高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品学案设计，共6页。

1．和两条异面直线都垂直的直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．只有一条 D．不存在
2．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(\r(7),2)
3．在三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝eq \r(2)，则异面直线A1C与B1C1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
4．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，求：
(1)直线AB与A1D1所成的角为________；
(2)直线AD1与DC1所成的角为________．
5．如图，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为A1A，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
6．空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，R，且AC＝4，BD＝2eq \r(5)，PR＝3，求证：AC⊥BD.
[提能力]
7.
(多选)如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是( )
A．GH与EF平行 B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直
8．如图，在四面体A ­ BCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若直线BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．
9．正四棱锥P ­ ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成的角的余弦值．
[战疑难]
10．已知直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5)
C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)
课时作业解析
1．解析：由于异面直线的公垂线只有一条，因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直，有无数条．故选A.
答案：A
2．解析：本题主要考查异面直线所成的角．
因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．设正方体的棱长为2，连接BE，则BE＝eq \r(5).
因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).故选C.
答案：C
3.
解析：由题意可知BC∥B1C1，故A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角，连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝eq \r(2)，故∠A1CB＝60°.则异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
答案：C
4．解析：(1)∵A1B1∥AB，∴∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角．∵∠D1A1B1＝90°，
∴直线AB与A1D1所成的角为90°.
(2)如图，连接AB1，B1D1.
∵AB1∥DC1，∴直线AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角．
又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1为正三角形，
∴直线AD1与AB1所成的角为60°，
即直线AD1与DC1所成的角为60°.
答案：(1)90° (2)60°
5．解析：取A1B1的中点M，连接MG，MH，
则MG∥EF，MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角．
易知△MGH为正三角形，∠MGH＝60°，
∴EF与GH所成的角等于60°.
答案：60°
6．证明：
如图，因为P，Q，R分别为AB，BC，CD的中点，
所以PQ∥AC，QR∥BD，
所以∠PQR为AC和BD所成的角．
又PQ＝eq \f(1,2)AC＝2，QR＝eq \f(1,2)BD＝eq \r(5)，PR＝3，
所以PR2＝PQ2＋QR2，所以∠PQR＝90°，
即AC和BD所成的角为90°.所以AC⊥BD.
7．解析：如图，把平面展开图还原成正四面体，知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN垂直，故BCD正确．
答案：BCD
8．解析：取BC的中点O，连接OE，OF.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴OE綉eq \f(1,2)AC，OF綉eq \f(1,2)BD，
∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为直线AC与BD所成的角．
已知AC，BD所成的角为60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝eq \f(1,2).
当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则有OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2).
答案：eq \f(1,2)或eq \f(\r(3),2)
9．解析：连接AC，BD相交于O，连接OE，
则O为AC的中点，因为E是PC的中点，
所以OE是△PAC的中位线，
则OE綉eq \f(1,2)PA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角，
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝eq \f(1,2)PA＝eq \f(1,2)，OB＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(2),2)，BE＝eq \f(\r(3),2)，
则cs∠OEB＝eq \f(OE2＋BE2－OB2,2OE·BE)
＝eq \f(\f(1,4)＋\f(3,4)－\f(2,4),2×\f(1,2)×\f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),3).
10．解析：
如图，M，N，P分别为AB，BB1，B1C1的中点，则直线AB1，BC1的夹角即为直线MN和NP的夹角．
MN＝eq \f(1,2)AB1＝eq \f(\r(5),2)，NP＝eq \f(1,2)BC1＝eq \f(\r(2),2).
取BC的中点Q，则可知△PQM为直角三角形．
易知PQ＝1，MQ＝eq \f(1,2)AC.
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cs∠ABC＝4＋1－2×2×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝7，所以AC＝eq \r(7).所以MQ＝eq \f(\r(7),2).
在Rt△MQP中，MP＝eq \r(MQ2＋PQ2)＝eq \f(\r(11),2).
在△PMN中，cs∠PNM＝eq \f(MN2＋NP2－PM2,2·MN·NP)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(11),2)))2,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(2),2))＝－eq \f(\r(10),5).
∵异面直线所成角的范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴余弦值为eq \f(\r(10),5).故选C.
答案：C