变式训练]

1．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)

A．2  B．－2i

C.－3i  D．3＋i

解析：选B　复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.故选B.

2．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________．

解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y，

即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，

∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i，

由复数相等可得解得

∴x＋y＝5.

答案：5

A级——学考合格性考试达标练

1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C　z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选C.

2．向量a＝(－2,1)所对应的复数是(　　)

A．z＝1＋2i  B．z＝1－2i

C．z＝－1＋2i  D．z＝－2＋i

解析：选D　向量a＝(－2,1)所对应的复数是z＝－2＋i.故选D.

3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)

A．(1，)  B．(1，)

C．(1,3)  D．(1,5)

解析：选B　|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B.

4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为(　　)

A．－1＋i  B．1－i

C．－5－5i  D．5＋5i

解析：选D　因为由已知＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D.

5．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　)

A．一个圆  B．线段

C．两点  D．两个圆

解析：选A　∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，表示一个圆．故选A.

6．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．

解析：∵复数z在复平面内对应的点位于第四象限，

∴解得x>3.

答案：(3，＋∞)

7．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．

解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.

答案：5

8．i是虚数单位，设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则xy＝________，|x＋yi|＝________.

解析：由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，∴x＝y＝1，∴xy＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝.

答案：1　

9．在复平面内指出与复数z1＝－1＋i，z2＝2－i，z3＝－i，z4＝＋3i 对应的点Z1，Z2，Z3，Z4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．

解：由题意知Z1(－1，)，Z2(2，－1)，Z3(0，－1)，Z4(，3)．如图所示，在复平面内，复数z1，z2，z3，z4对应的向量分别为，，，.

10．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：

(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．

解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．

(1)当实数x满足即－3<x<2时，点Z位于第三象限．

(2)当实数x满足即2<x<5时，点Z位于第四象限．

(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．

B级——面向全国卷高考高分练

1．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选A　∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，

∴解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．故选A.

2．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(　　)

A．－1＋i  B．1＋i

C．－1＋i或1＋i  D．－2＋i

解析：选A　由题意得解得a＝－1.

故z＝－1＋i.故选A.

3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝(　　)

A．1＋2i  B．－1－2i

C．±1±2i  D．1＋2i或－1－2i

解析：选D　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝得 ＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.故选D.

4．设a，b∈R，i为虚数单位，则“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选B　由题意知，“ab>0”可推出或当a>0，b>0时，a－bi对应的点位于复平面上第四象限，当a<0，b<0时，a－bi对应的点位于复平面上第二象限，反之成立．所以“ab>0”是“复数a－bi对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件．故选B.

5．已知复数z＝x－2＋yi的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是________．

解析：由模的计算公式得 ＝2，

∴(x－2)2＋y2＝8.

答案：(x－2)2＋y2＝8

6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.

解析：因为z1＝2－3i对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2在复平面内对应点的坐标为(－2,3)，对应的复数为z2＝－2＋3i.

答案：－2＋3i

7．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.

(1)求复数z；

(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．

解：(1)因为点A，B对应的复数分别是

z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，

所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)，　

所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，

所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.

(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，

得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.

又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或.

C级——拓展探索性题目应用练

设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为.

(1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||；

(2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围．

解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0，则有log2(m2－3m－3)＝0，所以m2－3m－3＝1.

所以m＝4或m＝－1；

因为所以m＝4，

此时z＝i，＝(0,1)，||＝1，

(2)因为的终点Z在第二象限内，则有

所以m∈.

7．2复数的四则运算

7．2.1复数的加、减运算及其几何意义

1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　)

A．8i　　　　　　　　 B．6

C．6＋8i  D．6－8i

解析：选B　z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝6.

2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为(　　)

A．1  B．－i

C．5＋2i  D．1－i

解析：选A　(3＋i)－(2＋i)＝1.

3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)

A．0  B．6i

C．6  D．6－6i

解析：选D　∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.

4．在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)

A．－10＋8i  B．10－8i

C．0  D．10＋8i

解析：选C　＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，

故＋对应的复数为0.

5．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量Z1Z2―→对应的复数为________．

解析：＝－＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.

答案：1－i

1．对复数的加法、减法运算应注意以下几点

(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；

特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．

(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．

(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．

2．复数加法、减法的几何意义

复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

[例1]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.

(2)已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.

[解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.

(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，

所以解得x＝1，y＝0，

所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，

所以|z1＋z2|＝.

[答案]　(1)－2－i　(2)

复数加、减运算的法则

(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．

(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．　　　　

[变式训练]

1．－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.

解析：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.

答案：－10i

2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.

解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，

又z1＋z2是纯虚数，所以

解得a＝3.

答案：3

[例2]　已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．

[解]　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，

所以有zM＝＝，

所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，

因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，

所以||＝|7＋2i|＝ ＝，

因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，

所以||＝|5－12i|＝ ＝13.

故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.

运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题

向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．　　　　

[变式训练]

已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于O点．

(1)求对应的复数；

(2)求对应的复数．

解：(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，即对应的复数是－2＋2i.

(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，所以对应的复数是5.

[例3]　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B.

C．2  D.

(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．

[解析]　(1)设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，

因为|z＋i|＋|z－i|＝2，

|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.

所以|z＋i＋1|min＝1.

[答案]　A

(2)如图所示，||＝ ＝2.

所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.

两个复数差的模的几何意义

(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．　　　　

 [变式训练]

1．[变条件，变设问]若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．

解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：

所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.

2．[变条件]若本例(2)中条件不变，求|z－|2＋|z－2i|2的最大值和最小值．

解：如图所示，在圆面上任取一点P，与复数zA＝，zB＝2i对应点A，B相连，得向量，，再以，为邻边作平行四边形．

P为圆面上任一点，zP＝z，

则2||2＋2||2＝||2＋(2|′|)2＝7＋4|′|2，(平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和)，

所以|z－|2＋|z－2i|2＝.

而max＝|O′M|＋1＝1＋，

min＝|O′M|－1＝－1.

所以|z－|2＋|z－2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.

A级——学考合格性考试达标练

1．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为(　　)

A．a＝－3，b＝－4　　　　　 B．a＝－3，b＝4

C．a＝3，b＝－4  D．a＝3，b＝4

解析：选A　由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故解得a＝－3，b＝－4.故选A.

2．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)

解析：选A　由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A.

3．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于(　　)

A．1  B.

C．2  D．2

解析：选D　由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.故选D.

4．已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则|z|＝(　　)

A．12  B．3

C．3  D．9

解析：选C　由题意知z＝7－i－(2i－5)＝12－3i，

∴|z|＝ ＝3.故选C.

5．设向量，，对应的复数分别为z1，z2，z3，那么(　　)

A．z1＋z2＋z3＝0  B．z1－z2－z3＝0

C．z1－z2＋z3＝0  D．z1＋z2－z3＝0

解析：选D　∵＋＝，∴z1＋z2＝z3，即z1＋z2－z3＝0.故选D.

6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.

解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.

答案：5

7．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.

解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.

答案：－1

8．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________.

解析：由题意＝－，∴对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴||＝2.

答案：2

9．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；

(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．

解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)

＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.

(2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)

＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.

10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.

解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，

∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，

∴解得

∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，

∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.

B级——面向全国卷高考高分练

1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)

A．3  B．2

C．1  D．－1

解析：选D　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，

∴1＋a＝0，∴a＝－1.故选D.

2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z(　　)

A．在实轴上  B．在虚轴上

C．在第一象限  D．在第二象限

解析：选B　设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得：x＝0.故选B.