人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念学案设计

直线与直线垂直

如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB与B1C1异面，AB与B1D1也异面．

[问题]　(1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？

(2)如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为应该怎样做？

知识点　异面直线所成的角

1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

2．空间两条直线所成角α的取值范围：0°≤α≤90°．

3．垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．

1．两条直线垂直，一定相交吗？

提示：不一定．当两条异面直线所成的角为90°时，两条异面直线垂直，不相交．

2．两条不重合的直线所成的角是0°时，这两直线的位置关系是什么？

提示：平行．

1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同．(　　)

(2)异面直线a与b所成角可以是0°.(　　)

(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__________.

解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.

答案：60°

3．已知正方体ABCD­EFGH，则AH与FG所成的角是________．

解析：如图，连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角. 因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.

答案：45°

[例1]　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

[解]　如图所示，取AC的中点G，

连接EG，FG，

则EG∥AB且EG＝AB，

GF∥CD且GF＝CD.

由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成的角，∠EGF或其补角为AB与CD所成的角．

∵AB与CD所成角为30°，

∴∠EGF＝30°或150°，

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，

故EF与AB所成角的大小为15°或75°.

求两异面直线所成角的一般步骤

(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角；

(2)计算角：求角度，常利用三角形；

(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．

[注意]　找异面直线所成的角，可以从如下“口诀”入手：

中点、端点定顶点，平移常用中位线；

平行四边形中见，指出成角很关键；

求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；

平行直线若在外，补上原体在外边．　　　　

[跟踪训练]

在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)

A．30°　　　　　　　　 B．45°

C．60°  D．90°

解析：选C　如图，连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角或其补角．

因为tan∠A1AC1＝＝

＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.

[例2]　在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.

[证明]　如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.

证明空间中两条直线垂直的方法

(1)定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直；

(2)平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等．　　　　

[跟踪训练]

对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，判定四边形MNPQ的形状．

解：如图所示，∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，

∴MN∥AC，且MN＝AC，

PQ∥AC，且PQ＝AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．

又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形．

1．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________．

解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.

答案：AB，A1B1

2．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为________．

解析：连接BC1，A1C1(图略)，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角)．在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.

答案：60°

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证AO1⊥BD.

证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，AO1，∵ABCD­A1B1C1D1是正方体，∴BB1綉DD1.

∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.

∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角．

易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，

∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.